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北师大版八年级数学下册压轴题攻略期末考试点对点压轴题训练(四)(B卷25题)(原卷版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学下册压轴题攻略期末考试点对点压轴题训练(四)(B卷25题)(原卷版+解析)，共50页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中,直线l1，平面直角坐标系中，直线，直线，由所作辅助线可知，，等内容，欢迎下载使用。
(1)求点C，D的坐标；
(2)点P是x轴上一点，点Q是直线CD上一点，连接BP，BQ，PQ，若是以BQ为斜边的等腰直角三角形，求点P的坐标；
(3)已知直线，当时，对x的每一个值都有，请直接写出a的取值范围．
2．在平面直角坐标系中,直线l1:y＝2x＋3与过点B（6,0）的直线l2交于点C（1,m）,与x轴交于点A,与y轴交于点E,直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线的函数解析式;
（2）如图1,点F在直线l2位于第二象限的图象上,使得,求点F的坐标．
（3）如图2,在线段BC存在点M,使得△CEM是以CM为腰的等腰三角形,求M点坐标．
3．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线与的交点恰好在轴上，过点和的中点的直线交于点，线段，的长是方程的两根，请解答下列问题：
（1）求点的坐标；
（2）点在直线上，在直线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，点在直线上，且点的横坐标为3，直线：经过点，两点，与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图，点在轴下方的直线上，连接，若的面积等于的面积，求点的坐标；
(3)如图，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，若，求的度数．
5．直线：分别与，轴交于点，，线段中点．
(1)求，的值；
(2)在轴负半轴上有一点，连接交轴于点，若，求点坐标；
(3)在（2）条件下，轴上一动点由点出发至点，同时轴上另一动点由点出发至点，两动点均以每秒个单位长的速度运动，设运动时间为，若某一动点到达终点，则另一动点同时停止运动，连接，求线段中点的运动路程．
6．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线与坐标轴相交于A，B两点，直线与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知，点P是直线上的动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)过点P作x轴的垂线与直线和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；
(3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中直线l1：与直线l2交于点A（﹣2，3），直线l2与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，过BD中点E作直线l3⊥y轴．
(1)求直线l2的解析式和m的值；
(2)点P在直线l1上，当S△PBC＝6时，求点P坐标；
(3)点P是直线l1上一动点，点Q是直线l3上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C．
(1)求；
(2)若线段AC上存在一点P，使得，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．
（1）求点B的坐标；
（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；
（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点与直线交于点，直线与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点在线段上，连接，过点的直线交轴负半轴于点交轴正半轴于点，请问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（3）当点在直线上运动时，平面内是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
12．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点C的直线y2＝mx＋n（m，n为常数）与x轴交于点B，且OB∶OA＝1∶3．
(1)求直线y2的函数表达式；
(2)点P是直线y2上一动点，当S△PAC＝2S△ABC时，求点P的坐标；
(3)如图2，在平面内有一点M（﹣8，2），连接CM交x轴于点N，连接AM，在平面内是否存在点Q，使得∠ACQ＝∠MAN＋∠ACN，且AQ＝AC，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA，OC的长是方程的两个根，点B是y轴上一动点，以AC为对角线作平行四边形ABCD．
(1)求直线AC的函数解析式；
(2)设点，记平行四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并直接写出当BD取最小值时S的值；
(3)当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形的同时，在x轴取一点P，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x＋b(b>0)分别与x，y轴相交于A，B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．
(1)若b＝6，连接BC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
(2)P为x轴上的动点，连接PB，PC，当的值最大时，点A到直线PC的距离为6，求此时直线PC的函数表达式．
15．在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点E是线段AO上的一动点．
（1）如图1，当AE＝3OE时，
①求直线BE的函数表达式；
②设直线BE与直线AC交于点D，连接OD，点P是直线AC上的一动点（不与A，C，D重合），当S△BOD＝S△PDB时，求点P的坐标；
（2）如图2，设直线BE与直线AC的交点F，在平面内是否存在点M使以点A，E，F，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请简述理由．
期末考试点对点压轴题训练（四）（B卷25题）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．以AB为边作，点D在x轴正半轴，且．
(1)求点C，D的坐标；
(2)点P是x轴上一点，点Q是直线CD上一点，连接BP，BQ，PQ，若是以BQ为斜边的等腰直角三角形，求点P的坐标；
(3)已知直线，当时，对x的每一个值都有，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）根据直线交x轴于点A，交y轴于点B，先求出点A和点B的坐标，再结合求出，得到点D的坐标，最后利用平行四边形的性质求出点C的坐标；
（2）根据，求出直线CD的解析式，设，分两种情况：点P在x轴正半轴和x轴负半轴来求解；
（3）先将两条直线组成方程组得到，分两种情况进行求解．
【解析】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
令，则，
令，则，
∴，，∴．
又∵，∴，∴，∴
在中，，，
∴；
（2）解：∵，，
设直线CD的解析式为，
则，解得，∴，
设，情况一：如图所示：
，
∴，，
∴；
情况二：如图所示：
∴，，∴；
（3）解：由直线与直线得，
∴，∴，
当时，方程组无解，两直线平行，此时总有，
当时， ，∵直线经过，
∴当时，对于x的每一个值，都有，即是，
∴若时，即，则，∴；
若，则，∴，∴．
【点睛】本题考查了一次函数综合知识，涉及待定系数法、一次函数与一次不等式的关系，等腰直角三形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中,直线l1:y＝2x＋3与过点B（6,0）的直线l2交于点C（1,m）,与x轴交于点A,与y轴交于点E,直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线的函数解析式;
（2）如图1,点F在直线l2位于第二象限的图象上,使得,求点F的坐标．
（3）如图2,在线段BC存在点M,使得△CEM是以CM为腰的等腰三角形,求M点坐标．
【答案】（1）y=-x+6;（2）F（-2,8）;（3） 或
【分析】（1）将C（1,m）代入y =2x+ 3得,C（1,5）,用待定系数法求直线l2的函数解析式;
（2）设F（n,-n+6）,用n表示出 ,,根据条件列方程即可求出;
（3）根据△CEM是以CM为腰的等腰三角形,分CM= CE和сM=EM,设M（a,-a+6）,表示出CM2,CE2,EM2,分别列方程求解,即可得出答案．
【详解】解:（1）将C（1,m）代入y =2x+ 3,解得m=5,
∴点C的坐标为 ,
设直线的函数解析式为:y=kx+b ,把点B（6,0）,代入得:
,
解得:,
∴直线的函数解析式为:y=-x+6;
（2）∵点F在直线l2位于第二象限的图象上,
∴设点F的坐标为F（n,-n+6）,其中n<0,
∵直线l1与y轴交于点E,直线l2与y轴交于点D,
∴可求得点D,E的坐标为D（0,6）,E（0,3）
∵点B的坐标为B（6,0）,
∴DE=3,OE=3,
∵,
∴ ,解得:n=-2,
∴点F的坐标为F（-2,8）,
（3）∵在线段BC存在点M,可设点M的坐标为M（a,-a+6）,其中a>0,
则 ,
,
∵△CEM是以CM为腰的等腰三角形,
∴有CM=CE或CM=EM,
当CM=CE时,有,
即,解得: , （舍去）,
∴M点坐标为
当CM=EM时,有
即,解得: ,
∴M点坐标为
综上所述:M点坐标为 或．
【点睛】本题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式､用坐标表示三角形面积的表示等知识,用方程思想,数形结合思想是解题的关键．
3．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线与的交点恰好在轴上，过点和的中点的直线交于点，线段，的长是方程的两根，请解答下列问题：
（1）求点的坐标；
（2）点在直线上，在直线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为：或或
【分析】（1）先解方程可得CD和DE的长，根据直角三角形的性质可得∠DCA＝30°，分别计算AC、BD、DM的长，根据菱形面积的两种计算方法可得高OM的长，得D的坐标；
（2）分三种情况：①以CF为边时，在CF的上方，②以CF为边，在CF的下方，③以CF为对角线时，分别根据平移规律求点P的坐标
【详解】（1），，或6，
∵，∴，，∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，中，，
∴，∵，
∴，
∴，，∴；
（2）①∵，，
∴是等边三角形，
∵是的中点，∴
∴当与重合时，如图1，四边形是平行四边形，
∵，∴，
∴，
∴，，
中，，，
∴，∴；
②如图2，∵四边形是平行四边形，
∴，由①知：，∴，中，，，
∴，
∴，连接，∵，，
∴，∴，，
∴，∴，由①知：，
由到的平移规律可得到的平移规律，则，即；
③如图3，四边形是平行四边形，
同理知：，，，∴；
综上所述，点的坐标为：或或．
【点睛】本题是四边形和函数的综合题，考查了菱形的性质、坐标与图形特点、平移规律、等边三边形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，本题有难度，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，通过求Q的坐标来求P的坐标，根据平移规律得出结果．
4．平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，点在直线上，且点的横坐标为3，直线：经过点，两点，与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图，点在轴下方的直线上，连接，若的面积等于的面积，求点的坐标；
(3)如图，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用，两点坐标代入，解方程组即可解决问题．
设，根据，解方程即可．
过点作轴的平行线，分别过、作该平行线的垂线，垂足分别为、，证明≌，可得，，设，可得 ，求出，，由得，则 ， 可得，，根据勾股定理的逆定理得，则，即可得．
（1）解：直线：分别与轴，轴交于点，，，，点在直线上，且点的横坐标为．，直线：经过点，两点，则，解得，直线的解析式为．
（2）∵直线的解析式为，，，，，设，，，解得，点的坐标为 ．
（3）如图，过点作轴的平行线，分别过、作该平行线的垂线，垂足分别为、，，，，，，，≌，，，设，，，， ， ， ，，，，，， ， ， ，，，，，，，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．直线：分别与，轴交于点，，线段中点．
(1)求，的值；
(2)在轴负半轴上有一点，连接交轴于点，若，求点坐标；
(3)在（2）条件下，轴上一动点由点出发至点，同时轴上另一动点由点出发至点，两动点均以每秒个单位长的速度运动，设运动时间为，若某一动点到达终点，则另一动点同时停止运动，连接，求线段中点的运动路程．
【答案】(1)的值为，的值是
(2)
(3)
【分析】（1）由得，，而线段中点，有，可解得的值为，的值是；
（2）连接，根据，为的中点，，可得，知，用待定系数法可得直线解析式为，即可得；
（3）根据题意得，，，因为的中点，，，得，从而知是直线上的点，当时，，，当时，，，的路程是以，为端点的线段的长，故的路程为．
（1）
解：在中，令得，令得，
，，
线段中点，
，
解得，
答：的值为，的值是；
（2）
解：连接，如图：
，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
由知，
，
，
设直线解析式为，将代入得：
，
解得，
直线解析式为，
令的，
；
（3）
解：根据题意知，，
，
，，
当与重合时，，
，
，
为的中点，，，
，
设，，则，
即是直线上的点，
当时，，，
当时，，，
的路程是以，为端点的线段的长，
的路程为．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及线段中点坐标公式，等腰三角形判定与性质，待定系数法等知识，解题的关键是求出点是直线上的点．
6．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线与坐标轴相交于A，B两点，直线与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知，点P是直线上的动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)过点P作x轴的垂线与直线和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；
(3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，或
(3)或或，
【分析】（1）先求出点的坐标，再待定系数法求解析式即可；
（2）设点的坐标为，则点，，分情况讨论：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别列方程求解即可；
（3）设点，，分情况讨论：①以，为对角线时，②以，为对角线时，③以，为对角线时，分别列二元一次方程组，求解即可．
（1）
解：将点的横坐标2代入直线，
得，
点，
，
，，
将点和点坐标代入直线，
得，
解得，
直线；
（2）
设点的坐标为，
则点，，
当点在点的左侧时，如图所示：
则，，
点是线段的三等分点，
或，
当时，，
解得，
，，
当时，，
解得（舍，
当点在点右侧时，如图所示：
，，
点是线段的三等分点，
或，
当时，，
解得（舍，
当时，
，
解得，
，
综上，点的坐标为，或；
（3）
存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
设点，，
，，
①以，为对角线时，
得，
解得，
点，
②以，为对角线时，
得，
解得，
；
③以，为对角线时，
得，
解得，
，，
综上，点坐标为或或，．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，线段的三等分点，平行四边形的判定等，本题综合性较强，注意分情况讨论是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中直线l1：与直线l2交于点A（﹣2，3），直线l2与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，过BD中点E作直线l3⊥y轴．
(1)求直线l2的解析式和m的值；
(2)点P在直线l1上，当S△PBC＝6时，求点P坐标；
(3)点P是直线l1上一动点，点Q是直线l3上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点坐标．
【答案】(1)y=x+2；m=6；
(2)P点坐标为（，）或（，）；
(3)Q点坐标为（，4）或（，4）或（4，4）
【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；
（2）分点P在线段FA上和在线段DA上时，两种情况讨论，利用分割法和三角形面积公式列方程，再分别求P点坐标即可；
（3）设P（t，t+6），Q（m，4），再分三种情况讨论：①当PQ为平行四边形的对角线时；②当PB为平行四边形对角线时；③当PC为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵A（-2，3）在y=x+m上，
∴-3+m=3，∴m=6，∴y=x+6，
设直线l2的解析式为y=kx+b，∴，解得，
∴直线l2的解析式为y=x+2；
（2）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），F（-4，0），
∵C（4，0），
∴S△DBC=×4×4=8>6，S△FBC=×8×2=8>6，
∴点P一定在线段FD上，
当点P在线段FA上时，连接PO，设点P的坐标为（a，a+6），
S△PBC=S△POB+S△COB-S△POC=×2+×2×4-×4×=6，
整理得=-a-1，
即=-a-1或=a+1，
解得：a=-或a=-5(舍去)，
∴点P的坐标为（-，）；
当点P在线段DA上时，连接PO，设点P的坐标为（a，a+6），
S△PBC= S△POC -S△POB-S△COB=×4×-×2-×2×4=6，
整理得=5-a，
即=5-a或=a-5，
解得：a=-或a=-11(舍去)，
∴点P的坐标为（-，）；
综上所述：P点坐标为（-，）或（-，）；
（3）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），
∴E（0，4），
∴直线l3的解析式为y=4，
设P（t，t+6），Q（m，4），
①当PQ为平行四边形的对角线时，
，解得，∴Q（，4）；
②当PB为平行四边形对角线时，
，解得，∴Q（-，4）；
③当PC为平行四边形的对角线时，
，解得，∴Q（4，4）；
综上所述：Q点坐标为（，4）或（-，4）或（4，4）．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C．
(1)求；
(2)若线段AC上存在一点P，使得，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)（-2，2）
(3)（3，-3），（5，3），（-7，7）
【分析】（1）待定系数法求出直线m和直线n的函数解析式，求出B和点C坐标，进一步即可求出△ABC的面积；
（2）根据△ABP的面积，可得△BCP的面积，设点P（p，3p+8），根据△BCP的面积列方程，求解即可；
（3）根据平行四边形的判定以及平移的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点代入直线，
得，解得，
直线，
将点代入直线，
得，
解得，
直线，
当时，，
点坐标为，
当时，，
点坐标为，，
，
的面积为；
（2），
的面积，
点在线段上，如图所示：
设点，
的面积，
，
点的坐标为；
（3），，，
设点，
以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：
①以，为边，
此时，且，
则点，
②以，为边，
此时，且，
则点，
③以，为边，
此时，且，
则点，
综上，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，，．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，三角形的面积，动点问题，平行四边形的判定等，本题综合性较强，难度较大．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．
（1）求点B的坐标；
（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；
（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点B（0，3）；（2）S＝m2﹣m；（3）点N的坐标为（4，3）或（﹣，）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）S＝PQ•|xP|，即可求解；
（3）分OB是矩形的边、OB是矩形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A的坐标（4，0）代入y＝﹣x+n
得0＝﹣×4+n
解得：n＝3，
故直线的表达式为：y＝﹣x+3，
令x＝0，则y＝3，故点B（0，3）；
（2）点C为线段AB的中点，
则由中点公式得，点C（2，），则直线OC的表达式为：y＝x，
设点P（m，﹣m+3），则点Q（m，m），
当点P在y轴右侧时，
S＝PQ•|x|＝（m+m﹣3）•m＝m2﹣m；
当点P在y轴左侧时，
同理可得：S＝m2﹣m；
故S＝m2﹣m；
（3）设P（m，﹣m+3），点N（s，t），而点O、B的坐标分别为（0，0）、（0，3）；
①当OB是矩形的边时，则点P与点A重合，故点P（4，0），故点N（4，3）；
②当OB是矩形的对角线时，
由中点公式得：m+s＝0且﹣m+3+t＝3+0①，
由矩形的对角线相等得：OB＝PN，即（m﹣s）2+（﹣m+3﹣t）2＝32②，
联立①②并解得：，故点N（﹣，）；
综上，点N的坐标为（4，3）或（﹣，）．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、矩形的性质、面积的计算等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点与直线交于点，直线与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点在线段上，连接，过点的直线交轴负半轴于点交轴正半轴于点，请问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（3）当点在直线上运动时，平面内是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=3x+6；（2）是定值，；（3）存在，E（1，1）
【分析】（1）将交点代入直线，求出点的坐标，利用点，的坐标，用待定系数法求出直线的解析式；
（2）把和看作是等高不等底的两个三角形，则，即可求出点的坐标；由问题围绕着、，点、恰为直线与坐标轴的交点，则借助函数解析式，即可得出和长度，从而得的值；
（3）点在直线上运动时，只有在之间时，才能得到菱形，因而借助菱形四边相等的性质，利用坐标求出边长和的长度，令其相等，即可求出点的坐标．
【详解】解：（1）由题可将点代入直线，
得：，
解得：，
；
设直线的解析式为：，将点，代入得，
，解得，，
直线的解析式为：．
（2）是定值．理由如下：
，
，
和是等高不等底的三角形，
，
，，
的横坐标为：，纵坐标为：，即，；
设的函数解析式为：，将点代入得，，
，则，
，
令，得，则，
．
（3）存在．
如图，设上的点，则，
点的坐标为，
四边形为菱形，
，
，，
，，
，解得：，
点在第一象限，
，则，
点的坐标为．
【点睛】本题中，（1）考查了待定系数法的应用，较简单；（2）考查了函数解析式与坐标轴交点的坐标特点，体现数学的转化思想，本问关键在于从面积比入手，转化成线段比，从而得出与的长度；（3）考查了菱形的性质、在平面直角坐标系中求线段的长度等，体现了数形结合思想，考查了几何与代数的综合运用．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3），或，或，
【分析】（1）由旋转可知，，，，过点作轴于点，求出，，再由待定系数法求直线的解析式；
（2）设，已知可知、为平行四边形的对角线，根据中点坐标公式可求，；
（3）设，，，分三种情况讨论：①当、为平行四边形的对角线时，，；②当、为平行四边形的对角线时，，；③当、为平行四边形的对角线时，，．
【详解】解：（1）轴绕点顺时针旋转交轴于点，
，
点，
，
，，
，
点绕点顺时针旋转得到点，
，，
过点作轴于点，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
则有，
解得，
；
（2）设，
四边形为平行四边形，
、为平行四边形的对角线，
的中点，，的中点，，
，，
，，
，；
（3）在直线上，在轴上，
设，，，
①当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，，
，，；
②当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，，，；
③当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，，，；
综上所述：点的坐标为，或，或，．
【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、灵活应用平行四边形的性质、并能根据对角线的情况分类讨论是解题的关键．
12．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点C的直线y2＝mx＋n（m，n为常数）与x轴交于点B，且OB∶OA＝1∶3．
(1)求直线y2的函数表达式；
(2)点P是直线y2上一动点，当S△PAC＝2S△ABC时，求点P的坐标；
(3)如图2，在平面内有一点M（﹣8，2），连接CM交x轴于点N，连接AM，在平面内是否存在点Q，使得∠ACQ＝∠MAN＋∠ACN，且AQ＝AC，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）先求出点C，点B的坐标，代入解析式即可解答；
（2）先求出的面积，再由三角形的面积公式解答；
（3）先求出∠ACQ=45°，由SAS可证明，可得，QN=AO=12，即可求解．
（1）
解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
（2）
设
或
（3）
如图，延长AM交y轴于H，
直线AM的解析式为
当x=0时，y=6，
直线MC的解析式为
当y=0时，x=-6
如图，当点Q在AC上方时，连接QN，
当点在AC下方时，
点A是的中点，
综上所述，点Q的坐标为：或．
【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、三角形的面积公式、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA，OC的长是方程的两个根，点B是y轴上一动点，以AC为对角线作平行四边形ABCD．
(1)求直线AC的函数解析式；
(2)设点，记平行四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并直接写出当BD取最小值时S的值；
(3)当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形的同时，在x轴取一点P，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)6
(3)点P的坐标为或或（3，0）或
【分析】（1）先解一元二次方程，求出点A（-3，0），点C（0，4），然后利用待定系数法求AC解析式即可；
（2）过B作BF⊥AD于F，根据两点距离公式先求，然后利用平行四边形面积公式可得，根据垂线段最短，得出BD≥BF，当D与点F重合时，BD最短，利用BE∥OA，截线段成比例求出CB=OB=即可；
（3）当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形，根据勾股定理列方程求出，根据两点距离公式求出AB=，根据△ABP为等腰三角形分类，以点A为圆心，AB长为半径画弧的P1，P2，以点B为圆心AB长为半径画弧得出P3，AB的垂直平分线以x轴交于P4,利用线段和差，勾股定理求解即可
∴点P的坐标为或或（3，0）或．
【解析】（1）解：OA，OC的长是方程的两个根，
∴因式分解得，
∴，
∵，
∴OA=3，OC=4，
∴点A（-3，0），点C（0，4），
设直线AC的解析式为．
将点，代入函数中，得，
解得，
∴直线AC的解析式为；
（2）解：过B作BF⊥AD于F，
∵点，四边形ABCD是以AC为对角线的平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴，
∴，
∴，
∵BF⊥AD，
∴BD≥BF，
当D与点F重合时，BD最短，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE=CE，
∵BE在BF上，
BE∥OA，
∴，
∴CB=OB=，
∴S=3×2=6，
∴当BD取得最小值时，s的值为6；
（3）解：当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
∴AB=，BC=|4-m|，∴，
∴，解得，
∴AB=，
∵点P在x轴上，△PAB为等腰三角形，
点P在点A的左侧，PA=AB=，OP=PA+OA=，点P（，0），
点P在点A右侧，PA=AB=，OP=AB-OA=，点P（，0），
点P在点A右侧，PB=AB=，BO⊥AP，
∴OA=OP=3，点P（3，0），
当点P在AB的垂直平分线上时，AP=BP，
根据勾股定理，
即，解得OP=，
∴点P的坐标为或或（3，0）或
【点睛】本题考查解一元二次方程，勾股定理，垂线段最短，平行四边形的性质，平行线截线段成比例，菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握解一元二次方程方法，勾股定理，垂线段最短，平行四边形的性质，平行线截线段成比例，菱形的性质，等腰三角形的性质是解题关键．
14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x＋b(b>0)分别与x，y轴相交于A，B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．
(1)若b＝6，连接BC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
(2)P为x轴上的动点，连接PB，PC，当的值最大时，点A到直线PC的距离为6，求此时直线PC的函数表达式．
【答案】(1)①；②(-17，0)或(13，0)
(2)
【分析】（1）①由题意可知直线AB的解析式为y＝3x＋6．从而可确定A(-2，0)，B(0，6)，即得出OA=2，OB=6．过点C作轴于点H．由旋转的性质结合题意利用“AAS”易证，即得出，，从而可求出，即C(4，-2)；②根据题意可求出直线AC的解析式为，直线BC的解析式为，从而得出D(3，0)．设E(a，)，再分类讨论：ⅰ当点E在x轴上方时，根据平行四边形的性质即得出，即，求出a，即可求出F点坐标；ⅱ当点E在x轴下方时，过点E作轴于点G．由作图可知，再根据平行四边形的性质，即可利用“AAS”证明，得出EG=BO=6，从而得出，即，求出a，即可求出F点坐标；
（2）作点B关于x轴的对称点．连接、，延长交x轴于点．由题意可知B(0，b)，A(，0)，C(，)．由所作辅助线可知，，(0，-b)．根据三角形三边关系可知，即得出，即当点P与点重合时，最大．利用待定系数法可求出直线的解析式为y=x-b．即得出(b，0)，从而可得出，进而得出，．最后由结合等腰直角三角形的性质和勾股定理可列出关于b的等式，解出b即得出答案．
（1）
①∵b＝6，
∴直线AB的解析式为y＝3x＋6．
∴A(-2，0)，B(0，6)，
∴OA=2，OB=6．
如图，过点C作轴于点H．
∵，,
∴．
由旋转可知AC=AB，
又∵，
∴(AAS)，
∴，，
∴，
∴C(4，-2)；
②设直线AC的解析式为，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为．
同理可得：直线BC的解析式为，
∴D(3，0)．
∴可设E(a，)，
分类讨论：ⅰ当点E在x轴上方时，如图，
∵四边形BDFE为平行四边形，
∴轴，
∴，即，
解得：，
∴E(-20，6)，
∴F(-17，0)；
ⅱ当点E在x轴下方时，如图，过点E作轴于点G．
由作图可知．
∵四边形BDFE为平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴(AAS)，∴EG=BO=6，
∴，即，解得：，
∴E(16，-6)，∴F(13，0)；
综上可知：点F的坐标为(-17，0)或(13，0)；
（2）如图，作点B关于x轴的对称点．连接、，延长交x轴于点．
由题意可知B(0，b)，A(，0)，
由（1）得C(，)．
由所作辅助线可知，，(0，-b)．
∵，∴，
∴当点P与点重合时，最大．
设直线的解析式为y=mx+n，∴，解得：
∴直线的解析式为y=x-b．
∴(b，0)．∴，
∴，．
∵点A到直线PC的距离为6，即，
∴，解得：，
∴直线PC的函数表达式为．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形三边关系的应用，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，为困难题型．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
15．在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点E是线段AO上的一动点．
（1）如图1，当AE＝3OE时，
①求直线BE的函数表达式；
②设直线BE与直线AC交于点D，连接OD，点P是直线AC上的一动点（不与A，C，D重合），当S△BOD＝S△PDB时，求点P的坐标；
（2）如图2，设直线BE与直线AC的交点F，在平面内是否存在点M使以点A，E，F，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请简述理由．
【答案】（1）①直线BE的解析式为；②点P坐标为（，）或（，）；（2）存在，点M坐标为（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）①先求得点E坐标为（0，1），利用待定系数法即可求解；
②过点P作PG⊥轴交直线BD于点G，利用勾股定理及三角形面积公式求得点C坐标为（，0），利用待定系数法求得直线AC的解析式以及点D坐标，设点P坐标为（，），则点G坐标为（，），利用三角形面积公式即可求解；
（2）分AM为对角线、EM为对角线、FM为对角线三种情况讨论，求解即可．
【详解】解：（1）∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），
∴OA=4，
∵AE=3OE，
∴OE=1，
∴点E坐标为（0，1），
①设直线BE的解析式为，
∴，
解得，
∴直线BE的解析式为；
②过点P作PG⊥轴交直线BD于点G，
∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=，
∵AC⊥AB，AO⊥BC，
由勾股定理得：，
∴，
解得：OC=，
∴点C坐标为（，0），
设直线AC的解析式为，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为，
解方程，得，
，
∴点D坐标为（，），
设点P坐标为（，），则点G坐标为（，），
∴PG=，
∵S△BOD＝S△PDB，
∴，
即，整理得
解得：或；
当时，；当时，；
∴点P坐标为（，）或（，）；
（2）存在，
当AM为对角线时，
∵四边形AEMF是菱形，
∴AE=AF= ME=MF，则∠AEF=∠AFE，
∵∠ABF+∠AFE=90°，∠EBO+∠BEO=90°，∠AEF=∠BEO，
∴∠ABF=∠EBO，
过点F作FH⊥轴于点H，
则AF= FH，
∴点H与点M重合，
∴BM=BA=5，则OM=2，
∴点M坐标为（，）；
当EM为对角线时，
∵四边形AEFM是菱形，
∴AE=EF= FM=AM，则∠EAF=∠AFE，
∵∠ABF+∠AFE=90°，∠BAE+∠EAF=90°，
∴∠ABF=∠BAE，
∴BE=EA，
设BE=EA=x，
在Rt△BEO中，EO=4-x，BO=3，
∴，
解得：，
即BE=EA=EF=FM=，
延长MF交轴于点I，
则OE∥FI，即OE是△BFI的中位线，
∴FI=2EO=2(4-)=，OI=OB=3，
∴MI=
∴点M坐标为（，）；
当FM为对角线时，∵四边形AFEM是菱形，
∴MF是线段 AE的垂直平分线，AF=EF= EM=AM，MF∥BC，
∴∠AFM=∠EFM，∠AFM=∠ACB，∠MFE=∠FBC，
∴∠FBC=∠FCB，
过点F作FJ⊥轴于点J，
∴BJ=JC，
∵BC=，
∴OJ=，即点F的横坐标为，
∴，
∴点F的坐标为（，），
根据对称性，点M坐标为（，）；
综上，点M坐标为（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
(1)求点C，D的坐标；
(2)点P是x轴上一点，点Q是直线CD上一点，连接BP，BQ，PQ，若是以BQ为斜边的等腰直角三角形，求点P的坐标；
(3)已知直线，当时，对x的每一个值都有，请直接写出a的取值范围．
2．在平面直角坐标系中,直线l1:y＝2x＋3与过点B（6,0）的直线l2交于点C（1,m）,与x轴交于点A,与y轴交于点E,直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线的函数解析式;
（2）如图1,点F在直线l2位于第二象限的图象上,使得,求点F的坐标．
（3）如图2,在线段BC存在点M,使得△CEM是以CM为腰的等腰三角形,求M点坐标．
3．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线与的交点恰好在轴上，过点和的中点的直线交于点，线段，的长是方程的两根，请解答下列问题：
（1）求点的坐标；
（2）点在直线上，在直线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，点在直线上，且点的横坐标为3，直线：经过点，两点，与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图，点在轴下方的直线上，连接，若的面积等于的面积，求点的坐标；
(3)如图，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，若，求的度数．
5．直线：分别与，轴交于点，，线段中点．
(1)求，的值；
(2)在轴负半轴上有一点，连接交轴于点，若，求点坐标；
(3)在（2）条件下，轴上一动点由点出发至点，同时轴上另一动点由点出发至点，两动点均以每秒个单位长的速度运动，设运动时间为，若某一动点到达终点，则另一动点同时停止运动，连接，求线段中点的运动路程．
6．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线与坐标轴相交于A，B两点，直线与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知，点P是直线上的动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)过点P作x轴的垂线与直线和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；
(3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中直线l1：与直线l2交于点A（﹣2，3），直线l2与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，过BD中点E作直线l3⊥y轴．
(1)求直线l2的解析式和m的值；
(2)点P在直线l1上，当S△PBC＝6时，求点P坐标；
(3)点P是直线l1上一动点，点Q是直线l3上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C．
(1)求；
(2)若线段AC上存在一点P，使得，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．
（1）求点B的坐标；
（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；
（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点与直线交于点，直线与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点在线段上，连接，过点的直线交轴负半轴于点交轴正半轴于点，请问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（3）当点在直线上运动时，平面内是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
12．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点C的直线y2＝mx＋n（m，n为常数）与x轴交于点B，且OB∶OA＝1∶3．
(1)求直线y2的函数表达式；
(2)点P是直线y2上一动点，当S△PAC＝2S△ABC时，求点P的坐标；
(3)如图2，在平面内有一点M（﹣8，2），连接CM交x轴于点N，连接AM，在平面内是否存在点Q，使得∠ACQ＝∠MAN＋∠ACN，且AQ＝AC，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA，OC的长是方程的两个根，点B是y轴上一动点，以AC为对角线作平行四边形ABCD．
(1)求直线AC的函数解析式；
(2)设点，记平行四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并直接写出当BD取最小值时S的值；
(3)当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形的同时，在x轴取一点P，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x＋b(b>0)分别与x，y轴相交于A，B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．
(1)若b＝6，连接BC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
(2)P为x轴上的动点，连接PB，PC，当的值最大时，点A到直线PC的距离为6，求此时直线PC的函数表达式．
15．在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点E是线段AO上的一动点．
（1）如图1，当AE＝3OE时，
①求直线BE的函数表达式；
②设直线BE与直线AC交于点D，连接OD，点P是直线AC上的一动点（不与A，C，D重合），当S△BOD＝S△PDB时，求点P的坐标；
（2）如图2，设直线BE与直线AC的交点F，在平面内是否存在点M使以点A，E，F，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请简述理由．
期末考试点对点压轴题训练（四）（B卷25题）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．以AB为边作，点D在x轴正半轴，且．
(1)求点C，D的坐标；
(2)点P是x轴上一点，点Q是直线CD上一点，连接BP，BQ，PQ，若是以BQ为斜边的等腰直角三角形，求点P的坐标；
(3)已知直线，当时，对x的每一个值都有，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）根据直线交x轴于点A，交y轴于点B，先求出点A和点B的坐标，再结合求出，得到点D的坐标，最后利用平行四边形的性质求出点C的坐标；
（2）根据，求出直线CD的解析式，设，分两种情况：点P在x轴正半轴和x轴负半轴来求解；
（3）先将两条直线组成方程组得到，分两种情况进行求解．
【解析】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
令，则，
令，则，
∴，，∴．
又∵，∴，∴，∴
在中，，，
∴；
（2）解：∵，，
设直线CD的解析式为，
则，解得，∴，
设，情况一：如图所示：
，
∴，，
∴；
情况二：如图所示：
∴，，∴；
（3）解：由直线与直线得，
∴，∴，
当时，方程组无解，两直线平行，此时总有，
当时， ，∵直线经过，
∴当时，对于x的每一个值，都有，即是，
∴若时，即，则，∴；
若，则，∴，∴．
【点睛】本题考查了一次函数综合知识，涉及待定系数法、一次函数与一次不等式的关系，等腰直角三形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中,直线l1:y＝2x＋3与过点B（6,0）的直线l2交于点C（1,m）,与x轴交于点A,与y轴交于点E,直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线的函数解析式;
（2）如图1,点F在直线l2位于第二象限的图象上,使得,求点F的坐标．
（3）如图2,在线段BC存在点M,使得△CEM是以CM为腰的等腰三角形,求M点坐标．
【答案】（1）y=-x+6;（2）F（-2,8）;（3） 或
【分析】（1）将C（1,m）代入y =2x+ 3得,C（1,5）,用待定系数法求直线l2的函数解析式;
（2）设F（n,-n+6）,用n表示出 ,,根据条件列方程即可求出;
（3）根据△CEM是以CM为腰的等腰三角形,分CM= CE和сM=EM,设M（a,-a+6）,表示出CM2,CE2,EM2,分别列方程求解,即可得出答案．
【详解】解:（1）将C（1,m）代入y =2x+ 3,解得m=5,
∴点C的坐标为 ,
设直线的函数解析式为:y=kx+b ,把点B（6,0）,代入得:
,
解得:,
∴直线的函数解析式为:y=-x+6;
（2）∵点F在直线l2位于第二象限的图象上,
∴设点F的坐标为F（n,-n+6）,其中n<0,
∵直线l1与y轴交于点E,直线l2与y轴交于点D,
∴可求得点D,E的坐标为D（0,6）,E（0,3）
∵点B的坐标为B（6,0）,
∴DE=3,OE=3,
∵,
∴ ,解得:n=-2,
∴点F的坐标为F（-2,8）,
（3）∵在线段BC存在点M,可设点M的坐标为M（a,-a+6）,其中a>0,
则 ,
,
∵△CEM是以CM为腰的等腰三角形,
∴有CM=CE或CM=EM,
当CM=CE时,有,
即,解得: , （舍去）,
∴M点坐标为
当CM=EM时,有
即,解得: ,
∴M点坐标为
综上所述:M点坐标为 或．
【点睛】本题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式､用坐标表示三角形面积的表示等知识,用方程思想,数形结合思想是解题的关键．
3．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线与的交点恰好在轴上，过点和的中点的直线交于点，线段，的长是方程的两根，请解答下列问题：
（1）求点的坐标；
（2）点在直线上，在直线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为：或或
【分析】（1）先解方程可得CD和DE的长，根据直角三角形的性质可得∠DCA＝30°，分别计算AC、BD、DM的长，根据菱形面积的两种计算方法可得高OM的长，得D的坐标；
（2）分三种情况：①以CF为边时，在CF的上方，②以CF为边，在CF的下方，③以CF为对角线时，分别根据平移规律求点P的坐标
【详解】（1），，或6，
∵，∴，，∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，中，，
∴，∵，
∴，
∴，，∴；
（2）①∵，，
∴是等边三角形，
∵是的中点，∴
∴当与重合时，如图1，四边形是平行四边形，
∵，∴，
∴，
∴，，
中，，，
∴，∴；
②如图2，∵四边形是平行四边形，
∴，由①知：，∴，中，，，
∴，
∴，连接，∵，，
∴，∴，，
∴，∴，由①知：，
由到的平移规律可得到的平移规律，则，即；
③如图3，四边形是平行四边形，
同理知：，，，∴；
综上所述，点的坐标为：或或．
【点睛】本题是四边形和函数的综合题，考查了菱形的性质、坐标与图形特点、平移规律、等边三边形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，本题有难度，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，通过求Q的坐标来求P的坐标，根据平移规律得出结果．
4．平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，点在直线上，且点的横坐标为3，直线：经过点，两点，与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图，点在轴下方的直线上，连接，若的面积等于的面积，求点的坐标；
(3)如图，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用，两点坐标代入，解方程组即可解决问题．
设，根据，解方程即可．
过点作轴的平行线，分别过、作该平行线的垂线，垂足分别为、，证明≌，可得，，设，可得 ，求出，，由得，则 ， 可得，，根据勾股定理的逆定理得，则，即可得．
（1）解：直线：分别与轴，轴交于点，，，，点在直线上，且点的横坐标为．，直线：经过点，两点，则，解得，直线的解析式为．
（2）∵直线的解析式为，，，，，设，，，解得，点的坐标为 ．
（3）如图，过点作轴的平行线，分别过、作该平行线的垂线，垂足分别为、，，，，，，，≌，，，设，，，， ， ， ，，，，，， ， ， ，，，，，，，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．直线：分别与，轴交于点，，线段中点．
(1)求，的值；
(2)在轴负半轴上有一点，连接交轴于点，若，求点坐标；
(3)在（2）条件下，轴上一动点由点出发至点，同时轴上另一动点由点出发至点，两动点均以每秒个单位长的速度运动，设运动时间为，若某一动点到达终点，则另一动点同时停止运动，连接，求线段中点的运动路程．
【答案】(1)的值为，的值是
(2)
(3)
【分析】（1）由得，，而线段中点，有，可解得的值为，的值是；
（2）连接，根据，为的中点，，可得，知，用待定系数法可得直线解析式为，即可得；
（3）根据题意得，，，因为的中点，，，得，从而知是直线上的点，当时，，，当时，，，的路程是以，为端点的线段的长，故的路程为．
（1）
解：在中，令得，令得，
，，
线段中点，
，
解得，
答：的值为，的值是；
（2）
解：连接，如图：
，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
由知，
，
，
设直线解析式为，将代入得：
，
解得，
直线解析式为，
令的，
；
（3）
解：根据题意知，，
，
，，
当与重合时，，
，
，
为的中点，，，
，
设，，则，
即是直线上的点，
当时，，，
当时，，，
的路程是以，为端点的线段的长，
的路程为．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及线段中点坐标公式，等腰三角形判定与性质，待定系数法等知识，解题的关键是求出点是直线上的点．
6．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线与坐标轴相交于A，B两点，直线与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知，点P是直线上的动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)过点P作x轴的垂线与直线和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；
(3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，或
(3)或或，
【分析】（1）先求出点的坐标，再待定系数法求解析式即可；
（2）设点的坐标为，则点，，分情况讨论：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别列方程求解即可；
（3）设点，，分情况讨论：①以，为对角线时，②以，为对角线时，③以，为对角线时，分别列二元一次方程组，求解即可．
（1）
解：将点的横坐标2代入直线，
得，
点，
，
，，
将点和点坐标代入直线，
得，
解得，
直线；
（2）
设点的坐标为，
则点，，
当点在点的左侧时，如图所示：
则，，
点是线段的三等分点，
或，
当时，，
解得，
，，
当时，，
解得（舍，
当点在点右侧时，如图所示：
，，
点是线段的三等分点，
或，
当时，，
解得（舍，
当时，
，
解得，
，
综上，点的坐标为，或；
（3）
存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
设点，，
，，
①以，为对角线时，
得，
解得，
点，
②以，为对角线时，
得，
解得，
；
③以，为对角线时，
得，
解得，
，，
综上，点坐标为或或，．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，线段的三等分点，平行四边形的判定等，本题综合性较强，注意分情况讨论是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中直线l1：与直线l2交于点A（﹣2，3），直线l2与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，过BD中点E作直线l3⊥y轴．
(1)求直线l2的解析式和m的值；
(2)点P在直线l1上，当S△PBC＝6时，求点P坐标；
(3)点P是直线l1上一动点，点Q是直线l3上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点坐标．
【答案】(1)y=x+2；m=6；
(2)P点坐标为（，）或（，）；
(3)Q点坐标为（，4）或（，4）或（4，4）
【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；
（2）分点P在线段FA上和在线段DA上时，两种情况讨论，利用分割法和三角形面积公式列方程，再分别求P点坐标即可；
（3）设P（t，t+6），Q（m，4），再分三种情况讨论：①当PQ为平行四边形的对角线时；②当PB为平行四边形对角线时；③当PC为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵A（-2，3）在y=x+m上，
∴-3+m=3，∴m=6，∴y=x+6，
设直线l2的解析式为y=kx+b，∴，解得，
∴直线l2的解析式为y=x+2；
（2）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），F（-4，0），
∵C（4，0），
∴S△DBC=×4×4=8>6，S△FBC=×8×2=8>6，
∴点P一定在线段FD上，
当点P在线段FA上时，连接PO，设点P的坐标为（a，a+6），
S△PBC=S△POB+S△COB-S△POC=×2+×2×4-×4×=6，
整理得=-a-1，
即=-a-1或=a+1，
解得：a=-或a=-5(舍去)，
∴点P的坐标为（-，）；
当点P在线段DA上时，连接PO，设点P的坐标为（a，a+6），
S△PBC= S△POC -S△POB-S△COB=×4×-×2-×2×4=6，
整理得=5-a，
即=5-a或=a-5，
解得：a=-或a=-11(舍去)，
∴点P的坐标为（-，）；
综上所述：P点坐标为（-，）或（-，）；
（3）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），
∴E（0，4），
∴直线l3的解析式为y=4，
设P（t，t+6），Q（m，4），
①当PQ为平行四边形的对角线时，
，解得，∴Q（，4）；
②当PB为平行四边形对角线时，
，解得，∴Q（-，4）；
③当PC为平行四边形的对角线时，
，解得，∴Q（4，4）；
综上所述：Q点坐标为（，4）或（-，4）或（4，4）．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C．
(1)求；
(2)若线段AC上存在一点P，使得，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)（-2，2）
(3)（3，-3），（5，3），（-7，7）
【分析】（1）待定系数法求出直线m和直线n的函数解析式，求出B和点C坐标，进一步即可求出△ABC的面积；
（2）根据△ABP的面积，可得△BCP的面积，设点P（p，3p+8），根据△BCP的面积列方程，求解即可；
（3）根据平行四边形的判定以及平移的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点代入直线，
得，解得，
直线，
将点代入直线，
得，
解得，
直线，
当时，，
点坐标为，
当时，，
点坐标为，，
，
的面积为；
（2），
的面积，
点在线段上，如图所示：
设点，
的面积，
，
点的坐标为；
（3），，，
设点，
以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：
①以，为边，
此时，且，
则点，
②以，为边，
此时，且，
则点，
③以，为边，
此时，且，
则点，
综上，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，，．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，三角形的面积，动点问题，平行四边形的判定等，本题综合性较强，难度较大．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．
（1）求点B的坐标；
（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；
（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点B（0，3）；（2）S＝m2﹣m；（3）点N的坐标为（4，3）或（﹣，）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）S＝PQ•|xP|，即可求解；
（3）分OB是矩形的边、OB是矩形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A的坐标（4，0）代入y＝﹣x+n
得0＝﹣×4+n
解得：n＝3，
故直线的表达式为：y＝﹣x+3，
令x＝0，则y＝3，故点B（0，3）；
（2）点C为线段AB的中点，
则由中点公式得，点C（2，），则直线OC的表达式为：y＝x，
设点P（m，﹣m+3），则点Q（m，m），
当点P在y轴右侧时，
S＝PQ•|x|＝（m+m﹣3）•m＝m2﹣m；
当点P在y轴左侧时，
同理可得：S＝m2﹣m；
故S＝m2﹣m；
（3）设P（m，﹣m+3），点N（s，t），而点O、B的坐标分别为（0，0）、（0，3）；
①当OB是矩形的边时，则点P与点A重合，故点P（4，0），故点N（4，3）；
②当OB是矩形的对角线时，
由中点公式得：m+s＝0且﹣m+3+t＝3+0①，
由矩形的对角线相等得：OB＝PN，即（m﹣s）2+（﹣m+3﹣t）2＝32②，
联立①②并解得：，故点N（﹣，）；
综上，点N的坐标为（4，3）或（﹣，）．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、矩形的性质、面积的计算等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点与直线交于点，直线与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点在线段上，连接，过点的直线交轴负半轴于点交轴正半轴于点，请问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（3）当点在直线上运动时，平面内是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=3x+6；（2）是定值，；（3）存在，E（1，1）
【分析】（1）将交点代入直线，求出点的坐标，利用点，的坐标，用待定系数法求出直线的解析式；
（2）把和看作是等高不等底的两个三角形，则，即可求出点的坐标；由问题围绕着、，点、恰为直线与坐标轴的交点，则借助函数解析式，即可得出和长度，从而得的值；
（3）点在直线上运动时，只有在之间时，才能得到菱形，因而借助菱形四边相等的性质，利用坐标求出边长和的长度，令其相等，即可求出点的坐标．
【详解】解：（1）由题可将点代入直线，
得：，
解得：，
；
设直线的解析式为：，将点，代入得，
，解得，，
直线的解析式为：．
（2）是定值．理由如下：
，
，
和是等高不等底的三角形，
，
，，
的横坐标为：，纵坐标为：，即，；
设的函数解析式为：，将点代入得，，
，则，
，
令，得，则，
．
（3）存在．
如图，设上的点，则，
点的坐标为，
四边形为菱形，
，
，，
，，
，解得：，
点在第一象限，
，则，
点的坐标为．
【点睛】本题中，（1）考查了待定系数法的应用，较简单；（2）考查了函数解析式与坐标轴交点的坐标特点，体现数学的转化思想，本问关键在于从面积比入手，转化成线段比，从而得出与的长度；（3）考查了菱形的性质、在平面直角坐标系中求线段的长度等，体现了数形结合思想，考查了几何与代数的综合运用．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3），或，或，
【分析】（1）由旋转可知，，，，过点作轴于点，求出，，再由待定系数法求直线的解析式；
（2）设，已知可知、为平行四边形的对角线，根据中点坐标公式可求，；
（3）设，，，分三种情况讨论：①当、为平行四边形的对角线时，，；②当、为平行四边形的对角线时，，；③当、为平行四边形的对角线时，，．
【详解】解：（1）轴绕点顺时针旋转交轴于点，
，
点，
，
，，
，
点绕点顺时针旋转得到点，
，，
过点作轴于点，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
则有，
解得，
；
（2）设，
四边形为平行四边形，
、为平行四边形的对角线，
的中点，，的中点，，
，，
，，
，；
（3）在直线上，在轴上，
设，，，
①当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，，
，，；
②当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，，，；
③当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，，，；
综上所述：点的坐标为，或，或，．
【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、灵活应用平行四边形的性质、并能根据对角线的情况分类讨论是解题的关键．
12．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点C的直线y2＝mx＋n（m，n为常数）与x轴交于点B，且OB∶OA＝1∶3．
(1)求直线y2的函数表达式；
(2)点P是直线y2上一动点，当S△PAC＝2S△ABC时，求点P的坐标；
(3)如图2，在平面内有一点M（﹣8，2），连接CM交x轴于点N，连接AM，在平面内是否存在点Q，使得∠ACQ＝∠MAN＋∠ACN，且AQ＝AC，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）先求出点C，点B的坐标，代入解析式即可解答；
（2）先求出的面积，再由三角形的面积公式解答；
（3）先求出∠ACQ=45°，由SAS可证明，可得，QN=AO=12，即可求解．
（1）
解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
（2）
设
或
（3）
如图，延长AM交y轴于H，
直线AM的解析式为
当x=0时，y=6，
直线MC的解析式为
当y=0时，x=-6
如图，当点Q在AC上方时，连接QN，
当点在AC下方时，
点A是的中点，
综上所述，点Q的坐标为：或．
【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、三角形的面积公式、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA，OC的长是方程的两个根，点B是y轴上一动点，以AC为对角线作平行四边形ABCD．
(1)求直线AC的函数解析式；
(2)设点，记平行四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并直接写出当BD取最小值时S的值；
(3)当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形的同时，在x轴取一点P，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)6
(3)点P的坐标为或或（3，0）或
【分析】（1）先解一元二次方程，求出点A（-3，0），点C（0，4），然后利用待定系数法求AC解析式即可；
（2）过B作BF⊥AD于F，根据两点距离公式先求，然后利用平行四边形面积公式可得，根据垂线段最短，得出BD≥BF，当D与点F重合时，BD最短，利用BE∥OA，截线段成比例求出CB=OB=即可；
（3）当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形，根据勾股定理列方程求出，根据两点距离公式求出AB=，根据△ABP为等腰三角形分类，以点A为圆心，AB长为半径画弧的P1，P2，以点B为圆心AB长为半径画弧得出P3，AB的垂直平分线以x轴交于P4,利用线段和差，勾股定理求解即可
∴点P的坐标为或或（3，0）或．
【解析】（1）解：OA，OC的长是方程的两个根，
∴因式分解得，
∴，
∵，
∴OA=3，OC=4，
∴点A（-3，0），点C（0，4），
设直线AC的解析式为．
将点，代入函数中，得，
解得，
∴直线AC的解析式为；
（2）解：过B作BF⊥AD于F，
∵点，四边形ABCD是以AC为对角线的平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴，
∴，
∴，
∵BF⊥AD，
∴BD≥BF，
当D与点F重合时，BD最短，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE=CE，
∵BE在BF上，
BE∥OA，
∴，
∴CB=OB=，
∴S=3×2=6，
∴当BD取得最小值时，s的值为6；
（3）解：当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
∴AB=，BC=|4-m|，∴，
∴，解得，
∴AB=，
∵点P在x轴上，△PAB为等腰三角形，
点P在点A的左侧，PA=AB=，OP=PA+OA=，点P（，0），
点P在点A右侧，PA=AB=，OP=AB-OA=，点P（，0），
点P在点A右侧，PB=AB=，BO⊥AP，
∴OA=OP=3，点P（3，0），
当点P在AB的垂直平分线上时，AP=BP，
根据勾股定理，
即，解得OP=，
∴点P的坐标为或或（3，0）或
【点睛】本题考查解一元二次方程，勾股定理，垂线段最短，平行四边形的性质，平行线截线段成比例，菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握解一元二次方程方法，勾股定理，垂线段最短，平行四边形的性质，平行线截线段成比例，菱形的性质，等腰三角形的性质是解题关键．
14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x＋b(b>0)分别与x，y轴相交于A，B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．
(1)若b＝6，连接BC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
(2)P为x轴上的动点，连接PB，PC，当的值最大时，点A到直线PC的距离为6，求此时直线PC的函数表达式．
【答案】(1)①；②(-17，0)或(13，0)
(2)
【分析】（1）①由题意可知直线AB的解析式为y＝3x＋6．从而可确定A(-2，0)，B(0，6)，即得出OA=2，OB=6．过点C作轴于点H．由旋转的性质结合题意利用“AAS”易证，即得出，，从而可求出，即C(4，-2)；②根据题意可求出直线AC的解析式为，直线BC的解析式为，从而得出D(3，0)．设E(a，)，再分类讨论：ⅰ当点E在x轴上方时，根据平行四边形的性质即得出，即，求出a，即可求出F点坐标；ⅱ当点E在x轴下方时，过点E作轴于点G．由作图可知，再根据平行四边形的性质，即可利用“AAS”证明，得出EG=BO=6，从而得出，即，求出a，即可求出F点坐标；
（2）作点B关于x轴的对称点．连接、，延长交x轴于点．由题意可知B(0，b)，A(，0)，C(，)．由所作辅助线可知，，(0，-b)．根据三角形三边关系可知，即得出，即当点P与点重合时，最大．利用待定系数法可求出直线的解析式为y=x-b．即得出(b，0)，从而可得出，进而得出，．最后由结合等腰直角三角形的性质和勾股定理可列出关于b的等式，解出b即得出答案．
（1）
①∵b＝6，
∴直线AB的解析式为y＝3x＋6．
∴A(-2，0)，B(0，6)，
∴OA=2，OB=6．
如图，过点C作轴于点H．
∵，,
∴．
由旋转可知AC=AB，
又∵，
∴(AAS)，
∴，，
∴，
∴C(4，-2)；
②设直线AC的解析式为，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为．
同理可得：直线BC的解析式为，
∴D(3，0)．
∴可设E(a，)，
分类讨论：ⅰ当点E在x轴上方时，如图，
∵四边形BDFE为平行四边形，
∴轴，
∴，即，
解得：，
∴E(-20，6)，
∴F(-17，0)；
ⅱ当点E在x轴下方时，如图，过点E作轴于点G．
由作图可知．
∵四边形BDFE为平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴(AAS)，∴EG=BO=6，
∴，即，解得：，
∴E(16，-6)，∴F(13，0)；
综上可知：点F的坐标为(-17，0)或(13，0)；
（2）如图，作点B关于x轴的对称点．连接、，延长交x轴于点．
由题意可知B(0，b)，A(，0)，
由（1）得C(，)．
由所作辅助线可知，，(0，-b)．
∵，∴，
∴当点P与点重合时，最大．
设直线的解析式为y=mx+n，∴，解得：
∴直线的解析式为y=x-b．
∴(b，0)．∴，
∴，．
∵点A到直线PC的距离为6，即，
∴，解得：，
∴直线PC的函数表达式为．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形三边关系的应用，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，为困难题型．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
15．在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点E是线段AO上的一动点．
（1）如图1，当AE＝3OE时，
①求直线BE的函数表达式；
②设直线BE与直线AC交于点D，连接OD，点P是直线AC上的一动点（不与A，C，D重合），当S△BOD＝S△PDB时，求点P的坐标；
（2）如图2，设直线BE与直线AC的交点F，在平面内是否存在点M使以点A，E，F，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请简述理由．
【答案】（1）①直线BE的解析式为；②点P坐标为（，）或（，）；（2）存在，点M坐标为（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）①先求得点E坐标为（0，1），利用待定系数法即可求解；
②过点P作PG⊥轴交直线BD于点G，利用勾股定理及三角形面积公式求得点C坐标为（，0），利用待定系数法求得直线AC的解析式以及点D坐标，设点P坐标为（，），则点G坐标为（，），利用三角形面积公式即可求解；
（2）分AM为对角线、EM为对角线、FM为对角线三种情况讨论，求解即可．
【详解】解：（1）∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），
∴OA=4，
∵AE=3OE，
∴OE=1，
∴点E坐标为（0，1），
①设直线BE的解析式为，
∴，
解得，
∴直线BE的解析式为；
②过点P作PG⊥轴交直线BD于点G，
∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=，
∵AC⊥AB，AO⊥BC，
由勾股定理得：，
∴，
解得：OC=，
∴点C坐标为（，0），
设直线AC的解析式为，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为，
解方程，得，
，
∴点D坐标为（，），
设点P坐标为（，），则点G坐标为（，），
∴PG=，
∵S△BOD＝S△PDB，
∴，
即，整理得
解得：或；
当时，；当时，；
∴点P坐标为（，）或（，）；
（2）存在，
当AM为对角线时，
∵四边形AEMF是菱形，
∴AE=AF= ME=MF，则∠AEF=∠AFE，
∵∠ABF+∠AFE=90°，∠EBO+∠BEO=90°，∠AEF=∠BEO，
∴∠ABF=∠EBO，
过点F作FH⊥轴于点H，
则AF= FH，
∴点H与点M重合，
∴BM=BA=5，则OM=2，
∴点M坐标为（，）；
当EM为对角线时，
∵四边形AEFM是菱形，
∴AE=EF= FM=AM，则∠EAF=∠AFE，
∵∠ABF+∠AFE=90°，∠BAE+∠EAF=90°，
∴∠ABF=∠BAE，
∴BE=EA，
设BE=EA=x，
在Rt△BEO中，EO=4-x，BO=3，
∴，
解得：，
即BE=EA=EF=FM=，
延长MF交轴于点I，
则OE∥FI，即OE是△BFI的中位线，
∴FI=2EO=2(4-)=，OI=OB=3，
∴MI=
∴点M坐标为（，）；
当FM为对角线时，∵四边形AFEM是菱形，
∴MF是线段 AE的垂直平分线，AF=EF= EM=AM，MF∥BC，
∴∠AFM=∠EFM，∠AFM=∠ACB，∠MFE=∠FBC，
∴∠FBC=∠FCB，
过点F作FJ⊥轴于点J，
∴BJ=JC，
∵BC=，
∴OJ=，即点F的横坐标为，
∴，
∴点F的坐标为（，），
根据对称性，点M坐标为（，）；
综上，点M坐标为（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
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