山西省榆次第一中学校2024-2025学年高二上学期开学考试(暑假作业检查)数学试题(原卷版)
展开一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意的.)
1. 设,则
A. B. C. D.
2. 若构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A. B.
C. D.
3. 的内角的对边分别为,且,若边的中线等于3,则ΔABC的面积为( )
A. B. C. D.
4. 河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型,经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型,冠部为“方斗”形,上扬下覆,取上承“甘露”、下纳“地气”之意.冠部以及冠部下方均可视为正四棱台.已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为,高为2,体积为,则该“方斗”的侧面积为( )
A. 24B. 12C. D.
5. 设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )
A B.
C. D.
6. 如图所示,为测一树的高度,在地面上选取、两点,从、两点分别测得树尖的仰角为、,且、两点之间的距离为,则树的高度为( )
A. B. C. D.
7. 已知10个数据:4,5,6,7,8,8.5,9,10,11,11.5,则这组数据第40百分位数是( )
A. 8B. 7C. 8.5D. 7.5
8. 已知向量,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是( )
A. 关于直线对称B. 关于点对称
C. 周期为D. 在上是增函数
二、选择题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对的得部分3分,有选错的得0分.)
9. 已知点和,点在轴上,且为直角,求点的坐标( )
A. B. C. D.
10. 如图,在中,是的三等分点,则( )
A.
B. 若,则在上的投影向量为
C. 若,则
D. 若
11. 如图,在四棱锥中,平面,底面是正方形,且,,分别为,的中点,则( )
A. 平面
B. 四棱锥的外接球的表面积为
C. 与平面所成角的正弦值为
D. 点A到平面的距离为
三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分.)
12. 经过两点的直线的方向向量为,求k的值为__________.
13. 过两点的直线l的倾斜角为,求的值为__________.
14. 如图,若斜边长为的等腰直角(与重合)是水平放置的的直观图,则的面积为________.
四、解答题(本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15 利用空间向量知识完成本题.
(1)如图1,在长方体中.线段上是否存在点,使得平行于平面?
(2)如图2,在平行六面体中,求证直线垂直于平面.
(3)如图3,在棱长为1正方体中,为线段的中点,为线段的中点.
(I)求点B到直线的距离;
(II)求直线到平面的距离.
16. 判断下列各对直线是否平行或垂直:
(1)经过两点的直线,与经过且斜率为1的直线;
(2)经过两点的直线,与经过点且斜率为的直线.
(3)试确定的值,使过两点的直线与过两点的直线:
(I)平行;
(II)垂直.
17. 在中,角、、所对的边分别为、、,且.
(1)求值;
(2)若,求的最大值.
18. 甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间.
(2)若甲抽到红桃3,则乙抽到牌的牌面数字比3大的概率是多少?
(3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之则乙胜,你认为此游戏是否公平?并说明你的理由.
19. 如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.
(1)证明:;
(2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.
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