黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1. 复数的实部为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出复数后，结合复数定义即可得.
【详解】，故其实部为2．
故选：C.
2. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（ ）
A. 4B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据直观图画出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出平面图形的面积.
【详解】由直观图可得如下平面图形：
其中，，
所以.
故选：A
3. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有1个白球和都是白球B. 至少有1个白球和至少有1个红球
C. 恰有1个白球和恰有2个白球D. 至少有1个白球和都是红球
【答案】C
【解析】
【分析】利用互斥事件和对立事件的概念分析各个选项的具体含义求解即可.
【详解】“至少有1个白球”和“都是白球”可以同时发生，故它们不互斥；
“至少有1个白球”和“至少有1个红球”，因为1个白球1个红球时两种情况同时发生，故它们不互斥；
“恰有1个白球”和“恰有2个白球”不可能同时发生，所以它们互斥，当2个球都是红球时它们都不发生，所以它们不是对立事件；
“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，所以它们互斥.
因为它们必有一个发生，所以它们是对立事件.
故选：C.
4. 为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（ ）
A. 800，360B. 600，108C. 800，108D. 600，360
【答案】B
【解析】
【分析】由扇形图求出三个年级的学生总人数，进而求出样本容量，求出抽取的二年级学生人数，再结合二年级学生的满意率求解.
【详解】由扇形图可知，三个年级的学生总人数为人，
所以样本容量为人，
因为抽取的二年级学生人数为人，
所以抽取的二年级学生中满意的人数为人.
故选：B
5. 已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合已知根据投影向量的定义得出即可求解.
【详解】因为在方向上的投影向量是，
所以，
所以，又
所以.
故选：D.
6. 如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，利用余弦定理求解即可.
【详解】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，
则为异面直线EC与BD所成角或其补角，
不妨设，易得，
，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为．
故选：A．

7. 万丈悬梯高可攀，白塔座落嘉陵边．白塔作为阆中市的标志性建筑之一．当你登临顶层，会欣赏到阆中AAAAA风景的全貌．感觉人仿佛在凌空飞翔．现有一数学兴趣小组，如图，测量河对岸的白塔高，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点与．现测得米，在点C测得塔顶的仰角为，则测得的塔高为（ ）米．

A. B. 10C. D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得由余弦定理可得的值，然后在中，由，即可得到结果.
【详解】在中，由得
所以米，
在中，由余弦定理可得
，所以，
在，可得，
所以米.
故选：D
8. 如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，利用三角形相似得到，，表达出，利用基本不等式求出最值即可.
【详解】设，则，
因为M，N分别为AB，AC边上的中点，所以，，
故，
因为∽，所以，
设，则，，
故，故，
同理可得，，
因为∽，所以，
设，则，
，，
故，，
则
因为，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故.
故选：C
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，则（ ）
A. 该组数据的极差为25
B. 该组数据的分位数为19
C. 该组数据的平均数为17
D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据数据的极差、第百分位数和平均数的公式计算判断各个选项；
【详解】对于A项，极差等于，故A正确；
对于B项，，故分位数为20，B错误；
对于C项，平均数等于；故C正确；
对于D项，去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D项正确，
故选：ACD．
10. 已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，且，则
D. 若，，且，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可得答案.
【详解】对于A，若，，则或与异面，故A不正确；
对于B，根据面面垂直的性质定理可知，B正确；
对于C，若，，且，则或与相交，故C不正确；
对于D，若，，则，过作平面，使得，因为，所以，所以，因为，所以.故D正确.

故选：BD
11. 已知函数，则下列说法正确是（ ）
A. 若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象
B. 若，则当时，的值域为
C. 若在区间上恰有个零点，则
D. 若在区间上单调递增，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【详解】
，
当时，，则将的图象向左平移个单位长度得到：
，故A正确；
当时，，当时，，
故，则的值域为，故B错误；
令，，则，，
又，
若在区间上恰有个零点，则，解得，故C错误；
若在区间上单调递增，
则，又，所以，解得，
又，所以，
由可得，
要使在区间上单调递增，则，解得，故D正确．
故选：AD．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)
12. 已知向量，且，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】先算出的坐标，然后由向量的数量积公式列方程即可求解.
【详解】因为向量，
所以，
而，所以，解得.
故答案为：4.
13. 一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图1，底面处于水平状态将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面所的平面与各棱交点E，F，，分别为所在的棱的中点，则图1中水面的高度为________．
【答案】6
【解析】
【分析】设正三棱柱的底面边长为，在图1中，设水面的高度为，根据图1和图2中水的体积相等可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】设正三棱柱的底面边长为，则，
在图1中，设水面的高度为，则水的体积为，
在图2中，几何体直四棱柱，
因为为等边三角形，分别为棱的中点，所以，
则水的体积为，解得.
故答案为：6.
14. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由结合余弦定理和面积公式可得，再利用同角三角函数的关系可求得的值，由化简得，由三角函数的性质求出的范围，从而可求出的最小值.
【详解】因为，，
所以，所以，
因为，所以，
即，解得或（舍去），
因为，所以，
在锐角中，有，，则，
所以，
因为
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，
所以
，
设（），则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案：
【点睛】关键点点睛：此题考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用余弦定理和三角形的面积公式对化简变形，考查计算能力，属于难题.
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 已知，，．
（1）求与的夹角；
（2）求与．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的运算律展开已知条件，将，代入求解可得；
（2）利用向量平方等于模的平方，转化为数量积求解即可.
【小问1详解】
由，得，
即，求得，
再由，可得．
【小问2详解】
；
．
16. 2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：

（1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；
（2）现用分层抽样方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；
（2）首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：
；
【小问2详解】
样本中年龄在区间的频率为，
年龄在区间的频率为，
则年龄在区间抽取人，分别记作、、、，
年龄在区间抽取人，分别记作、，
从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、
、、、、、、、、共个，
其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个，
所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.
17. 甲､乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
（1）求甲､乙各射击一次，至少击中目标一次的概率；
（2）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
（2）根据“第次击中，后两次未击中”求得乙恰好射击4次后被终止射击的概率．
【小问1详解】
甲､乙各射击一次，至少击中目标一次的概率为：
.
【小问2详解】
乙恰好射击4次后被终止射击，则“第次击中，后两次未击中”，
故所求概率为：.
18. 在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.
①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分）
问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 .
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）3
（3）
【解析】
【分析】（1）选①：由正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简得到求解；选②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；选③利用三角形面积公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解.
（2）利用余弦定理和基本不等式即可解题；
（3）由正弦定理得到，从而有求解.
【小问1详解】
若选①：由正弦定理得，
则，
，
，
．
若选②：，切化弦，得到，
则由正弦定理得，，即，，
，
若选③：，
则，
由正弦定理得，
，
.
【小问2详解】
由余弦定理得，，
则，当且仅当“”时，取“＝”号，即．
，则，当且仅当“”时取得最大值．
【小问3详解】
由正弦定理得，
则，
，由于为锐角三角形，
则，
.
.
19. 如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上．

（1）当点M与点重合时，
①证明：平面；
②求二面角的余弦值；
（2）设直线CD与平面所成的角为，二面角A'-BM-C的平面角为，求的最大值．
【答案】（1）①证明见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由题意可得，，，则平面，从而有，再由线面垂直的判定定理可证得结论；②过E作EO⊥BD于点O，连接，可证得为二面角的平面角，然后在中求解即可；
（2）过点做交于，所以直线与平面所成的角,即为直线与平面所成的角，过E作EO⊥BM于点O，连接，连接，是直线与平面所成的角，是二面角A'-BM-C平面角，设，然后表示出化简后利用二次函数的性质可求得其最大值.
【小问1详解】
①

当点M与端点D重合时，由可知，
由题意知平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以
因为，平面，平面，
所以平面；
②

过E作EO⊥BD于点O，连接.
因为平面，平面，所以，
因为EO⊥BD， ，，平面，
所以平面，因平面，所以，
所以为二面角的平面角,
且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线.
因为所以，所以，
所以，
所以，
所以，
所以在中，，
即二面角的余弦值为.
【小问2详解】

过点做交于，所以直线与平面所成的角,
即为直线与平面所成的角，
过E作EO⊥BM于点O，连接.
由②同理可得平面，平面，
所以平面平面，
作，垂足为，平面平面，平面，
所以平面，
连接，是直线与平面所成的角，即，
因为，满足，
设，所以，
所以，
所以，，
因为在中，斜边大于直角边，即，
所以，所以，
，
在中由等面积，，
因为，，所以是二面角A'-BM-C平面角，
即，，
，当且仅当时“＝”成立，
故的最大值.
【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查线面角和二面角的求法，解题的关键是通过几何方法找出线面角和二面角，然后在三角形中求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.