山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期9月开学考试 数学试卷（含解析）

这是一份山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期9月开学考试 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．无数个
2．“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
3．已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最小值时，（ ）
A．3B．6C．7D．8
4．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
6．若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．设，用表示不超过的最大整数.已知数列满足，，若，数列的前项和为，则（ ）
A．4956B．4965C．7000D．8022
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知正实数a，b，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
10．记为正项等比数列的前项和，则（ ）
A．是递增数列B．是等比数列
C．不是等比数列D．，，，…成等比数列
11．已知，，且，.若，，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知集合，且“，（，且）”是假命题，则实数的取值范围为 .
13．等比数列的前项和记为，若，，则 .
14．已知曲线，，若曲线，恰有一个交点，则实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．解关于的不等式：.
16．在数列中，，，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设数列满足，求数列的前项和的最小值.
17．如图，一海岛O离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛.已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为90km，快艇时速为60km.设海运起点C到点B的距离为.（参考数据：）

(1)写出运输时间关于的函数；
(2)当点选在何处时运输时间最短？
18．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数，求函数极值点的个数；
(3)当时，若在上恒成立，求证：.
19．已知数列的首项为2，为数列的前项和，，其中，.
(1)若是和的等差中项，求数列的通项公式；
(2)设双曲线的离心率为，且，证明：；
(3)在（1）的条件下，记集合，，若将所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，为数列的前项和，求使得成立的的最小值.
参考答案
1．【答案】B
【分析】画出两函数图象并根据交集的几何意义即可得出其中的元素个数.
【详解】根据题意可知表示的是在函数上的点的集合，且它们的纵坐标不小于横坐标；
易知的定义域为；
画出函数与的图象，如下图所示：

两函数图象横坐标较大的点的坐标为，因此在上，共有三个点坐标满足题意，
所以中有3个元素.
故选B.
2．【答案】C
【分析】根据分式不等式的求解结合充分与必要条件的性质求解即可.
【详解】由，可得，即，，解得或.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选C.
3．【答案】C
【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
【详解】因为为等差数列，若，且，
则，即，
又，即，故公差，
当取得最小值时，．
故选C．
4．【答案】D
【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得，再由基本不等式计算即可得出结论.
【详解】由不等式的解集为，
可知1和是方程的两个实数根，且，
由韦达定理可得，即可得，
所以.
当且仅当时，即时等号成立；
即可得.
故选D.
5．【答案】A
【分析】根据题意，利用导数的几何意义，求得曲线的切线方程，得到，得出，结合，即可求得函数的单调递减区间，得到答案.
【详解】由函数，可得，
所以且，
曲线在点处的切线方程，即，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，可得，
令，可得，即，解得，
所以函数在内的单调递减区间是.
故选A.
6．【答案】C
【分析】由题可知不等式的解集是解集的子集，分类讨论，利用集合的关系列不等式即得.
【详解】因为不等式的解集为或
由题可知不等式的解集是解集的子集，
不等式，即，
①当时，不等式的解集为，满足或；
②当时，不等式的解集为，
若或，则，
所以；
③当时，不等式的解集为，满足或；则，所以；
综上所述，实数a的取值范围为．
故选C．
7．【答案】B
【分析】根据题意求出函数的导数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到函数的极值，从而求出的范围．
【详解】由题意可得：．
令，则或，令，则，
所以函数的单调增区间为和，减区间为，
所以当时函数有极大值，当x=1时函数有极小值，
若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，
所以实数的取值范围是．
故选B．
8．【答案】B
【分析】根据与的关系，利用相减法求解数列的通项公式，从而可得，结合对数运算性质确定数列的前项，从而得前项的和.
【详解】数列满足，，
故当时，，
相减得：，即，
所以，故当时，，当时，，
则当时，为常数列，所以，故
又符合上式，则；
所以，则当时，；
当时，；当时，；当时，；
又数列的前项和为，则.
故选B.
9．【答案】ABD
【分析】结合指数运算利用基本不等式可判断AD的真假；利用基本不等式可判断B的真假；利用二次函数最值可判断C的真假.
【详解】因为，且，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；
，当且仅当时，等号成立；
由B选项可知，，所以，
当且仅当时，等号成立，故D正确；
，当时，有最小值，
即，故C错误.
故选ABD.
10．【答案】BCD
【分析】由题意可得，当时，数列an单调递减，从而判断A；由等比数列的性质及定义分别判断B，C，D.
【详解】由题意可得，所以等比数列an的公比
所以，
对于A，当时，易知数列an单调递减，故A错误；
对于B，令，
所以，
所以数列是等比数列，
即是等比数列，故B正确；
对于C，当时，，此时数列是等差数列；
当且时，，
因为不是常数，所以不是等比数列，故C正确；
对于D，因为，
，
所以，
所以，，，…成等比数列，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】AC
【分析】根据题意，利用导数分别求得函数fx,gx的单调性与最值，结合合理转化，转化为函数，利用hx的单调性与最值，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，
又由，可得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，当时，函数取得最大值，最大值为，
对于A中，要证，即证，
因为函数在上单调递减，所以，
因为，即证，即证，
设，可得，
令，可得，
所以φx单调递增，且，所以，即h'x0，单调递增；
当x∈1,+∞时，f'x