湖南省部分学校2025届新高三上学期入学联合教学质量检测数学试卷（Word版附解析）

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满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合，，则集合B的真子集个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解.
【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个.
故选：C
2. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】借助充分条件与必要条件定义，分别假设成立或成立去推导另一个是否成立即可得.
详解】当时，，
当时，即，即，
则有或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
3. 已知，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数导数，令即可得解.
【详解】因为，
所以，解得.
故选：A
4. 下列说法错误的是（ ）
A 若随机变量满足且，则
B. 已知随机变量～，若，则
C. 若事件相互独立，则
D. 若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的性质判断A，根据二项分布的期望和方差的计算公式判断B，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D.
【详解】对于A：因为且，所以，故A正确；
对于B：随机变量～，则，解得：，故B正确；
对于C：若事件、相互独立，则，
所以，故C正确；
对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、，
因为，所以组数据的相关性更强，故D错误.
故选：D
5. 某市高二年级期中联考的数学成绩，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正态分布的对称法求解.
【详解】解：因为，且，，
所以，
故选：D
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简等式，在利用二倍角公式计算得到结果；
【详解】∵
，
∴，
∴，
故选：A．
7. 将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据导数求函数在定义域上切线斜率的最大值，转化为切线旋转，根据函数的定义，即可求解.
【详解】令原函数为，即，求导得，
当时，，函数在上单调递增，
函数的图象上点处切线斜率由1逐渐增大到2，记时的点为，
令函数图象在处的切线倾斜角为，则，
曲线在除端点外的任意一点处的切线垂直于轴时，则曲线上存在两点，其横坐标相同，
而曲线始终为函数图象，因此，而，
则，
所以的最大值为.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的定义，并转化为原点处的切线的旋转问题.
8. 阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（ ）
A. 大于B. 等于C. 小于D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意设出天平的两臂长，利用杠杆原理，即可解出．
【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，
，，
，，
故选：A．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的图像关于点对称B. 的图像关于直线对称
C. 在上单调递增D. 在区间上的值域为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据辅助角公式可得，由周期得，进而代入验证即可求解AB，利用整体法即可求解CD.
【详解】，由于最小正周期为，故，故，
对于A, ,故的图像关于点对称，A错误，
对于B，，的图像关于直线对称，故B正确，
对于C，当时，，故在上单调递增，C正确，
对于D，时，，故，故，D错误，
故选：BC
10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则与同向的单位向量为
C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D. 若，则的最小值为4
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量坐标运算求出判断A；利用数乘向量结果求出，再求出单位向量判断B；利用向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解判断D.
【详解】对于A，，则，解得，
则，，假设存在实数使得，则，方程无解，
则不存在，使，即，不共线，A错误；
对于B，，则，解得，即，，
，则与同向的单位向量为，B正确；
对于C，当时，，又与的夹角为锐角，
则，解得，且，即，C正确；
对于D，由，得，即，
则，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的单调递增区间是
B. 的值域为
C.
D. 若，，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于，求出导函数，由导函数的正负即可判断单调性；对于，由的单调性即可求解值域；对于，计算，即可计算；对于，变形，由，的范围即可证.
【详解】的定义域为，
在定义域上恒成立，
所以的单调递增区间为，，故错误；
当趋近于0时，趋于，
当趋近于1，且在1左侧时，趋于，
所以的值域为，故正确；
，
所以，
又，
所以，故错误；
，
因为，所以，又，
所以，即，故正确.
故选：.
【点睛】关键点点睛：函数的单调区间不能用并集符号，要用“和”或“，”连接.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知复数，且，则______.
【答案】或3
【解析】
【分析】先求出，再利用复数模的公式列出a的方程，求解即得.
【详解】复数，
可得，则
整理得，，即
因为，所以且，
又因，故，解得，或.
故答案为：或3.
【点睛】思路点睛：在根据题意推得方程后，要根据条件,将看成整体，对右式进行相应分解，才能顺利求得值.
13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】由明确边上的高等于边的一半，做出边上的高，设，用表示出，再结合换元法和基本不等式，求的最大值.
【详解】如图：
过作于.
因为，所以.
设，则
设，则
若，则；若，则；
当时，
（当且仅当即时取“”）.
所以
故答案为：
【点睛】方法点睛：求取值范围得问题，常用的方法有：
（1）结合二次函数的单调性，求二次函数在给定区间上的最值；
（2）利用基本不等式，求最值；
（3）利用三角函数的有界性求最值；
（4）判断函数的单调性，求最值.
14. 已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】换元构造新函数，再利用导数求得函数单调性与最值，从而求得的最值.
【详解】令，则，所以，
令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故当时，取得最小值，
故当，即时，函数的最小值恰好为0，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以的最小值为.
故答案：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解参数范围问题.关键点是通过换元，将转化为，并利用导数研究的单调性与最值，得到，再利用导数求解的单调性，即可求得的最值.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知中，，，，点满足，点在线段上移动（包含端点）．
（1）若，求实数的值；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助向量的线性运算与平面向量基本定理计算即可得；
（2）设，结合向量线性运算与数量积公式计算即可得.
【小问1详解】
，
故，，则；
【小问2详解】
设，，
则，
，
故
，
由，则.

16. 在中，为角对应的边，为的面积.且.
（1）求；
（2）若，求内切圆半径的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形得面积公式结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）根据，可得，再根据余弦定理将用表示，再化简，再结合基本不等式即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以，
由正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以；
【小问2详解】
设内切圆的半径为，
则，
所以，
又，所以，
则，
由，得，
当且仅当时取等号，
所以，
即内切圆半径的最大值为.
17. 已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）曲线在处的切线方程为，证明：．
【答案】（1）极大值为，函数的极小值为；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；
（2）首先利用导数的几何意义求切线方程，再根据不等式构造函数，转化为求函数的最大值.
【小问1详解】
，
令，得或，
所以函数的极大值为，函数的极小值为；
【小问2详解】
由（1）可知，，且，
所以曲线在处的切线方程为，即，
要证明，即证明
设，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，，
所以，即，
所以，命题得证.
18. 不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个，将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验，若两次均摸到彩球，则试验成功并终止试验，否则在袋子中添加一个相同的白球，然后进行下一次试验．
（1）若最多只能进行3次试验，设试验终止时进行的次数为随机变量，求的分布列与数学期望；
（2）若试验可以一直进行下去，第次试验成功的概率记为，求证：．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由的取值，计算相应的概率，得到分布列，由公式计算数学期望；
（2）由概率计算得到表达式并化简，裂项相消求得证结论.
【小问1详解】
的可能值有，
；；．
所以随机变量的分布列为
．
【小问2详解】
证明：因为，
，，
所以
，，
经检验也满足上式，
所以．
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明时，；
（3）若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）增区间为，减区间为
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出导函数，再根据导函数正负求出单调区间即可;
（2）证明不等式转化为等价条件，同构为一个函数再根据函数单调性证明.；
（3）分类情况讨论转化恒成立问题求参.
【小问1详解】
，
当时，；当时，，
的增区间为，减区间为.
【小问2详解】
令，，
当时，；当时，，
当时，即，
原不等式等价于，
为上的减函数，，
只需证明即，
令，
当时，，当时，，
原不等式成立.
【小问3详解】
当时，由（2）知又，
，
原不等式在上恒成立.
当时，令.
，
在内必有零点，设为，则，，
，
，而，
综上所述实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：证明不等式转化为等价条件，同构为一个函数再根据函数单调性证明.
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
1
2
3