高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第06练函数的概念及其表示(精练：基础+重难点)(原卷版+解析)

这是一份高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第06练函数的概念及其表示(精练：基础+重难点)(原卷版+解析)，共23页。

【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．下列各组函数为同一函数的是（ ）
①与;
②与;
③与.
A．①②B．①C．②D．③
2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．设函数，若，则实数（ ）
A．B．1C．D．2
4．若函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．下列函数中值域为的是（ ）
A．B．C．D．
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．下列函数，值域包含的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，其值不可能的是（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
三、填空题
9．函数的定义域是______.
10．若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是__．
11．已知，则__．
四、解答题
12．定义在R上的函数对任意实数都有.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上是单调函数，则求实数的取值范围.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
3．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．下列命题正确的是（ ）
A．函数的图象与直线可能有两个不同的交点
B．函数与函数是相同函数
C．若，则的取值范围是
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
5．已知函数则以下说法正确的是（ ）
A．若，则是上的减函数
B．若，则有最小值
C．若，则的值域为
D．若，则存在，使得
三、填空题
6．求函数的值域为_________.
7．已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是___．
四、解答题
8．已知二次函数的图像与直线只有一个交点，且满足，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若对任意，，恒成立，求实数m的范围．
9．已知函数对任意的实数，，都有成立.
(1)求，的值;
(2)求证：（）;
(3)若，（，均为常数），求的值.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（ ）
A．在上是严格增函数B．若，则
C．若，则D．函数的最小值为2
2．已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．下列说法中错误的为（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．若，则
C．函数的值域为：
D．已知在上是增函数，则实数的取值范围是
三、填空题
4．已知函数的值域为，侧实数的取值范围是___________.
四、解答题
5．设为实数，函数．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围；
(3)当时，求的最大值．
第06讲 函数的概念及其表示（精讲）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．下列各组函数为同一函数的是（ ）
①与;
②与;
③与.
A．①②B．①C．②D．③
【答案】B
【分析】依次判断函数的定义域和对应关系是否相等得到答案.
【详解】对①:与的定义域、对应关系均相同，是同一函数；
对②:由，而,对应关系不同，不是同一函数；
对③：，，对应关系不同，不是同一函数.
故选：B
2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】定义域为的取值范围，结合同一对应法则下括号内范围相同，求出答案.
【详解】由题意得，故，故函数的定义域为.
故选：D
3．设函数，若，则实数（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】先计算，然后讨论的范围，根据直接计算即可.
【详解】由题可知：
①，则
②
所以
故选：C
4．若函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合分段函数解析式依次判断充分性和必要性即可.
【详解】当时，，，充分性成立；
当时，，，必要性不成立；
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．下列函数中值域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的性质逐项进行分析验证即可求解.
【详解】对于A，函数，值域为，故选项A正确；
对于B，函数，值域为，故选项B错误；
对于C，函数，值域为，故选项C错误；
对于D，函数，值域为，故选项D错误，
故选：A.
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出的值域，结合已知定义即可求解．
【详解】因为
又，
所以，
所以
所以，
则的值域．
故选：C．
二、多选题
7．下列函数，值域包含的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，可以通过分离常数法求函数的值域；对于B，可以将函数两边平方求函数的值域；对于C，利用函数的单调性求函数的值域；对于D，利用分段函数并结合函数的图像求函数的值域；
【详解】对于A，由，可得值域，故A正确；
对于B，函数定义域为：，
，由，得
，
所以，，即原函数值域为，故B错误；
对于C，设，，易知它们在定义域内为增函数，从而在定义域为上也为增函数，
所以当时，函数取最大值，最大值为，
所以函数的值域，故C正确，
对于D，由已知得：，画出函数的图像，如图：
根据函数图像可知：定义域，值域，故D正确.
故选：ACD.
8．已知函数，其值不可能的是（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式求的值域，即可判断.
【详解】当时，，当且仅当，即时，等号成立；
当时，，当且仅当，即时，等号成立，
则；
综上所述：函数的值域为.
显然，所以只有D选项可以取到.
故选：ABC.
三、填空题
9．函数的定义域是______.
【答案】
【分析】使函数有意义应满足分母不为0，真数恒大于0.
【详解】函数有意义应满足，解得，
故答案为：
10．若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是__．
【答案】
【分析】根据增函数的定义及所给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】函数在上为严格增函数，
可得，解得，故实数的取值范围为，
故答案为：
11．已知，则__．
【答案】
【分析】先令括号里1t，求出的范围，将用表示，求出的解析式，最后在将换成即可．
【详解】设（），则，，（），
则.
故答案为：
四、解答题
12．定义在R上的函数对任意实数都有.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上是单调函数，则求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）配方后，利用整体法求解函数解析式；
（2）求出的单调区间，与比较，得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1），故函数的解析式为；
（2）在上单调递减，在上单调递增，
因为在上是单调函数，所以或，
解得或，
所以实数的取值范围是.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合一次函数、二次函数性质判断是否存在最小值，进而确定参数范围.
【详解】由，函数开口向上且对称轴为，且最小值为，
当，则在定义域上递减，则，
此时，若，即时，最小值为；
若，即时，无最小值；
当，则在定义域上为常数，而，故最小值为；
当，则在定义域上递增，且值域为，故无最小值.
综上，.
故选：B
2．函数的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】令，则，可得最大值.
【详解】令，则，
得，
则当时，取得最大值.
故选：C
3．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用换元法，令，将问题进行转化，利用分段函数的性质进行分段分析，结合函数图像分析即可解决问题.
【详解】令，则即为，
当时，，故 无解，
当时，即为，
在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图，
由图可得当且仅当时，，
综上所述，的解为，又，
所以，
当时，，
故，解得：，所以，
当时，，
故，解得：，所以，
综上所述，不等式的解集是.
故选：D.
二、多选题
4．下列命题正确的是（ ）
A．函数的图象与直线可能有两个不同的交点
B．函数与函数是相同函数
C．若，则的取值范围是
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】CD
【分析】根据函数的定义判断A，根据函数定义域不同判断B，根据对数函数的单调性判断C，由抽象函数的定义域判断D.
【详解】对于，根据函数定义，对定义域内的任意一个值，只有唯一的值与之对应，函数的图象与直线只有一个交点，因此错；
对于B，中定义域是，函数的定义域是，定义域不相同，不是同一函数，B错；
对于，若，即，当时，则，此时，
当时不成立，即的取值范围是，因此正确；
对于，令，故即函数的定义域为，故D正确.
故选：CD.
5．已知函数则以下说法正确的是（ ）
A．若，则是上的减函数
B．若，则有最小值
C．若，则的值域为
D．若，则存在，使得
【答案】ABC
【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.
【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；
对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确；
对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；
对于D，若，当时，；
当时，；
当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.
故选：ABC
三、填空题
6．求函数的值域为_________.
【答案】
【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域.
【详解】令，则，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为，
，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值，
所以函数值域为.
故答案为：
7．已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是___．
【答案】
【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数的值域为，分、两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小）值，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】因为函数在定义域上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为，
当时在上单调递增，在上也单调递增，
则只需，解得；
当时在上的最小值为，则只需要，解得；
综上可得，即实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
8．已知二次函数的图像与直线只有一个交点，且满足，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若对任意，，恒成立，求实数m的范围．
【答案】(1)
(2)或或；
【分析】（1）由已知可得二次函数的对称轴和最值，设出函数解析式，再由求得结论；
（2）由的单调性得出的最小值，而关于的不等式是一次（时）的，只要和时成立即可，由此可解得的范围；
【详解】（1）因为，
所以由二次函数的性质可得的图像关于对称，
又二次函数的图像与直线只有一个交点，
所以可设
又因为，解得，
所以．
（2）由（1）得
在区间单调递增，
即在时恒成立，
且，或或.
9．已知函数对任意的实数，，都有成立.
(1)求，的值;
(2)求证：（）;
(3)若，（，均为常数），求的值.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）取，，代入计算得到答案.
（2），根据得到证明.
（3）计算，，根据，得到答案.
【详解】（1）令，则，故.
令，则，故.
（2），，又，
故（）.
（3），
，
故.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（ ）
A．在上是严格增函数B．若，则
C．若，则D．函数的最小值为2
【答案】A
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A；取值计算判断B，C；借助均值不等式求解判断D作答.
【详解】任意，恒成立，
且，假设，则有，
显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，，
取，有，则，于是得，，
，，，
对于A，函数，，，
并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，A不正确；
对于B，，则，B正确；
对于C，，则，而，有，又，因此，C正确；
对于D，，，则有，
当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D正确.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.
2．已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案.
【详解】由函数，显然该函数在上单调递增，
由函数在上的值域为，则，
等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，且在上恒成立，则，
解得.
故选：D.
二、多选题
3．下列说法中错误的为（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．若，则
C．函数的值域为：
D．已知在上是增函数，则实数的取值范围是
【答案】BC
【分析】根据复合函数定义域判断A；根据凑项法求函数解析式即可判断B；利用指数复合函数结合换元法与函数单调性求得函数值域，从而判断C；根据分段函数的单调性列不等式求实数的取值范围，即可判断D.
【详解】若函数的定义域为，则函数的定义域满足，解得，所以函数的定义域为，故A正确；
若，则，故B错误；
对于函数的，令，则，该函数在上递增，所以其值域为，故C错误；
已知在上是增函数，则，解得，则实数的取值范围是，故D正确.
故选：BC.
三、填空题
4．已知函数的值域为，侧实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】令、，求出函数的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点坐标，最后对分类讨论，分别计算可得.
【详解】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，
令，解得或，所以与的两个交点分别为、，
则函数与的图象如下所示：
当时，当时，当时，
显然，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，在时，即，
此时的值域为，符合题意，
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域为，符合题意；
综上可得.
故答案为：
四、解答题
5．设为实数，函数．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围；
(3)当时，求的最大值．
【答案】(1)．
(2)或
(3)
【分析】（1）利用换元法求得的解析式.
（2）解绝对值不等式求得的取值范围.
（3）对进行分类讨论，根据二次函数的知识求得.
【详解】（1）令，则，
所以，
所以.
（2）由，
得或，
解得或.
（3），
对于，其开口向上，对称轴为，且其零点为和，
对于，其开口向下，对称轴为，且其零点为和，
当，即时，，则在上单调递增，.
当时，的图象如下图所示，
①，当时，
在上单调递增，.
②，由整理得，
解得或（因为，故舍去），
所以当，即时，.
③，当，即时，
.
综上所述，.