2021-2022学年安徽省无为市八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年安徽省无为市八年级上学期期中数学试题及答案，共24页。
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，谐务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
选择题（本题共 10小题，每题4分，共40分）每小题都给出A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
1．全民阅读已成为一种良好风尚，现在的图书是人们阅读的好地方．下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是（ ）
2．一个木工师傅现有两根木条，它们的长度分别为30和80，现在要做一个三角形的木架，则第三根木条应选取（ ）
A．10B．40C．70D．130
3．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x轴对称，则m+n的值（ ）
A．3B．﹣14C．7D．﹣8
4．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A90°B．95°C．100°D．105°
6．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠EB．AC＝DFC．∠ACD＝∠BFED．BF＝CD
7．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④
8．如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（ ）
A．60°B．70°C．75°D．90°
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（ ）
A．∠CAD＝30°B．AD＝BDC．BD＝2CDD．CD＝ED
10．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为（ ）
A．10B．12C．13D．14
填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为 ．
12．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进5米后向左转40°，再沿直线前进5米后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
13．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝4，则PC的长为 ．
14．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动 秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动 秒后，可得等边三角形AMN？
解答题（本大题2小题，每题8分，满分16分）
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标： ；
（3）△ABC的面积＝ ．
16．生活中处处有数学．
（1）如图（1）所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的数学原理是 ；
（2）如图（2）所示，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由．
四、解答题（本大题2小题，每题8分，满分16分）
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．
18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．
五、解答题（本大题2小题，每题10分，满分20分）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
20．如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．
（1）求证△ACD≌△CBE；
（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
六、解答题（本题12分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上的一点，线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G．
（1）当∠B＝30°时，AE和EF有什么关系？请说明理由；
（2）当点D在BC延长线上（CD＜BC）运动时，点E是否在线段AF的垂直平分线上？
七、解答题（本题满分12分）
34．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，P是线段AD的中点，Q是线段BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求证：△CPQ为等边三角形．
八、解答题（本题满分14分）
23．在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E在射线AC上运动，且∠ADE＝∠AED，设∠DAC＝n．
（1）如图①，当点D在边BC上时，且n＝36°，则∠BAD＝ ，∠CDE＝ ；
（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；
（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共 10小题，每题4分，共40分）每小题都给出A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
1．全民阅读已成为一种良好风尚，现在的图书是人们阅读的好地方．下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是（ ）
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．一个木工师傅现有两根木条，它们的长度分别为30和80，现在要做一个三角形的木架，则第三根木条应选取（ ）
A．10B．40C．70D．130
【分析】根据三角形的三边关系，则第三根木条的取值范围是大于两边之差50，而小于两边之和110．
【解答】解：80﹣30＜x＜80+30，
即50＜x＜110．
故选：C．
【点评】考查了三角形的三边关系，关键是根据三角形的三边关系得出范围解答．
3．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x轴对称，则m+n的值（ ）
A．3B．﹣14C．7D．﹣8
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，再计算m+n即可．
【解答】解：由题意，得
m+2＝﹣4，n+5＝﹣3，
解得m＝﹣6，n＝﹣8．
m+n＝﹣14．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【分析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，
∵∠ACB′＝100°，
∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，
∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理求出∠ACD的度数，根据线段垂直平分线的性质得出∠BCD＝∠B，再由三角形外角的性质求出∠BCD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵CD＝AC，∠A＝50°，
∴∠ADC＝∠A＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
∵由作图可知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴∠BCD＝∠B＝∠ADC＝25°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝80°+25°＝105°．
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
6．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠EB．AC＝DFC．∠ACD＝∠BFED．BF＝CD
【分析】根据全等三角形的全等定理逐个判断即可．
【解答】解：A．符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∵∠ACD＝∠BFE，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠BFE＝∠E+∠D，∠A＝∠D，
∴∠B＝∠E，
即符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵BF＝CD，
∴BF+CF＝CD+CF，
即BC＝DF，
∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质和全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
7．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④
【分析】根据等边三角形的判定判断．
【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．
所以都正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况．
8．如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（ ）
A．60°B．70°C．75°D．90°
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFC）＝180°﹣120°＝60°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（ ）
A．∠CAD＝30°B．AD＝BDC．BD＝2CDD．CD＝ED
【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD＝∠BAD＝∠B，推出AD＝BD，AD＝2CD即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD，AD＝2CD，
∴BD＝2CD，
根据已知不能推出CD＝DE，
即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
10．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为（ ）
A．14B．13C．12D．10
【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝14，求得EG＝8，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BF＝7，
∴BG＝2BF＝14，
∴EG＝8，
∴CE＝CG＝4，
∴AC＝BC＝10，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为 ．
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得AC＝2AE，AD＝DC，从而可得答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴AC＝2AE＝6，AD＝DC，
∵AB+BD+AD＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝13+6＝19．
故答案为：19．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
12．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进5米后向左转40°，再沿直线前进5米后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．
【解答】解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，所以共转了9次，一次沿直线前进5米，9次就前进45米．
故答案为：45．
【点评】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，注意多边形的外角和是360°．
13．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝4，则PC的长为 ．
【分析】由角平分线定理得到PE＝PD，由平行线的性质和角平分线的定义得出∠COP＝∠CPO，利用三角形外角的性质求出∠ECP＝30°，在直角三角形ECP中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出结果．
【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，如图所示：
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD＝4，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠POD，
又∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠CPO＝∠BOP＝15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，
∴PC＝2PE＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了含30°角直角三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质；熟练掌握性质及定理是解本题的关键．同时注意辅助线的作法．
14．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动 秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动 秒后，可得等边三角形AMN？
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t＝，
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN．
故答案为：（1）10；（2）．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
三、解答题（本大题2小题，每题8分，满分16分）
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标： ；
（3）△ABC的面积＝ ；
（4）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小，并求出△PAC周长的最小值．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）由关于y轴的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等可得；
（3）割补法求解可得；
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）点C（﹣1，2）关于y轴的对称点C′的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
（3）△ABC的面积＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义与性质等知识点．
16．生活中处处有数学．
（1）如图（1）所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的数学原理是 ；
（2）如图（2）所示，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由．
【分析】（1）利用三角形的稳定性进而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定与性质进而填空得出即可．
【解答】解：（1）如图1所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是：三角形的稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性；
（2）合适，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵点M是BC的中点，
∴MB＝MC，
在△MEB与△MCF中
，
∴△MEB≌△MFC（SAS），
∴ME＝MF，
∴想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及线段的性质和三角形稳定性等知识，熟练掌握相关性质是解题关键．
四、解答题（本大题2小题，每题8分，满分16分）
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据∠F＝25°，即可得出BE∥DF．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
又∵∠F＝25°，
∴∠F＝∠CEB＝25°，
∴DF∥BE．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．
【分析】（1）以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过这点和B作直线即可；
（2）由∠A＝36°，求出∠C、∠ABC的度数，能求出∠ABD和∠CBD的度数，即可求出∠BDC，根据等角对等边即可推出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
BD即为所求；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝36°+36°＝72°，
∴BD＝BC，
∴△DBC是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的性质，作图与基本作图等知识点，解此题的关键是能正确画图和求出∠C、∠BDC的度数．
五、解答题（本大题2小题，每题10分，满分20分）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
20．如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．
（1）求证△ACD≌△CBE；
（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
【分析】（1）根据小蚂蚁的速度相同求出AD＝CE，再利用“边角边”证明△ACD和△CBE全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠EBC＝∠ACD，然后表示出∠BFC，再根据等边三角形的性质求出∠ACB，从而得到∠BFC．
【解答】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同，
∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE，
∵在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴∠EBC＝∠ACD，
∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，
∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，
＝180°﹣∠ACB，
∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BFC无变化．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，主要利用了全等三角形对应角相等的性质，等边三角形的性质，根据小蚂蚁的速度相同求出AD＝CE是证明三角形全等的关键．
六、解答题（本题12分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上的一点，线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G．
（1）当∠B＝30°时，AE和EF有什么关系？请说明理由；
（2）当点D在BC延长线上（CD＜BC）运动时，点E是否在线段AF的垂直平分线上？
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出DE＝BE，求出∠D＝∠B＝30°，根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠A＝∠DEA＝60°，即可得出答案；
（2）求出∠A＝∠AFE，根据线段垂直平分线性质得出即可．
【解答】解：（1）AE＝EF，
理由是：∵线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G，
∴DE＝BE，
∵∠B＝30°，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠DEA＝∠D+∠B＝60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠A＝∠DEA＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF；
（2）点E是在线段AF的垂直平分线，
理由是：∵∠B＝∠D，∠ACB＝90°＝∠FCD，
∴∠A＝∠DFC，
∵∠DFC＝∠AFE，
∴∠A＝∠AFE，
∴EF＝AE，
∴点E是在线段AF的垂直平分线．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能熟记线段垂直平分线内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
七、解答题（本题满分12分）
34．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，P是线段AD的中点，Q是线段BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求证：△CPQ为等边三角形．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，得出∠ACD＝∠BCE，由SAS证明△ACD≌△BCE，得出对应边相等即可；
（2）由△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，证出PD＝QE，再由SAS证明△CDP≌△CEQ，得出CP＝CQ，∠PCD＝∠QCE，然后证出∠PCQ＝60°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，
又∵点P、Q分别是线段AD、BE的中点，
∴PD＝AD，QE＝BE，
∴PD＝QE，
在△CDP和△CEQ中，
，
∴△CDP≌△CEQ（SAS），
∴CP＝CQ，∠PCD＝∠QCE，
又∵∠DCE＝60°，
∴∠QCE+∠QCD＝60°，
∴∠PCD+∠QCD＝60°，
即∠PCQ＝60°，
∴△CPQ为等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等得出对应角相等、对应边相等是解决问题的关键．
八、解答题（本题满分14分）
23．在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E在射线AC上运动，且∠ADE＝∠AED，设∠DAC＝n．
（1）如图①，当点D在边BC上时，且n＝36°，则∠BAD＝ ，∠CDE＝ ；
（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；
（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．
【分析】（1）如图①，将∠BAC＝100°，∠DAC＝36°代入∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，求出∠BAD．在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝40°，根据三角形外角的性质得出∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝104°，在△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ADE＝∠AED＝72°，那么∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝32°；
（2）如图②，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠AED＝．根据三角形外角的性质得出∠CDE＝∠ACB﹣∠AED＝，再由∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC得到∠BAD＝n﹣100°，从而得出结论∠BAD＝2∠CDE；
（3）如图③，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠AED＝．根据三角形外角的性质得出∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝，再由∠BAD＝∠BAC+∠DAC得到∠BAD＝100°+n，从而得出结论∠BAD＝2∠CDE．
【解答】解：（1）∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝100°﹣36°＝64°．
∵在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝40°+64°＝104°．
∵∠DAC＝36°，∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED＝72°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝104°﹣72°＝32°．
故答案为64°，32°；
（2）∠BAD＝2∠CDE，理由如下：
如图②，在△ABC中，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°．
在△ADE中，∠DAC＝n，
∴∠ADE＝∠AED＝．
∵∠ACB＝∠CDE+∠AED，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠AED＝40°﹣＝．
∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，
∴∠BAD＝n﹣100°，
∴∠BAD＝2∠CDE；
（3）∠BAD＝2∠CDE，理由如下：
如图③，在△ABC中，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝140°．
在△ADE中，∠DAC＝n，
∴∠ADE＝∠AED＝．
∵∠ACD＝∠CDE+∠AED，
∴∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝140°﹣＝．
∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，
∴∠BAD＝100°+n，
∴∠BAD＝2∠CDE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，从图形中得出相关角度之间的关系是解题的关键．