山东省部分学校2025届新高三上学期开学联合教学质量检测数学试卷

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满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以.
故选：D.
2．在等比数列中，若，，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【详解】由于是等比数列，且，，
所以，
故选：C.
3．若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意可得，
所以，
又向量为非零，则，
则在方向上的投影向量为.
故选：C.
4．已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【详解】连接，则.
又，所以四边形为正方形，，
于是点在以点为圆心，为半径的圆上.
又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切，
所以点到直线的距离，解得.
故选：D.
5．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【详解】由两个正实数满足，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
又由不等式有解，可得，解得或，
所以实数的取值范围为或.
故选：B.
6．的的展开式中的系数为（ ）
A．30B．C．20D．
【答案】D
【详解】从5个含有的括号中，其中1个括号中取，一个括号中取，3个括号中取，乘在一起构成这一项，
这一项为，所以的系数为.
故选：D
7．设函数，若对于任意实数在区间上至少2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，则，令，则，
则原问题转化为在区间上至少2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，
作出与的图象，如图所示，

由图知，满足条件的最短区间长度为，最长区间长度为，
∴，解得．
故选：B．
8．已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【详解】由题意可得方程有4个不同的根.
方程的2个根为，
所以方程有2个不同的根，且，
即函数与函数的图象有两个交点.
当直线与函数的图象相切时，设切点为，
因为，所以解得.
要使函数与函数的图象有两个交点，只需直线的斜率大于，
即.
设（），则，
由，所以在上单调递增，在单调递减，
所以的最大值为.
所以.
故的取值范围为
故选：A
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则或
【答案】ABD
【详解】设且，则，
，
所以，所以，故A正确；
，故B正确；
当时，满足，但不能得出，故C错误；
因为，
所以，则或，故D正确.
故选：ABD.
10．如图， 已知二面角 的棱 上有 两点， ， ， 若 ， 则（ ）
A．直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为
B．二面角 的大小为
C．三棱锥 的体积为
D．直线 CD 与平面 所成角的正弦值为
【答案】ABD
【详解】过点 作 ， 且 ， 连接 ， 如图，
则四边形 是平行四边形，即 且 ，
是直线 AB 与 CD 所成角或其补角，
因为 ， 则 ，
而 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ， 所以 ，
则 ， 所以 ， 故 A 正确；
因为 ， 即 ， 又 ， 则 是二面角 的平面角，
又 ， 结合 ， 即 是等边三角形，
所以 ，故 B 正确；
因为 平面 ， 则平面 平面 ，
在平面 内过点 作 于点 ， 于是得 平面 ，
而 ， 故 C 不正确；
连接 ， 因为 平面 ， 则 是直线 CD 与平面 所成角，
， 故 D 正确.
故选：ABD
11．甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（ ）
A．A，B是对立事件B．事件B，D相互独立
C．D．
【答案】ABD
【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；
对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响. 若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为 .
【答案】23
【详解】若甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2,则甲乙两人中一个人成功一个人失败，故概率为，故，
“梦队”在比赛中得分不低于6分，则至少要赢3次，故概率为,
故答案为：
13．如图，在四面体中，，，则该四面体的外接球体积为 .
【答案】/
【详解】取的中点为，连接，如下图所示:
又可知，
且；
又，且平面，
所以平面，
取的中点为，连接，又，可得，且;
又平面，所以，
又，平面，
所以平面；
在中，可知；
设的外接圆半径为，可得，解得；
易知的外接圆圆心必在直线上，设，
则，解得，即可得为的中点，
又因为平面，所以该四面体的外接球球心一定在过且平行于的直线上，
设，外接球半径为，
所以，即，解得；
因此该四面体的外接球球心与的外接圆圆心重合，此时
所以该四面体的外接球体积为.
故答案为：
14．已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线C的左、右焦点，的内切圆与x轴相切于点N，若，则双曲线C的离心率为 .
【答案】2
【详解】直线分别与内切圆的切点为，如图所示：
由切线的性质可得，
由双曲线的定义可得，即，
所以，即，
又，因此.
设，则，
又，因此.于是，即，
所以由，可得，即.
故答案为：2.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知数列的首项为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设数列的前n项和为，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，，
若，则，与矛盾，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列.
（2）由（1）知，
数列的前项和为，
所以，
设数列的前n项和为，
当n为偶数时，
因为，
所以，
当为奇数时，为偶数.
，
所以
16.（本小题15分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A；
(2)若中边上中线的长度为3，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，
由正弦定理得，，
所以，
又因，则，
所以，
因A为的内角，所以，
由得，则.
（2）因是中边上中线，
则，
即，所以，
则，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
故，即面积的最大值为.

17.（本小题15分）
如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，与交于Q点，
在底面矩形中，易知，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以，
易知，所以，
由题意可知,
所以，而相交，且平面，
所以平面；
（2）由上可知，，，
以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0、、、、，
设平面的法向量为m=x,y,z，则，，
则，取，则，
设，其中，
则，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
则，
解得，即.
18.（本小题17分）
已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的左顶点，过点的直线叫椭圆于、两点，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程．
(3)设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是定值12
【详解】（1）设，由的垂心为知,
故，化简得，，解得，
又因点在椭圆上，则，
因，故得，解得，
故椭圆的方程为.
（2）

如图，由（1）知，,若直线的斜率不存在，
由对称性可得，，不合题意；
若直线的斜率为，则的方程为，
由消去得，，①
显然，设，则，
于是，
，解得，，
则直线的方程为.
（3）先来证明过椭圆上一点的切线方程为.
由椭圆可得，
当时,,求导可得：,
∴当时,
∴切线方程为,
整理为：,
两边同时除以得：.
同理可证：时,切线方程也为.
当时,切线方程为满足.
综上,过椭圆上一点的切线方程为.
依题意，设椭圆上的点，则过点的切线方程为,
即，原点到切线的距离为.
由椭圆的第二定义，，则，同理，
则，
故为定值.
19.（本小题17分）
若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
①求的取值范围；
②证明：.
【答案】(1)是上的“双中值函数”，理由见解析
(2)①0,+∞；②证明见解析
【详解】（1）函数是上的“双中值函数”．
理由如下：
因为，所以.
因为，，所以
令，得，即，解得.
因为，所以是上的“双中值函数”.
（2）①因为，所以.
因为是上的“双中值函数”，所以.
由题意可得.
设，则.
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数.
故.
因为，所以，所以，即的取值范围为；
②证明：不妨设，
则，，即，．
要证，即证．
设，
则．
设，则，
所以φx在0,1上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减．
因为，所以，即．
因为，所以．
因为，所以．
因为，所以．
由①可知在上单调递增，所以，即得证．