安徽省芜湖市无为市2022-2023学年九年级上学期11月期中检测数学试题(解析版)

这是一份安徽省芜湖市无为市2022-2023学年九年级上学期11月期中检测数学试题(解析版)，共23页。试卷主要包含了下列图形中，中心对称图形是，下列说法中正确的是，抛物线y＝，已知，其中正确的结论有等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年无为市九年级上学期期中教学质量检测
数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形中，中心对称图形是（　　）
A． B． C．D．
2．若关于x的一元二次方程﹣2x2﹣3x+n＝0有两个不相等的实数根，则n的最小整数解是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3．下列说法中正确的是（　　）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
4．抛物线y＝（x﹣a）2+a﹣1的顶点一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（　　）

A．45° B．50° C．60° D．100°
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠ABC＝108°，则∠AOC的度数为（　　）

A．72° B．108° C．144° D．150°
7．如图，“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠AOB＝（　　）

A．15° B．20° C．25° D．35°
8．已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c＝0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；⑤8a+c＜0．其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．北京冬奥会跳台滑雪项目比赛其标准台高度是90m．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（　　）

A．10m B．15m C．20m D．22.5m
10．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（　　）

A．4+ B．9 C．6 D．4
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为 　 　．
12．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC 　 　．

13．如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，若正方形CEFG绕点C旋转，则点F到点A的距离最小值为 　 　．

14．二次函数y＝kx2﹣x﹣4k（k为常数，且k≠0）始终经过第二象限内的定点A．
（1）定点A的坐标是 　 　；
（2）设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y＝m在1＜x＜3内没有交点，则k的取值范围是 　 　．
三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣2）（a＜0）与x轴只有1个交点，且经过点（2，﹣1），求二次函数的表达式．
16．在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．
（1）旋转中心是　 　．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．

四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 　 　．

18．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．

五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．阅读材料：a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，求a，b的值．
解：∵a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣4）2＝0，
∴a＝4，b＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若m2+n2﹣4m+4＝0，则m＝　 　，n＝　 　；
（2）已知x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，求xy的值．
20．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+8交于B，C两点（B在C的左侧）．
（1）求B，C两点坐标；
（2）记抛物线的顶点为A，求△ABC的面积．

六．解答题（本大题满分12分）
21．如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．

七．解答题（本大题满分12分）
22．2022年2月20日，北京冬奥会顺利闭幕，冬奥会带来了冰雪消费热．某商场决定购进“冰墩墩”和“雪容融”两种纪念品进行销售，已知每件“冰墩墩”比每件“雪容融”的进价高30元，用1000元购进“冰墩墩”的数量和用400元购进“雪容融”的数量相同．经市场调查，整理出“冰墩墩”的售价x（元/件）与销量的关系如表：

（1）求“冰墩墩”和“雪容融”每件的进价分别为多少元？
（2）求出当x为何值时，售出“冰墩墩”所获利润最大，最大利润为多少？




八．解答题（本大题满分14分）
23．如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．
（1）求证：CE平分∠BED；
（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MH∥BG；
（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．



















2022-2023学年无为市九年级上学期期中教学质量检测
数学试卷参考答案与试题解析

一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形中，中心对称图形是（　　）
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
2．若关于x的一元二次方程﹣2x2﹣3x+n＝0有两个不相等的实数根，则n的最小整数解是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出n的范围，确定出最小整数解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程﹣2x2﹣3x+n＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝9+8n＞0，
解得：n＞﹣，
则n的最小整数解为﹣1．
故选：B．
3．下列说法中正确的是（　　）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
【分析】根据垂径定理、圆的轴对称性质以及圆心角定理逐项分析即可．
【解答】解：A、直径是弦，正确
B、相等的圆心角所对的弧也相等是错误的，缺少必要条件：必须是在同圆或等圆中．
C、圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴是错误的，对称轴是直线，而圆的直径是线段；
D、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是错误的，缺少必要条件：被平分的弦不能是圆的直径；故选：A．
4．抛物线y＝（x﹣a）2+a﹣1的顶点一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用分类讨论的方法可以解答本题．
【解答】解：∵y＝（x﹣a）2+a﹣1，
∴该抛物线的顶点坐标为（a，a﹣1），
当a﹣1＞0时，a＞0，此时顶点在第一象限，故选项A不符合题意；
当0＜a＜1时，此时顶点在第四象限，故选项D不符合题意；
当a＜0时，a﹣1＜0，此时顶点在第三象限，故选项C不符合题意；
故选：B．
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（　　）

A．45° B．50° C．60° D．100°
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝80°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝80°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝50°，
故选：B．
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠ABC＝108°，则∠AOC的度数为（　　）

A．72° B．108° C．144° D．150°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠D+∠ABC＝180°，求出∠D的度数，再根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠D，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝108°，
∴∠D＝72°，
∴∠BOC＝2∠D＝144°，
故选：C．
7．如图，“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠AOB＝（　　）

A．15° B．20° C．25° D．35°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，则可求出∠AOB的度数．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∴∠AOB＝25°，
故选：C．
8．已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③a﹣b+c＝0；
④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
⑤8a+c＜0．
其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标即可判断a，b，c的值，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点个数，即可判断②；把（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中，进行计算即可判断③；根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断④；根据抛物线的对称轴可得b＝﹣2a，再根据当x＝﹣2时，y＜0，进行计算即可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故②正确；
把（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中得：
a﹣b+c＝0，
故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，
故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a+4a+c＜0，
∴8a+c＜0，
故⑤正确；
所以，上列结论中正确的有4个，
故选：A．
9．北京冬奥会跳台滑雪项目比赛其标准台高度是90m．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（　　）

A．10m B．15m C．20m D．22.5m
【分析】将点（0，90.0）、（20，93.9）、（40，82.2）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
【解答】解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，90.0）、（20，93.9）、（40，82.2），
则，
解得：，
所以x＝﹣＝﹣＝15（m）．
故选：B．
10．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（　　）

A．4+ B．9 C．6 D．4
【分析】连接OC，OF，设OB＝x，则AB＝BC＝2x，在Rt△BCO和Rt△FEO中利用勾股定理列出等式计算x的值，进一步求出半径即可．
【解答】解：连接OC，OF，

设OB＝x，
∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，
∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，
∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，
∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，
在Rt△BCO中，OC＝，
在Rt△FEO中，OF＝，
∵OF＝OC，
∴5x2＝x2+8x+32，
解得x＝4或x＝﹣2（舍去）
当x＝4时，OC＝4，
则半圆O的半径是4．
故选：D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为 2020　．
【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）得a﹣b＝1，再把2022﹣2a+2b变形为2022﹣2（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）得a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2022﹣2a+2b
＝2022﹣2（a﹣b）
＝2022﹣2×1
＝2022﹣2
＝2020．
故答案为：2020．

12．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC 　 　．

【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°可知∠CAB＝60°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝15°，
∴∠CAB＝75°，
∴∠BDC＝∠CAB＝75°，
13．如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，若正方形CEFG绕点C旋转，则点F到点A的距离最小值为 　 　．

【分析】首先根据题意找到点F到点A的距离最小值时点F的位置，然后利用正方形的性质求解即可．
【解答】解：当点F在正方形的对角线AC上时，由三角形三边关系可知AF＝AC﹣CF，
当点F不在正方形的对角线AC上时，由三角形三边关系可知AC﹣CF＜AF＜AC+CF，
∴当点F在正方形的对角线AC上时，点F到点A距离最小值，
∵正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，
∴AC＝2cm，CF＝cm，
∴AF＝AC﹣CF＝cm，

14．二次函数y＝kx2﹣x﹣4k（k为常数，且k≠0）始终经过第二象限内的定点A．
（1）定点A的坐标是 　（﹣2，2）　；
（2）设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y＝m在1＜x＜3内没有交点，则k的取值范围是 　0＜k≤1或﹣1≤k＜0　．
【分析】（1）先将抛物线的解析式进行化简：y＝kx2﹣x﹣4k＝k（x2﹣4）﹣x，当x2﹣4＝0时，抛物线过定点，从而得结论；
（2）先计算二次函数过两个定点，确定m＝2，根据该函数图象与y＝m在1＜x＜3内没有交点，分k＞0和k＜0两种情况列不等式可解答．
【解答】解：（1）y＝kx2﹣x﹣4k＝k（x2﹣4）﹣x，
x2﹣4＝0，
x＝±2，
当x＝﹣2时，y＝2，
∵点A在第二象限，
∴A（﹣2，2）；
故答案为：（﹣2，2）；
（2）当x＝2时，y＝﹣2，
∴二次函数y＝kx2﹣x﹣4k（k为常数，且k≠0）始终经过定点（﹣2，2）和（2，﹣2），
由（1）知：m＝2，
∵函数y＝kx2﹣x﹣4k的图象与y＝2在1＜x＜3内没有交点，
分两种情况：
①当k＞0时，x＝3时，y≤2，
即9k﹣3﹣4k≤2，
∴k≤1，
∴0＜k≤1；
②当k＜0时，当x＝1时，y≤2，
∴k﹣1﹣4k≤2，
∴k≥﹣1，
∴﹣1≤k＜0；
综上，k的取值范围是0＜k≤1或﹣1≤k＜0；
故答案为：0＜k≤1或﹣1≤k＜0．
三．解答题（共9小题）
15．已知二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣2）（a＜0）与x轴只有1个交点，且经过点（2，﹣1），求二次函数的表达式．
【分析】由函数与x轴只有1个交点可得（x﹣m）＝（x+m﹣2），从而可得m的值，再将（2，﹣1）代入解析式求解．
【解答】解：若抛物线与x轴只有1个交点，则（x﹣m）＝（x+m﹣2），
即m＝2﹣m，
解得m＝1，
∴y＝a（x﹣1）2，
把（2，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2得﹣1＝a，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2．
16．在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．
（1）旋转中心是　A　．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．

【分析】（1）先由图可以确定旋转后的对应点，进一步确定旋转中心，确定那些角是旋转角，在△ABC中，利用三角形内角和计算出∠BAC的度数，即可解决；
（2）根据旋转的性质可以得到△ABC≌△ADE，得到∠EAD＝∠BAC＝150°，再利用周角定义，即可求出∠BAE的度数，同时，还可以得到AB＝AD＝4，AC＝AE，再利用C是AD的中点，得到AC的长度，从而求得AE的长度．
【解答】解：（1）由图可得，当，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
A，B，C的对应点分别为A，D，E，
∴旋转中线是点A，∠BAC是旋转角，
在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝150°，
故答案为：A，150°；
（2）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE＝150°，AB＝AD＝4，
∴∠BAE＝360°﹣∠BAC﹣∠DAE＝60°，
∵C是AD的中点，
∴AC＝CD＝2，
∵△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC＝2，
即∠BAE＝60°，AE＝2．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），则平移距离为 　2　，画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 　（﹣1，﹣2）　．

【分析】（1）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据勾股定理结合网格即可求解，根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）△A2B2C2即为所求，平移距离＝＝2，
故答案为：2；
（3）如图所示，点D即为性质中心，D（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
18．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．

【分析】由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，利用AB＝60，PM＝18，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当PN＝4时A′B′的长度，与30米进行比较大小即可．
【解答】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝60米，
∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，
∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），
∴A′B′＝32米＞30米，
∴不需要采取紧急措施．

19．阅读材料：a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，求a，b的值．
解：∵a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣4）2＝0，
∴a＝4，b＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若m2+n2﹣4m+4＝0，则m＝　2　，n＝　0　；
（2）已知x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，求xy的值．
【分析】（1）根据m2+n2﹣4m+4＝0，，应用因式分解的方法，判断出（m﹣2）2+n2＝0，应用非负数的性质便可求得结果；
（2） 对已知方程左边多项式进行因式分解，再根据非负数性质求得求解便可
【解答】解：（1）∵m2+n2﹣4m+4＝0，
∴（m2﹣4m+4）+n2＝0，
∴（m﹣2）2+n2＝0，
∴m﹣2＝0，n＝0，
∴m＝2，n＝0，
故答案为：2；0；
（2）∵x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+10y+25）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+5）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+5＝0，
∴x＝﹣5，y＝﹣5，
∴xy＝25；
20．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+8交于B，C两点（B在C的左侧）．
（1）求B，C两点坐标；
（2）记抛物线的顶点为A，求△ABC的面积．

【分析】（1）令x+1＝x2﹣4x+8，求出点B，C的横坐标，再将横坐标代入直线解析式求解．
（2）作AD∥y轴交BC于点D，由S△ABC＝S△ABD+S△ACD求解．
【解答】解：（1）令x+1＝x2﹣4x+8，
解得x1＝2，x2＝7，
将x＝2，7分别代入y＝x+1得y＝2，，
∴点B坐标为（2，2），点C坐标为（7，）．
（2）作AD∥y轴交BC于点D，

∵y＝x2﹣4x+8＝（x﹣4）2，
∴抛物线顶点A坐标为（4，0），
将x＝4代入y＝x+1得y＝3，
∴点D坐标为（4，3），AD＝3，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AD（xA﹣xB）+AD（xC﹣xA）＝AD（xC﹣xB）＝×3×（7﹣2）＝．
21．如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．

【分析】（1）连接BC，由CD＝BD，AB为直径可得∠E＝∠ECD，进而求解．
（2）由勾股定理求出BC的值，再由△AEB为等腰三角形可得BD＝BE，再通过勾股定理求解．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵CD＝BD，
∴∠EAD＝∠DAB，
∴∠E＝∠ABE，
连接BC，则∠DCB＝∠DBC，∠ACB＝∠ECB＝90°，

∵∠EBC+∠E＝90°，∠DCB+∠ECD＝90°，
∴∠E＝∠ECD，
∴CD＝DE．
（2）解：在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝＝＝8，
∵∠E＝∠ABE，
∴△AEB为等腰三角形，
∴AB＝AE，BD＝DE，
∴CE＝AE﹣AC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝4，
∴BD＝BE＝2．
22．2022年2月20日，北京冬奥会顺利闭幕，冬奥会带来了冰雪消费热．某商场决定购进“冰墩墩”和“雪容融”两种纪念品进行销售，已知每件“冰墩墩”比每件“雪容融”的进价高30元，用1000元购进“冰墩墩”的数量和用400元购进“雪容融”的数量相同．经市场调查，整理出“冰墩墩”的售价x（元/件）与销量的关系如表：

（1）求“冰墩墩”和“雪容融”每件的进价分别为多少元？
（2）求出当x为何值时，售出“冰墩墩”所获利润最大，最大利润为多少？
【分析】（1）设购进“冰墩墩”每件的进价为x元，根据“用1000元购进“冰墩墩”的数量和用400元购进“雪容融”的数量相同”列分式方程，求解即可；
（2）根据表格中数据分别列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设购进“冰墩墩”每件的进价为x元，
根据题意，得＝，
解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的根，且符合题意，
50﹣30＝20（元），
答：“冰墩墩”每件的进价为50元，“雪容融”每件的进价为20元；
（2）设售出“冰墩墩”所获利润为w元，
当50≤x≤60时，w＝100（x﹣50）＝100x﹣5000，
∵100＞0，
∴当x＝60时，w有最大值，最大值为1000；
当60＜x≤80时，w＝（x﹣50）（400﹣5x）＝﹣5x2+650x﹣20000＝﹣5（x﹣65）2+1125，
∵﹣5＜0，
∴当x＝65时，w有最大值，最大值为1125，
∵1125＞1000，
∴当x＝65时，售出“冰墩墩”所获利润最大，最大利润为1125元．
23．如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．
（1）求证：CE平分∠BED；
（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MH∥BG；
（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．

【分析】（1）根据旋转的性质得到CB＝CE，求得∠BEC＝∠BCE，根据平行线的性质得到∠BCE＝∠DEC，可证得结论；
（2）过点C作BE的垂线CN，根据角平分线的性质得到CN＝BG，求得CG＝BQ，根据全等三角形的性质得到CH＝GH，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
（3）过点G作BC的垂线GR，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴CE平分∠BED；
（2）证明：过点C作CN⊥BE于N，如图：

∵CE平分∠BED，CD⊥DE，CN⊥BE，
∴CD＝CN，
∴BG＝AB＝CD＝CN，
∵∠BHG＝∠NHC，∠GBH＝∠CNH＝90°，BG＝CN，
∴△BHG≌△NHC（AAS），
∴GH＝CH，即点H是CG中点，
∵点M是BC中点，
∴MH是△BCG的中位线，
∴MH∥BG；
（3）解：过点C作CN⊥BE于N，过G作GR⊥BC于R，如图：

∵BC＝2AB＝4，
∴BG＝AB＝CD＝CN＝2，
∴CN＝BC，
∴∠NBC＝30°，
∵∠GBE＝90°，
∴∠GBR＝60°，
∴BR＝BG＝1，GR＝BR＝，
在Rt△GRC中，
CG＝＝＝2，
∴CG的长为2．