高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第09练二次函数与幂函数(精练：基础+重难点)(原卷版+解析)

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【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．下列函数中定义域为的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知函数是幂函数,且在上递减,则实数（ ）
A．B．2或C．4D．2
5．已知函数是幂函数，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．定义域为D．在单调递减
6．的最大值是（ ）
A．B．2C．D．4
7．已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．设是定义在上偶函数，则在区间上是（ ）
A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．与，有关，不能确定
9．幂函数在R上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A．（1，1）B．（1，2）C．（-3，1）D．（-3，2）
二、填空题
10．若函数在区间内存在最小值，则的取值范围是___________．
11．已知函数，是严格减函数，则实数的取值范围是______．
12．已知函数，则其值域为__________.
13．已知幂函数为偶函数，则该函数的增区间为_______．
14．若函数是幂函数，且在上单调递增，则___________.
三、解答题
15．比较下列各组数的大小：
(1) ；
(2)，；
16．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，
(1)求的值.
(2)若，求的取值范围.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．下列比较大小中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．设，，函数，若恒成立，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
7．已知幂函数，则（ ）
A．，函数的图像与坐标轴没有交点
B．，使得是奇函数
C．当时，函数在上单调递增
D．当时，函数的值域为
三、填空题
8．函数的值域为__________.
9．设（为常数），则“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的____________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要””、“既不充分也不必要”）
10．请写出一个幂函数，满足：，.此函数可以是______.
11．已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
12．已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为________.
13．设函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为__________.
14．已知函数，定义，若恒成立，则实数的取值范围是___________．
四、解答题
15．已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．
16．已知幂函数为偶函数，．
(1)若，求；
(2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则AB∙AC的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
2．设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
3．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．设幂函数的图象过点，则：①的定义域为；②是奇函数；③是减函数；④当时，
其中正确的有_________（多选、错选、漏选均不得分）．
6．已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：
①0其中可能成立的式子有________．
7．若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是______.
三、解答题
8．已知幂函数在上为增函数，，.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)对于任意，都存在，使得，，若，求实数的值；
(3)若对于一切成成立，求实数的取值范围.
第09讲 二次函数与幂函数（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．下列函数中定义域为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案.
【详解】，定义域为，故A错误；
，定义域为，故B错误；
，定义域为，故C正确；
，定义域为，故D错误，
故选：C.
2．已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出函数的解析式，再求出函数的定义域和奇偶性判断即可.
【详解】设，因为的图象经过点，
所以，即，解得，则，
因为，所以为偶函数，排除B、D，
因为的定义域为，排除A．
因为在内单调递增，结合偶函数可得在内单调递减，故C满足，
故选：C.
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义结合不等式的性质、对数函数性质、幂函数性质求解.
【详解】由得即，
则有，取，则，
所以 推不到，
由得，取，则，
则有，所以推不到，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选:D.
4．已知函数是幂函数,且在上递减,则实数（ ）
A．B．2或C．4D．2
【答案】D
【分析】由题可知,且,解出并代入验证即可.
【详解】由题知是幂函数,
则,
解得或,
在上递减,
,
将代入可得,不符合题意,故舍去,
将代入可得,符合题意,
故.
故选:D
5．已知函数是幂函数，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．定义域为D．在单调递减
【答案】C
【分析】根据函数为幂函数，得到，从而求出定义域和单调性，并得到既不是奇函数，也不是偶函数.
【详解】为幂函数，故，解得：，
所以，定义域为，不关于原点对称，
所以既不是奇函数，也不是偶函数，AB错误，
在上单调递增，D错误.
故选：C
6．的最大值是（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【分析】设可得，配方后利用二次函数的性质求解即可.
【详解】设，
则，
因为，所以时，的最大值是，
故选：A.
7．已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可得或，解出即可得出实数k的取值范围.
【详解】函数的对称轴为.
若函数在区间上单调递减，则应有，所以；
若函数在区间上单调递增，则应有，所以.
综上所述，实数k的取值范围是或.
故选：C.
8．设是定义在上偶函数，则在区间上是（ ）
A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．与，有关，不能确定
【答案】B
【分析】根据偶函数的特点解出，然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可.
【详解】是定义在上偶函数，∴定义域关于原点对称，即，∴，
则，由，
即，解得，∴，
函数图像抛物线开口向下，对称轴为，
则函数在区间上是减函数．
故选：B．
9．幂函数在R上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A．（1，1）B．（1，2）C．（-3，1）D．（-3，2）
【答案】D
【分析】由函数为幂函数且在R上单调递增，可得，再由指数函数过定点，即可得函数所过的定点.
【详解】解：因为为幂函数且在R上单调递增，
所以，解得，
所以，
又因为指数函数恒过定点，
所以恒过定点.
故选：D.
二、填空题
10．若函数在区间内存在最小值，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质确定在开区间内存在最小值的情况列不等式，即可得的取值范围是.
【详解】解：二次函数的对称轴为，且二次函数开口向上
若函数在开区间内存在最小值，则，即，此时函数在处能取到最小值，
故的取值范围是.
故答案为：.
11．已知函数，是严格减函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】分，讨论，根据条件可得出关于实数的不等式（组），进而可求得实数的取值范围.
【详解】当时，函数为在区间上为增函数，不合题意；
当时，要使函数，是严格减函数，
则，解得，
即实数的取值范围是.故答案为：.
12．已知函数，则其值域为__________.
【答案】
【分析】根据换元法将函数变为，结合二次函数的单调性即可求解最值,进而求解值域.
【详解】，令，则，，由于在单调递增，在单调递减，故的最小值为，故值域为，
故答案为：
13．已知幂函数为偶函数，则该函数的增区间为_______．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义，结合偶函数的定义求出，然后利用幂函数的性质进行求解
【详解】因为是幂函数，
所以或，
当时，，因为，所以函数是奇函数，不符合题意，
当时，，因为，所以函数是偶函数，符合题意，
故该函数的增区间为
故答案为：
14．若函数是幂函数，且在上单调递增，则___________.
【答案】
【分析】由题意可得求出的值，则可求出的解析式，从而可求出.
【详解】因为函数是幂函数，且在上单调递增，
所以，解得，
所以，
所以，
故答案为：2
三、解答题
15．比较下列各组数的大小：
(1) ；
(2)，；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 在的单调性即可求解，
（2）根据函数 在单调递增即可求解.
【详解】（1）由于函数 在单调递减，，所以.
（2）由于函数 在单调递增，，所以故.
16．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，
(1)求的值.
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）幂函数在上单调递减，可得且,可得m的值为1或2，然后根据已知条件分析即可；
（2）由（1）可得不等式，由可得单调性，然后分类讨论，解出不等式求出a的取值范围.
【详解】（1）因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
又，所以，
当时，，
当时，，
因为函数图像关于轴对称，
所以是偶数，
因此；
（2）由（1）可得，故为，
因为在上均为减函数，
所以等价于：
或或
解得或，
故的取值范围为或.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．下列比较大小中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的单调性进行判断即可.
【详解】解：对于A选项，因为在上单调递增，所以，故A错误，
对于B选项，因为在上单调递减，所以，故B错误，
对于C选项，为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，又，
所以，故C正确，
对于D选项，在上是递增函数，
又，所以，所以，故D错误.
故选：C.
2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的解析式，根据函数的定义域和单调性得解.
【详解】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，即函数，也即，
则函数的定义域为，所以排除选项CD；
又，函数单调递减，故排除B，
故选：A.
3．已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数为偶函数求出的值，然后对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为函数为幂函数，则，
即，解得或，
当时，为偶函数，合乎题意；
当时，为非奇非偶函数，不合乎题意.
所以，，则，
二次函数的对称轴为直线.
①若函数在上为增函数，则，解得；
②若函数在上为减函数，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
4．已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接利用二次函数的单调性列不等式组即可求得.
【详解】函数的对称轴为.
要使函数在区间上是单调函数，只需或，
解得：或.
故选：A
5．已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用幂函数的概念求得，再利用幂函数的定义域与单调性即可解得不等式.
【详解】因为为幂函数，所以，则，
故的定义域为，且在定义域上为增函数，
所以由，可得，解得，
故a的取值范围为.
故选：B.
6．设，，函数，若恒成立，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据函数的解析式进行分类讨论，当时，结合二次函数的图象和性质即可求解.
【详解】因为，
当时，恒成立，
当时，恒成立，
则恒成立，因为，
则有，故，
故选：.
二、多选题
7．已知幂函数，则（ ）
A．，函数的图像与坐标轴没有交点
B．，使得是奇函数
C．当时，函数在上单调递增
D．当时，函数的值域为
【答案】BCD
【分析】对A，B项：当时可说明A错误B正确；
对C项： 分析的取值范围，根据幂函数的单调性判断；
对D项： 当时求定义域与值域即可.
【详解】设可知可取遍全体正数，
所以可取遍全体实数，
∴当时，，，A错误，B正确；
当时，，
由幂函数性质，在上单调递增，C正确；
时，，定义域为，值域为，D正确.
故选：BCD
三、填空题
8．函数的值域为__________.
【答案】
【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数并换元，转化为二次函数的值域问题，结合二次函数性质，即可求得答案.
【详解】由题意函数，
令 ，则 ，
当时，；当时，，
故的值域为，故答案为：.
9．设（为常数），则“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的____________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要””、“既不充分也不必要”）
【答案】充要
【分析】利用偶函数的性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若函数的图象经过点，即，
对任意的，则，
对任意的，则，
此时函数为偶函数，
所以，“函数的图象经过点”“函数为偶函数”；
若函数为偶函数，又因为，则，
所以，“函数的图象经过点”“函数为偶函数”.
所以，“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的充要条件.
故答案为：充要.
10．请写出一个幂函数，满足：，.此函数可以是______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据给定条件，确定函数的定义域，及函数的有关性质，再写出符合的函数解析式作答.
【详解】令幂函数（为常数），由，知，函数的定义域为R，是偶函数，
又，，则函数在上单调递增，因此可以为正偶数，
所以此函数可以是.
故答案为：
11．已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知，的定义域为，
所以，
所以函数是奇函数，
由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，
由，得，即，
所以，即，解得，
所以关于的表达式的解集为.
故答案为：.
12．已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为________.
【答案】
【分析】利用换元法，令，进而得到，再通过的取值范围与对称轴之间的关系，结合该函数的单调性和最小值之间的关系，即可计算求出
【详解】令，则当时，，，对称轴为；当，即时，在上单调递增，，
解得：（舍）；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得：（舍）或；当，即时，在上单调递减，，解得：（舍）；综上所述：.
故答案为：.
13．设函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】对a分类讨论，结合二次函数的图象与性质即可列式求解.
【详解】当时，为增函数，符合题意；
当时，函数在区间上是严格增函数，则需对称轴，∴；
当时，函数在区间上是严格增函数，则需对称轴，∴.
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
14．已知函数，定义，若恒成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【分析】比较与的大小，求得，令，求得的最小值为，由即可得出答案．
【详解】，
当或时，；当时，，
故，
令，
当或时，；
当时，，单调递增，则当时，取最小值，
所以的最小值为，
若恒成立，则，解得．
故答案为：．
四、解答题
15．已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义求得的值，再结合幂函数的奇偶性确定函数解析式；
（2）根据幂函数的单调性与奇偶性列不等式即可求得x的取值范围．
【详解】（1）已知幂函数，则，解得或，
所以或，又函数为偶函数，所以；
（2）由于幂函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在单调递减，
若，则，平方后解得，
所以x的取值范围是.
16．已知幂函数为偶函数，．
(1)若，求；
(2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出，再利用列方程求出；
（2）将问题转化为，构造函数，利用函数单调性的定义判断的单调性，根据单调性可求得，进而可得的取值范围
【详解】（1）对于幂函数，得，
解得或，
又当时，不为偶函数，
，
，
，
，
解得；
（2）关于x的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即，
先证明在上单调递增：
任取，
则，
，
，，又，
，
，即，
故在上单调递增，
，
，又，
解得.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则AB∙AC的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，表达出，结合，求出最小值.
【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，
则，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
由于，故当时，最小，故最小值为，
此时，满足要求，
故选：B
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
2．设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，，
又因为在上单调递增，所以，即，
因为，所以，
又因为在上单调递增，所以，即，
综上：.
故选：D.
3．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围.
【详解】因为当时，；，
所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.
当时，，，
故当时，对任意，不成立，
当时，，
同理当时，，
以此类推，当时，必有.
函数和函数的图象如图所示：
因为当时，，
令，解得，（舍去），
因为当时，成立，所以.
故选：A.
【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
4．已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：由已知，得或．当时，，当时，．又在单调递增，∴．∴在上的值域为，在上的值域为，∴，∴，即．故选D.
考点：1、幂函数的定义和性质；2、函数的单调性及值域.
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，函数的单调性及函数的值域的求法，属于难题.求函数值域的常见方法有 ①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题主要是利用方法④求出两函数值域后再根据题意解答的.
二、填空题
5．设幂函数的图象过点，则：①的定义域为；②是奇函数；③是减函数；④当时，
其中正确的有_________（多选、错选、漏选均不得分）．
【答案】②④
【分析】根据待定系数法求出幂函数，由幂函数的性质，即可判断各项的真假．
【详解】设，因为函数的图象过点，所以，解得，
根据幂函数的图象，可知①不正确，②正确，③说法有误，应该是在上是减函数，在上是减函数，但在整个定义域上不是减函数；
对于④，设点，，点为线段的中点，点，由图可知，点在点的下方，所以．
故答案为②④．
【点睛】本题主要考查幂函数的求法和幂函数的性质的判断与应用．
6．已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：
①0其中可能成立的式子有________．
【答案】①③⑤
【详解】首先画出y＝与y＝的图象(如图所示)，
设，作直线y＝m.
如果m＝0或1，则a＝b；如果01，则1从图象看一目了然，
故可能成立的是.
考点：幂函数的图象及单调性.
7．若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是______.
【答案】．
【分析】分类讨论，按绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后对分类函数的两个二次函数的对称轴进行分类讨论可得．
【详解】因为，
当时，时，单调递增，不合题意；
当时，时，，函数在区间上是严格减函数，
则，即；
当时，时，，函数在区间上是严格减函数，
则，即；
当时，，
，因此在是单调递增，不合题意；
综上，的范围是．
故答案为：．
三、解答题
8．已知幂函数在上为增函数，，.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)对于任意，都存在，使得，，若，求实数的值；
(3)若对于一切成成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数定义求解；
（2）求出与的最大值，由它们相等可得；
（3）不等式分离参数转化为求新函数的最值．
【详解】（1）由幂函数的定义可知：即，
解得：，或，
∵在上为增函数，
∴，解得，
综上：，
∴；
（2），
据题意知，当时，，，
∵在区间上单调递增，
∴，即，
又∵，
∴函数的对称轴为，
∴函数在区间上单调递减，
∴，即，
由，得，
∴；
（3）当时，等价于
即，
∵，∴，
令，，下面求的最大值：
∵，∴，
∴的最大值为-5，
故的取值范围是.
【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题，常常利用分离参数法转化分离参数，构造新函数，然后求出新函数的最值，从而得参数范围．