2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区九年级（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．x2﹣4＝4
C．5x2+3x﹣2y＝0D．x﹣5＝0
2．（3分）如图，⊙O半径为5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
3．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则可列方程（ ）
A．x（x+12）＝864B．x（x﹣12）＝864
C．x（x+6）＝864D．x（x﹣6）＝864
5．（3分）如果一组数据2，3，4，5，x的方差大于另一组数据101，102，103，104，105的方差，那么x的值可能是（ ）
A．3B．5C．6D．8
6．（3分）已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数且m≠0）的解是x1＝3，x2＝6则关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2＝k的解是（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣6B．x1＝﹣4，x2＝﹣7
C．x1＝4，x2＝7D．x1＝3，x2＝6
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只.需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）一元二次方程x2﹣16＝0的解是 ．
8．（3分）若a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两根，则ab＝ ．
9．（3分）一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到 球的可能性最大．（填球的颜色）
10．（3分）已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径6，则它的侧面积为 ．
11．（3分）用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m﹣n的值为 ；
12．（3分）某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按80%、面试成绩按20%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为 分．
13．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝ ；
14．（3分）如图由正方形、正五边形、正六边形组合而成的图形中，∠2+∠3＝100°，则∠1＝ °．
15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为OB上一点，E、C关于BD对称，∠ODE＝30°，则∠C＝ °．
16．（3分）如图，等边△ABC内接于⊙O，D为边AC上一动点（不与A、C重合），连接DO并延长交边AB于E，将△ADE沿DE翻折为△FDE，边DF交BC于点G，若△CDG的周长记为C1，△ABC的周长记为C2，则的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）解方程：
（1）x2﹣2x＝3；
（2）（x+4）2＝5（x+4）．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣4＝0．
19．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀．
（1）从袋子中任意摸出1个球，则摸到的球是红球的概率为 ；
（2）从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次中至少有一次是红球的概率．
20．（8分）2023年10月8日，随着第19届亚运会在杭州闭幕，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，创造历史！
第19届亚运会奖牌榜（部分）
（1）表中十个国家或地区金牌的众数是 ；奖牌总数的极差是 ；
（2）根据表中数据，要清楚地反映各国家和地区金牌的占比，适合的统计图是 ；
A．条形统计图
B．折线统计图
C．扇形统计图
（3）结合表中数据，简要评价中国在本届亚运会的成绩．
21．（10分）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DF⊥AB于F．
（1）只用圆规在射线AC作一点E，使DE是⊙O的切线（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连结BC、OD，若AC＝6，AB＝10，求DF的长．
22．（10分）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．
（1）求小路的宽度；
（2）某公司希望用200万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以128万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D．
（1）求证：DI＝DB；
（2）连结IO、BI，BD＝2，若IO⊥BI，求AI的长．
24．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上异于B、C的一动点，以A为圆心，AD的长为半径作⊙A与AB、AC分别交于E、F．
（1）若∠B＝50°，随着点D的运动，∠BDE+∠CDF的值是否为定值？若不是，请说明理由，若是，求出该定值；
（2）从下列提供的条件中选择不超过两个条件，求∠FDC的度数，（供选择的条件：①DE∥AC，②⊙A与BC相切，③D为BC的中点）
解：你的选择是： （填序号）
25．（12分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“间根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“间根方程”．
（1）方程x2﹣4x+3＝0是“间根方程”吗？判断并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0是“间根方程”．
①若c＞0，判断方程cx2+bx+a﹣2＝0根的情况，并说明理由；
②若a＝1，且c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，求b的值．
26．（14分）【材料阅读】
材料1：以角内一点为圆心画圆，若圆与该角的两边相交所截的两条弦相等，则这一点在该角的角平分线上．如图1，P为∠MON内一点，⊙P在射线OM、ON截得弦AB、CD，AB＝CD，则P在∠MON角平分线OQ上．
材料2：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作这个三角形的“等弦圆”．
认真研读以上材料，完成以下问题：
【问题1】对于“等弦圆”下列描述正确得有 （填序号）；
①每个三角形都有“等弦圆”；
②一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心；
③每个三角形都只有一个“等弦圆”；
④若一个三角形的三个顶点可以同时在它的“等弦圆”上，那么这个三角形一定是等边三角形．
【问题2】如图2，⊙O是△ABC经过B、C两点的“等弦圆”，交边AB、AC于D、E．求证：AD＝AE；
【问题3】已知等腰直角三角形腰为2，则“等弦圆”半径的取值范围为 ；
【问题4】如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC经过C点的“等弦圆”，交边AC于E，交边BC于D，交边AB于F、G（G在F的右边）．
（1）连结FC、GC，则∠FCG＝ °；
（2）若AF⋅BG＝5，求弦FG与弧FG围成阴影部分的面积．
2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．
【解答】解：A、是分式方程，不符合题意；
B、x2﹣4＝4是一元二次方程，符合题意；
C、5x2+3x﹣2y＝0是二元二次方程，不符合题意；
D、x﹣5＝0是一元一次方程，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
2．【分析】根据图中的点在圆的分布位置，即可作答．
【解答】解：A、因为点P在圆上，所以点P到圆心O距离即为半径，为5，故该选项是错误的；
B、因为点Q在圆内，所以点Q到圆心O距离小于半径5，故该选项是错误的；
C、因为点M在圆内，所以点M到圆心O距离小于半径5，故该选项是错误的；
D、因为点N在圆外，所以点N到圆心O距离大于半径5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是点N，故该选项是正确的；
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆心的位置关系，难度较小．
3．【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的，
则它最终停留在黑砖上的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
4．【分析】根据矩形长与宽之间的关系，可得出长为（x+12）步，再结合矩形的面积为八百六十四平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵宽比长少一十二步，且阔（宽）为x步，
∴长为（x+12）步，
又∵直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），
∴根据题意可列出方程x（x+12）＝864．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．【分析】观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个x的值计算出前一组数据的方差求解．
【解答】解：数据101，102，103，104，105中，相邻两个数相差为1，一组数据2，3，4，5，x前4个数据也是相差1，
若x＝1或x＝6时，两组数据方差相等，
而数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据101，102，103，104，105的方差大，
则x的值可能是8；
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，熟练掌握方差的定义是解题的关键．
6．【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系求出二次函数y＝m（x﹣h）2﹣k的图象与x轴的交点坐标，进而根据二次函数图象的平移特征，求出二次函数y＝m（x﹣h﹣1）2﹣k的图象与x轴的交点坐标，即可求出m（x﹣h﹣1）2＝k的解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0的解是x1＝3，x2＝6，
∴二次函数y＝m（x﹣h）2﹣k的图象与x轴的交点坐标为（3，0），（6，0），
∵将二次函数y＝m（x﹣h）2﹣k的图象向右移动1个单位长度，新图象的函数解析式为：y＝m（x﹣h﹣1）2﹣k，
∴二次函数y＝m（x﹣h﹣1）2﹣k的图象与x轴的交点坐标为（3+1，0），（6+1，0），即（4，0），（7，0），
∴关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2﹣k＝0的解为x1＝4，x2＝7，
即关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2＝k的解是x1＝4，x2＝7．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的平移，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只.需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．【分析】方程变形后，开方即可求出解．
【解答】解：方程变形得：x2＝16，
开方得：x＝±4，
解得：x1＝﹣4，x2＝4．
故答案为：x1＝﹣4，x2＝4
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
8．【分析】根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，进行解答即可．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两根，
∴ab＝﹣2023，
故答案为：﹣2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．
9．【分析】哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可．
【解答】解：∵红球数量最多，
∴摸到红球的可能性最大，
故答案为：红．
【点评】考查了可能性大小的知识，解题的关键是了解“哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大”，难度不大．
10．【分析】根据圆锥的侧面积公式S＝πrl，进行计算即可熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
【解答】解：依题意知母线长l＝4，底面半径r＝6，
则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×6×4＝24π，
故答案为：24π．
【点评】此题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式．
11．【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到m、n的值，然后计算m﹣n的值．
【解答】解：x2+6x+3＝0，
x2+6x＝﹣3，
x2+6x+9＝6，
（x+3）2＝6，
所以m＝3，n＝6，
所以m﹣n＝3﹣6＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．﹣
12．【分析】根据加权平均数的计算公式解答即可．
【解答】解：∵笔试成绩按80%、面试成绩按20%，
∴总成绩是80×80%+85×20%＝81（分），
故答案为：81．
【点评】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
13．【分析】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
∴b2﹣2（1+2c）
＝b2﹣4c﹣2
＝0﹣2
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式．
14．【分析】利用正多边形求出每一个内角，然后通过角度和差即可求解．
【解答】解：如图所示，
正方形的每个内角为：90°，
正五边形的每个内角为：108°，
正六边形的每个内角为：120°，
根据图形可知：∠2+90°+∠BAC＝180°①，∠3+90°+∠BCA＝180°②，∠1+∠ABC+120°+108°＝360°③，
①+②+③得：∠2+90°+∠BAC+∠3+90°+∠BCA+∠1+∠ABC+120°+108°＝720°，
∵∠2+∠3＝100°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1＝32°，
故答案为：32°．
【点评】此题考查了正多边形的内角及三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握正多边形及其应用．
15．【分析】连接OC，设∠EDB＝x，利用圆周角定理及三角形内角和定理可求得∠BOD＝100°，进而可得∠A＝50°，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
【解答】解：连接OC，如图：
设∠EDB＝x，则∠ODB＝30°+x，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°+x，
∵E、C关于BD对称，
∴∠CDB＝∠EDB＝x，∠EBD＝∠CBD＝30°+x，
∴∠BOC＝2∠BCD＝2x，∠DOC＝2∠DBC＝60°+2x，
∴∠BOD+∠ODB+∠OBD＝180°，即：2x+60°+2x+30°+x+30°+x＝180°，
解得：x＝10°，
∴∠BOD＝60°+4×10°＝100°，
∴，
又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝130°，
故答案为：130．
【点评】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理以及圆内接四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．【分析】连接AF，CF，延长FD交⊙O于点H，连接AH，由折叠性质可知：AD＝FD，则∠CAF＝∠HFA，从而有，通过弧度和差可得，所以∠HFC＝∠BCF，再由周长即可求解．
【解答】解：如图，连接AF，CF，延长FD交⊙O于点H，连接AH，
由折叠性质可知：AD＝FD，
∴∠CAF＝∠HFA，
∵∠CAH＝∠HFC，
∴∠CAH+∠CAF＝∠HFC+∠HFA，即∠HAF＝∠CFA，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，
∴，
∴，AC＝FH，
∴，
∴∠HFC＝∠BCF，
∴CG＝GF，
设AC＝a，
∴△CDG的周长C1＝CD+DG+CG＝CD+DG+GF＝CD+AD＝AC＝a，
△ABC的周长C2＝AC+BC+AB＝3a，
∴，
故答案为：．
【点评】此题考查了折叠的性质，圆周角定理，等边三角形的性质，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角、弦相等，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】（1）先整理成一般式，再利用公式法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝3，
∴x2﹣2x+1＝3+1，
即（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）∵（x+4）2＝5（x+4），
∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
∴（x+4）（x+4﹣5）＝0，
即（x+4）（x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝x+1，接着利用因式分解法解一元二次方程，然后根据分式有意义的条件确定x＝4，最后把x＝4代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝x+1，
解方程x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1
∵x﹣1≠0且x+1≠0，
∴x＝﹣4，
当x＝﹣4时，原式＝﹣4+1＝﹣3．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了因式分解法解一元二次方程．
19．【分析】（1）由共有3种等可能结果，其中摸到红球可能的结果有2种，根据概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵袋中共有3个球，
∴共有3种等可能结果，其中摸到红球可能的结果有2种，
∴，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果，所有的结果中，满足“至少有一次是红球”的结果有8种，
∴．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
20．【分析】（1）利用众数和极差概念即可求解；
（2）根据反映各国家和地区金牌的占比适合统计图是扇形统计图；
（3）评价中国在本届亚运会的成绩合理即可．
【解答】解：（1）由201，52，42，28，22，19，13，12，12，11中，
12出现了2次，最多，则众数为12；
由383，188，190，107，71，67，54，58，20，39中，
最大的为383，最小的为20，则极差为383﹣20＝363，
故答案为：12，363；
（2）根据反映各国家和地区金牌的占比适合统计图是扇形统计图，
故选：C；
（3）中国代表团在本届亚运会上的成绩十分优异，均位居首位，尤其是本届中金牌数和奖牌数都创造了亚运会的历史最高纪录．
【点评】此题考查了统计图的选择、加权平均数、众数以及极差等知识点，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．【分析】（1）如图1，连接OD，BC，AD，由点D是的中点，则＝，∠BAD＝∠CAD，AD为∠BAC的平分线，由垂径定理可得，OD⊥BC，由直径所对的圆周角为直角可得，∠ACB＝90°，则OD∥AC，由DE是⊙O的切线，可知DE⊥OD，则DE⊥AE，由角平分线的性质定理可得，DE＝DF，以D为圆心DF长为半径画弧，交AC于点E，点E即为所求；
（2）如图2，连接BD，由（1）知，∠ACB＝90°，OD⊥BC，，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可．
【解答】解：（1）如图1，点E即为所求；

（2）由题意知，OB＝OD＝5，
如图2，连接BD，BC，OD，OD与BC交于点M，
由（1）知，∠ACB＝90°，OD⊥BC，，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
解得：DF＝4，
∴DF＝4．
【点评】本题考查了切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，直径所对的圆周角为直角，角平分线的性质定理，勾股定理等知识．有中点，连圆心，运用垂径定理解决问题是解题的关键．
22．【分析】（1）设小路的宽度为x m，根据总面积为480m2，列方程求解即可；
（2）设每次降价的百分率为y，根据等量关系列方程200（1﹣y）2＝128，解方程即可求解．
【解答】解：（1）设小路的宽度为x m，根据题意得：
（20+2x）（16+2x）＝480，
整理得：x2+18x﹣40＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣20（舍去），
答：小路的宽度为2m；
（2）设每次降价的百分率为y，
根据题意，得：200（1﹣y）2＝128，
解得：y1＝0.2，y2＝1.8（不合题意，舍去），
0.2＝20%，
答：每次降价的百分率为20%．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
23．【分析】（1）由内心的定义可知I为角平分线的交点，根据直径所对的圆周角是直角，三角形内角和以及角平分线的定义得出∠AIB＝135°，计算得出∠BID＝45°，即可证明；
（2）过点O作OE⊥AD，交AD于点E，证明△BAD∽△OAE，△OIE是等腰直角三角形，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴AI、BI分别平分∠CAB和∠CBA，
∵AB为直径，
∴∠C＝90°，∠D＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAO+∠IBO）＝135°，
∴∠BID＝180°﹣135°＝45°，
∴∠IBD＝180°﹣90°﹣135°＝45°，
∴DI＝DB；
（2）解：如图，过点O作OE⊥AD，交AD于点E，
∵OE⊥AD，IO⊥BI，
∴∠AEO＝90°，∠OIB＝90°，
∵∠AEO＝∠D＝90°，∠BAD＝∠OAE，
∴△BAD∽△OAE，
∴，
∵∠BID＝45°，∠OIB＝90°，
∴∠OIE＝180°﹣∠BID﹣∠OIB＝45°，
∵OE⊥AD，
∴∠OEI＝90°，
∴∠IOE＝180°﹣∠OEI﹣∠OIE＝45°，
∴OE＝EI，
∵，
∴，
∵BD＝2，
∴OE＝1，DI＝BD＝2，
∴EI＝1，DE＝EI+DI＝3，
∵，
∴AD＝2AE即AE+3＝2AE，
∴AE＝3，
∴AI＝AE+EI＝3+1＝4．
【点评】本题考查圆的综合问题，以及相似三角形的判定与性质，内心是三角形内接圆的圆心，是三角形角平分线的交点；直径所对的圆周角是直角，这是隐含的直角条件．
24．【分析】（1）在⊙A上取任意一点G，连接EG，FG，根据等腰三角形的性质及圆周角定理得∠G＝40°，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得可得∠EDA+∠FDA＝100°+∠BDE+∠CDF，再根据圆内接四边形的性质即可求解．
（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，∠AED＝∠ADE＝∠ADF＝∠AFD，再根据平行线的性质可得∠EDA＝∠DAF，进而可得∠FAD＝∠ADF＝∠AFD＝60°，进而可求解．
【解答】解：（1）∠BDE+∠CDF＝40°，理由：
在⊙A上取任意一点G，连接EG，FG，如图：
∴四边形EDFG是圆内接四边形，
∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝80°，
∴，
∴∠EDF＝180°﹣∠G＝140°，
∵∠AED、∠AFD分别是△BED、△FCD的一个外角，
∴∠AED＝∠B+∠BDE＝50°+∠BDE，∠AFD＝∠C+∠CDF＝50°+∠CDF，
∵AE＝AD＝AF，
∴∠EDA＝∠AED＝50°+∠BDE，∠FDA＝∠AFD＝50°+∠CDF，
∴∠EDF＝∠EDA+∠FDA＝100°+∠BDE+∠CDF＝140°，
∴∠BDE+∠CDF＝40°，为定值．
（2）选择①DE∥AC，③D为BC的中点为条件，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵AE＝AD＝AF，
∴，，
∴∠AED＝∠ADE＝∠ADF＝∠AFD，
∵DE∥AC，
∴，
∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：①③．
【点评】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关的性质，借助适当的辅助线是解题的关键．
25．【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解法和根的判别式．
（1）求出方程x2﹣4x+3＝0的根即可判断；
（2）①由方程ax2+bx+c＝0是“间根方程”可得b2﹣4ac＝4a2，然后结合根的判别式判断即可；
②c是“间根方程”方程ax2+bx+c＝0的一个根，可得c＝0或c＝﹣b﹣1，结合可得b2﹣4c＝4，然后分2种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
∵3﹣1＝2，
∴方程x2﹣4x+3＝0是“间根方程”；
（2）①∵ax2+bx+c＝0，
∴．
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0是“间根方程”，
∴，
∴b2﹣4ac＝4a2．
∵cx2+bx+a﹣2＝0，
∴Δ＝b2﹣4c（a﹣2）
＝b2﹣4ac+8c
＝4a2+8c，
∵c＞0，
∴4a2+8c＞0，
∴方程cx2+bx+a﹣2＝0有两个不相等的实数根；
②∵a＝1，
∴ax2+bx+c＝0变为x2+bx+c＝0，
∴．
∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0是“间根方程”，
∴，
∴b2﹣4c＝4．
∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴c2+bc+c＝0，
∴c（c+b+1）＝0，
∴c＝0或c＝﹣b﹣1，
当c＝0时，
b2﹣4×0＝4，
b＝±2，
当c＝﹣b﹣1时，
b2﹣4×（﹣b﹣1）＝4，
b＝0或b＝4，
综上所述：b＝0，b＝±2，b＝4．
【点评】本题考查了新定义的理解，一元二次方程根的判别式及公式法求解一元二次方程．
26．【分析】[问题1]根据材料1和材料2逐项分析判断即可求解；
[问题2]连接OD，OE，OB，OC，证明△AOB≌△AOC得出AB＝AC，即可得证；
[问题3]过点A作AD⊥BC于点D，则，过点O作OE⊥AC，则△AOE是等腰直角三角形，分别求得AO，OE，即可求解；
[问题4]（1）连接OC，OD，OF，OG，得出△OCD是等腰直角三角形，进而可得∠FOG＝∠COD＝90°，根据圆周角定理即可求解；
（2）根据问题2可得，AE＝AF，BG＝BD，设AE＝AF＝x，BG＝BD＝y，EC＝CD＝FG＝a，勾股定理得出a2＝2xy，又AF⋅BG＝5，即xy＝5，得出，则半径为，进而根据S阴影部分＝S扇形OFG﹣S△OFG，即可求解．
【解答】解：[问题1]根据材料1材料2，可得一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心，
①每个三角形都有“等弦圆”，故①正确，符合题意；
②一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心，故②正确，符合题意；
③每个三角形有无数多个“等弦圆”，故③错误，不符合题意；
④若一个三角形的三个顶点可以同时在它的“等弦圆”上，则三条弦相等，那么这个三角形一定是等边三角形，故④正确，符合题意，
[问题2]证明：如图所示，连接OD，OE，OB，OC，
∵⊙O是△ABC经过B、C两点的“等弦圆”，
∴DB＝BC＝CE，
∴弧DB＝弧BC＝弧CE，
∴∠DOB＝∠EOC，
又∵OD＝OB＝OE＝OC，
∴∠OBA＝∠OCA，
根据材料1，可得AO是∠BAC的角平分线，
∴∠OAB＝∠OAC，
又AO＝AO，
∴△AOB≌△AOC（AAS），
∴AB＝AC，
∴AB﹣BD＝AC﹣CE，即AD＝AE；
[问题3]解：如图所示，等腰直角三角形腰为2，即AB＝AC＝2，
∴，
过点A作AD⊥BC于点D，则，
过点O作OE⊥AC，则△AOE是等腰直角三角形，
设OE＝x，则OD＝OE＝x，，
又∵，
∴，
解得：，
则，
∵⊙O是△ABC的“等弦圆”，
当⊙O经过点直角顶点，点A时，此时半径为，
当⊙O与AC相切时，半径为，
∴“等弦圆”半径的取值范围为，
故答案为：．
[问题4]（1）如图所示，连接OC，OD，OF，OG，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC经过C点的“等弦圆”，
∴CD＝FG，，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
又∵CD＝FG，
∴弧CD＝弧FG，
∴∠FOG＝∠COD＝90°，
∴，
故答案为：45．
（2）AE＝AF，BG＝BD，
设AE＝AF＝x，BG＝BD＝y，EC＝CD＝FG＝a，
∴AC2+BC2＝AB2，
即（x+a）2+（y+a）2＝（x+y+a）2，
整理得，a2＝2xy，
又∵AF⋅BG＝5，即xy＝5，
∴（负值舍去），
即，
∴，
∴．
【点评】本题考查了“等弦圆”的定义，圆周角定理，三角形的内心，全等三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，理解新定义解题的关键．
名次
国家地区
金牌
银牌
铜牌
总数
1
中国
201
111
71
383
2
日本
52
67
69
188
3
韩国
42
59
89
190
4
印度
28
38
41
107
5
乌兹别克斯坦
22
18
31
71
6
中国台北
19
20
28
67
7
伊朗
13
21
20
54
8
泰国
12
14
32
58
9
巴林
12
3
5
20
10
朝鲜
11
18
10
39