北师大版八年级数学下册压轴题攻略第六章平行四边形B卷压轴题考点训练(原卷版+解析)

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第六章 平行四边形B卷压轴题考点训练1．如图，在中，是中线，是边上一动点，将沿折叠得到，若点（不与点重合）在的角平分线上，则的长为 _____．2．如图，平行四边形中，，，，P为边上的一动点，则的最小值等于______．3．如图，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，则的最小值是________．4．已知在中，，，点，分别在直角边和上运动，，当点到达点时，点停止运动，点为的中点，则的最小值为________．5．如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是______．6．在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______．7．如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．8．如图,中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是______________．9．如图，在平行四边形ABCD中，，，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为______．10．如图，在平行四边形OABC中，、，若，直线l经过D点并且把平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式是______．11．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝9，点M为BC的中点，AD平分△ABC的外角∠CAE，交BC延长线于点D，过点M作MN∥AD，交AB于点N，则AN的长为________．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：(1)求的值；(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．13．探究题：(1)方法探索】小米遇到了这样的问题：如图1，两条相等的线段，交于点，，，连接，，求证：．小米的想法如下：通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质转移线段的位置．以下是小米的部分证明过程：证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．请将解题过程补充完整．(2)【方法应用】如图2，在梯形中，，延长，交于点，在上截取，过点作交于，则线段、、的关系是______．(3)【解决问题】如图3，正方形边长为4，，，在上，且．则四边形周长的最小值是__．14．如图1，线段．点D为射线上一动点，以为边作菱形使，且点E、F与点N在的两侧，在线段上取一点G，使，直线与线段相交于点H（点H与点M、N不重合），与相交于点K．(1)求证：；(2)探索与的数量关系，并说明理由；(3)如图2，若，在上作一点P，使．①求证：；②求的周长（用含m的代数式表示）．15．平行四边形中，，，在的延长线上，在上，连接．(1)如图1，连接，若，，求的面积；(2)如图2，将绕着逆时针旋转，连接交于点，若点为中点，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，取中点，当，时，直接写出的面积.16．【问题原型】如图①，在中，点D是的中点，连接，．求证：．请补全证明过程．证明：如图①，点D是的中点（已知），∴（中点定义）．∵（已知），∴（等量代换）．∴______， ______．（____________）（填推理依据）∵，∴，∴．【结论应用】如图②，中，点D是的中点，连接，将沿翻折得到，连接，交于点O，连接．请判断与的位置关系，并说明理由．【应用拓展】如图③，在中，，点E是边的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长，交于点F．若，，，则的长为______． 第六章 平行四边形B卷压轴题考点训练1．如图，在中，是中线，是边上一动点，将沿折叠得到，若点（不与点重合）在的角平分线上，则的长为 _____．【答案】或【详解】解：如图1，当点在的角平分线上时，连接，，，由折叠可知，，是中线，，，，，∴是的中点，∵，，，∵是的中点，∴，在中，，，；如图2，当点在的角平分线上时，连接由折叠知，，，，，，，；综上所述：的长为或，故答案为：或．2．如图，平行四边形中，，，，P为边上的一动点，则的最小值等于______．【答案】【详解】如图，过点P作，垂足为Q，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，∴，∴当点C、P、Q三点共线时有最小值，且为的长，∴此时．∵，∴，∴，∴，∴的最小值为．故答案为：．3．如图，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，则的最小值是________．【答案】【详解】如下图，连接，．∵点N为的中点，点M为中点，∴，∴当最小时，最小．∵点F为的中点，∴．由折叠的性质可知，∴点在以F为圆心，以为半径的圆上运动，且点在平行四边形内．∵，∴当共线时，最小，即为的值．过点F作，如下图．∵四边形为平行四边形，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴的最小值为．4．已知在中，，，点，分别在直角边和上运动，，当点到达点时，点停止运动，点为的中点，则的最小值为________．【答案】【详解】解：如图，取的中点，，的中点，连接，∴，∵，，∴，，，∴，，∴,，根据题意可得，当在点时，在点，点与点重合，当在点时，在点，点与点重合，∴当在上运动时，在上运动，当时，取得最小值，在中，，∴,故答案为：．5．如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是______．【答案】2或或【详解】解：①时，过点作，垂足为点．∴为的中点，则，，取为的中点，∴，为的中位线，即，∴、、三点在一条线上，即，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴当时，是等腰三角形；②时，则，∵，，∴，∴则，∴当B时，是等腰三角形；③时，则点在的垂直平分线上，取中点，连接、．易知为矩形，∴，，∴、、在同一直线上，∴为的中位线，∵，， ∴，，，∴，即：，整理得：，即，解得：或（舍去）∴当时，△CDF是等腰三角形．综上，当、、时，是等腰三角形．故答案为：2或或．6．在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______．【答案】2【详解】解：如图，连接，取的中点F，连接，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵M是的中点，F是的中点，∴是的中位线，∴， ∴，同理得，，，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴．故答案为：2．7．如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．【答案】【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．，．，，∴四边形为平行四边形，．，，三点共线，此时的周长最小．，，即，，周长的最小值为：．故答案为：．8．如图,中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是______________．【答案】【详解】延长交于点，∵在正和正中，∴，∵，∴，∴，∴平分，又∵，∴，∵和都是等边三角形，∴，，，∴，∴，∴，同理可得：，∴，∴四边形是平行四边形，∴四边形的面积，又∵，在中，由勾股定理得：，∴，∴，即四边形面积的最大值为，故答案为：．9．如图，在平行四边形ABCD中，，，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为______．【答案】【详解】如图，连接AG，因为点E为AH的中点，点F为GH的中点，所以EF=，故EF的最小值，只有当AG取得最小值时，才能成立，AG的最小值为垂线段AG，过点A作AM⊥BC，垂足为M，因为，，所以BM=2，AM=，故EF的最小值为=故答案为：．10．如图，在平行四边形OABC中，、，若，直线l经过D点并且把平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式是______．【答案】【详解】解：∵平行四边形OABC的顶点坐标分别为，、，∴，∵将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分的直线一定过平行四边形OABC的对称中心Q，（对角线的交点）且OQ=BQ∴平行四边形OABC的对称中心，设直线l的解析式为，把，代入，得，解得∴该直线的函数表达式为．故答案为：．11．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝9，点M为BC的中点，AD平分△ABC的外角∠CAE，交BC延长线于点D，过点M作MN∥AD，交AB于点N，则AN的长为________．【答案】【详解】解：NA上截取NF=BN，连接CF，如图∵BM=MC，NF=BN，∴MNCF，∵ CFAD，则∠AFC=∠EAD，∠ACF=∠DAC，∵AD平分∠CAE，∴∠DAC=∠EAD，∴∠ACF=∠AFC，∴AF=AC=9，∴BF=AB-AF=11，∵MN是△BCF的中位线，∴BN=NF=，∴AN=NF+AF=．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：(1)求的值；(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)72(2)(3)存在，或或【详解】（1）解：，解得，，，，；（2）解：如图1，过点E作轴于M，，是等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，，，，，；（3）解：存在；，，，，如图：设点P的坐标为，当以为对角线时，解得此时，点的坐标为；当以为对角线时，解得此时，点的坐标为；当以为对角线时，解得此时，点的坐标为；综上，点P的坐标为或或．13．探究题：(1)方法探索】小米遇到了这样的问题：如图1，两条相等的线段，交于点，，，连接，，求证：．小米的想法如下：通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质转移线段的位置．以下是小米的部分证明过程：证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．请将解题过程补充完整．(2)【方法应用】如图2，在梯形中，，延长，交于点，在上截取，过点作交于，则线段、、的关系是______．(3)【解决问题】如图3，正方形边长为4，，，在上，且．则四边形周长的最小值是______．【答案】(1)答案见解析(2)且(3)【详解】（1）解：如图1 ：，， 四边形是平行四边形，， ， ，是等边三角形，， 在中，， ；（2）如图2：过点F作交的延长线于H，延长交于M，，， ，， 在和中，，，，，四边形是平行四边形，， ， ，的关系是且；（3）如上图，连接， 在中，，要求四边形周长的最小值，由于是定值，所以只要为最小值即可，把平移到与交于点，作点关于直线的对称点，连接与交于点P， ，当时，为最小值，最小值为的长度，过点E作于F，则四边形是矩形，，，， ，在中，，四边形周长的最小值为．14．如图1，线段．点D为射线上一动点，以为边作菱形使，且点E、F与点N在的两侧，在线段上取一点G，使，直线与线段相交于点H（点H与点M、N不重合），与相交于点K．(1)求证：；(2)探索与的数量关系，并说明理由；(3)如图2，若，在上作一点P，使．①求证：；②求的周长（用含m的代数式表示）．【答案】(1)见解析(2)，详见解析(3)①见解析；②【详解】（1）∵四边形是菱形，∴在和中，∴（2），理由如下：∵∴，∵∴∵，∴∴∴∴（3）①∵，，∴∴②如图2，过点E作交于点Q∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵∴∴是等边三角形∴∵，∴∵∴∴∴的周长∴的周长为．15．平行四边形中，，，在的延长线上，在上，连接．(1)如图1，连接，若，，求的面积；(2)如图2，将绕着逆时针旋转，连接交于点，若点为中点，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，取中点，当，时，直接写出的面积.【答案】(1)(2)见详解(3)【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，，，，，，，；，，．（2）证明：过作交的延长线于点，过作交于点，，是的中点，，，点为中点，是的中位线，；由（1）得，，，，，，，，；将绕着逆时针旋转，，，，又，，在和中，≌，，，，，，即：，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，．（3）解：连接、、，由（2）得：，，，，，，点为中点，四边形是平行四边形，，，，，，由（1）得：，，，又是的中点，，、、三点共线，，，是直角三角形，，，设，则有，，，，，，在中：，即：，解得：，，， ，，，．16．【问题原型】如图①，在中，点D是的中点，连接，．求证：．请补全证明过程．证明：如图①，点D是的中点（已知），∴（中点定义）．∵（已知），∴（等量代换）．∴______， ______．（____________）（填推理依据）∵，∴，∴．【结论应用】如图②，中，点D是的中点，连接，将沿翻折得到，连接，交于点O，连接．请判断与的位置关系，并说明理由．【应用拓展】如图③，在中，，点E是边的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长，交于点F．若，，，则的长为______．【答案】【问题原型】；；等边对等角；【结论应用】；理由见解析【应用拓展】【详解】证明：【问题原型】如图①，点D是的中点（已知），∴（中点定义）．∵（已知），∴（等量代换）．∴，，（等边对等角）∵，∴，∴；故答案为：；；等边对等角．解：【结论应用】；理由如下：根据折叠可知，，，∴，∵点D是的中点，∴，根据【问题原型】中的结论可知，，∴，∴．解：【应用拓展】过点D作于点G，连接交于点O，如图所示：∵，，∴，∵，∴在中，根据勾股定理可得：，∵为的中点，∴，∴，根据勾股定理可得，，根据折叠可知，，，∴，，∴，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴四边形为平行四边形，∴，故答案为：．