2022-2023学年北京市西城区徐悲鸿中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市西城区徐悲鸿中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，4）B．（1，4）C．（1，﹣4）D．（﹣1，﹣4）
3．（3分）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．无法确定
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0时，可配方得（ ）
A．（x﹣2）2＝7B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝﹣1
5．（3分）由抛物线y＝﹣2x2平移而得到抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2，下列平移正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
6．（3分）方程x2﹣4x+4＝0的根是（ ）
A．x＝2B．x1＝x2＝2C．x＝4D．x1＝x2＝4
7．（3分）若（3，7），（5，7）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则抛物线的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
8．（3分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．289 （1﹣x%）2＝256B．289 （1﹣x ）2＝256
C．256 （1﹣x%）2＝289D．256 （1﹣x ）2＝289
9．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x＝1，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0
B．c＜0
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）抛物线y＝3x2﹣4开口向 ，有最 值为 ．
12．（3分）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
13．（3分）若抛物线y＝x2+6x+m+3与y轴交于原点，则m的值为 ．
14．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 ．
15．（3分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在二次函数y＝﹣x2+2x的图象上，则y1 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）．
16．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数 ．
17．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是 ．
18．（3分）如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ．
19．（3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 ．
20．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列6个结论：
①abc＞0；
②b＜a+c；
③4a+2b+c＞0；
④b2﹣4ac＞0；
⑤a+b+c＞0；
⑥2a+b＝0，
其中正确的结论 ．（只填序号）
三、解答题（共40分）
21．（10分）解方程：
（1）x2+6x﹣1＝0；
（2）5x2﹣3x＝x+1．
22．（5分）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）用配方法将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）结合图象回答：
当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值的范围是 ．
23．（4分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0），求抛物线的解析式．
24．（4分）已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）．求抛物线的解析式．
25．（5分）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？
26．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
27．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），且经过直线y＝x﹣3与x轴的交点B及与y轴的交点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求抛物线的顶点M的坐标；
（4）在直线y＝x﹣3上是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
2022-2023学年北京市西城区徐悲鸿中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【解答】解：A、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，4）B．（1，4）C．（1，﹣4）D．（﹣1，﹣4）
【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+4，
∴其顶点坐标为（1，4）．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
3．（3分）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．无法确定
【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
【解答】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0时，可配方得（ ）
A．（x﹣2）2＝7B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝﹣1
【分析】先把常数项移项，然后左右两边加上一次项系数一半的平方即可．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，
∴（x﹣2）2＝1．
故选：B．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．（3分）由抛物线y＝﹣2x2平移而得到抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2，下列平移正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
【解答】解：∵将抛物线y＝﹣2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
6．（3分）方程x2﹣4x+4＝0的根是（ ）
A．x＝2B．x1＝x2＝2C．x＝4D．x1＝x2＝4
【分析】利用完全平方公式对等式的左边进行因式分解，然后解方程．
【解答】解：由原方程，得
（x﹣2）2＝0，
解得x1＝x2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．熟记完全平方差公式是解题的关键．
7．（3分）若（3，7），（5，7）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则抛物线的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．
【解答】解：∵点（3，7），（5，7）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．
∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，判断两点关于对称轴对称是解题的关键．
8．（3分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．289 （1﹣x%）2＝256B．289 （1﹣x ）2＝256
C．256 （1﹣x%）2＝289D．256 （1﹣x ）2＝289
【分析】利用该商品经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得289（1﹣x）2＝256，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x＝1，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0
B．c＜0
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根
【分析】根据抛物线开口方向可判断A；根据图象与y轴交点的位置即可判断B；根据图象从左往右的趋势即可判断C，根据抛物线的对称性即可判断D．
【解答】解：A、∵抛物线抛物线开口方向向下，
∴a＜0，故本选项结论错误；
B、∵二次函数图象与y轴交于y轴正半轴，
∴c＞0，故本选项结论错误；
C、∵抛物线对称轴为直线x＝1，开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
故本选项结论错误；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，则另一交点坐标是（3，0），
∴x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，
故本选项结论正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与x轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）抛物线y＝3x2﹣4开口向 上 ，有最 小 值为 ﹣4 ．
【分析】根据抛物线解析式的系数结合二次函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝3x2﹣4，
∴a＝3，b＝0，c＝﹣4．
∵a＝3＞0，
∴抛物线开口向上；
∴函数有最小值，y最小＝﹣4．
故答案为：上；小；﹣4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的图象与系数之间的关系．
12．（3分）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： y＝﹣x2+2（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是负数，c＝2即可．
【解答】解：函数解析式为y＝﹣x2+2（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一．
13．（3分）若抛物线y＝x2+6x+m+3与y轴交于原点，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】根据函数图象经过原点时，x＝0，y＝0，代入即可求出m的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+6x+m+3与y轴交于原点，
∴当x＝0时，y＝0，
∴m+3＝0，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当x＝0时，y＝0是解决问题的关键．
14．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞3 ．
【分析】先求出抛物线与x轴另一交点的坐标，再利用函数图象即可而出结论．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴另一交点的坐标是（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键．
15．（3分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在二次函数y＝﹣x2+2x的图象上，则y1 ＜ y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴x＜1时，y随x增大而增大，
∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
16．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数 50° ．
【分析】由旋转的性质可得∠D＝∠B＝50°，∠DOB＝80°，由三角形内角和定理可求∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°，即可求解．
【解答】解：∵∠A＝2∠D＝100°，
∴∠D＝50°，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，
∴∠D＝∠B＝50°，∠DOB＝80°，
∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°，
∴∠α＝∠DOB﹣∠AOB＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
17．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是 x1＝﹣2，x2＝3 ．
【分析】首先根据图象求出抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标，进而写出一元二次方程ax2+bx+c＝0的解．
【解答】解：由图可知：抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（3，0），
则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题的知识，根据抛物线与x轴的交点求出一元二次方程的两个根是解答此题的关键，此题难度不大．
18．（3分）如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 m≥﹣4 ．
【分析】由二次函数的图象与x轴有公共点，即可得出△≥0，解之即可得出m的取值范围
【解答】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，
∴△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，
∴m≥﹣4．
故答案为：m≥﹣4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“Δ＝b2﹣4ac≥0时，抛物线与x轴有交点”是解题的关键．
19．（3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 ﹣1或4 ．
【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题中的新定义将x★2＝6变形得：
x2﹣3x+2＝6，即x2﹣3x﹣4＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
则实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
20．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列6个结论：
①abc＞0；
②b＜a+c；
③4a+2b+c＞0；
④b2﹣4ac＞0；
⑤a+b+c＞0；
⑥2a+b＝0，
其中正确的结论 ③④⑤⑥ ．（只填序号）
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x＝﹣＞0，
而a＜0，所以b＞0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，可知c＞0，
故abc＜0，①错误；
由图象可知当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
故②错误；
由图象可知：当x＝2时，y＞0，
所以4a+2b+c＞0，
故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故④正确；
由图象知，当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
故⑤正确；
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故⑥正确；
⑤由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故本选项错误；
综上所述，正确的结论是：③④⑤⑥．
故答案为：③④⑤⑥．
【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
三、解答题（共40分）
21．（10分）解方程：
（1）x2+6x﹣1＝0；
（2）5x2﹣3x＝x+1．
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵x2+6x﹣1＝0，
∴x2+6x+9＝1+9，
∴（x+3）2＝10，
∴x+3＝±，
∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；
（2）∵5x2﹣3x＝x+1，
∴5x2﹣4x﹣1＝0，
a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36，
∴x＝＝，
∴x1＝﹣，x2＝1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
22．（5分）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）用配方法将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）结合图象回答：
当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值的范围是 ﹣4≤y＜5 ．
【分析】（1）利用配方法将函数解析式进行转换即可；
（2）根据题意用描点法画出此抛物线；列表，然后描点、连线即可．
（3）根据二次函数图象的性质即可解答．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
即y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）列表：
描点、连线：
故答案为：﹣1，0，1，2，3，0，﹣3，﹣4，﹣3，0；
（3）由图象知，﹣2＜x＜2时，函数值y的取值的范围是﹣4≤y＜5；
故答案为：﹣4≤y＜5．
【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，找到顶点及对称轴，根据对称轴取点是画图的关键一步．
23．（4分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0），求抛物线的解析式．
【分析】直接利用交点式写出抛物线解析式．
【解答】解：抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1），
即y＝﹣x2+2x+3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
24．（4分）已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）．求抛物线的解析式．
【分析】由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4，然后把（2，﹣3）代入求出a的值即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（2，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
25．（5分）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？
【分析】（1）因为AB＝x米，所以BC为（36﹣2x）米，由长方形的面积列式即可；
（2）将（1）中的二次函数进行配方即可化为顶点式．y＝a（x﹣h）2+k，因为a＝﹣2＜0抛物线开口向下，函数有最大值，即当x＝h时，取得最大值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，
∴CD＝AB＝x（米）．
∵矩形除AD边外的三边总长为36米，
∴BC＝36﹣2x（米）．…（1分）
∴S＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x． …（3分）
自变量x的取值范围是0＜x＜12． …（4分）
（说明：由0＜x＜36﹣2x可得0＜x＜12．）
（2）∵S＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，且x＝9在0＜x＜12的范围内，
∴当x＝9时，S取最大值．
即AB边的长为9米时，花圃的面积最大．…（5分）
【点评】本题考查了二次函数的应用中求最值的问题．当a＞0时函数有最小值；当a＜0时函数有最大值．求最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比用公式法简便．
26．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）根据题意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）
＝m2+6m+9﹣4m﹣8
＝（m+1）2．
∵（m+1）2≥0，
∴△≥0．
∴方程总有两个实数根．
（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴m+2≥1．
∴m≥﹣1．
∴m的最小值为﹣1．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
27．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），且经过直线y＝x﹣3与x轴的交点B及与y轴的交点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求抛物线的顶点M的坐标；
（4）在直线y＝x﹣3上是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）在y＝x﹣3中，分别令y＝0和x＝0解方程即可求出B、C的坐标；
（2）将A、B、C的坐标代入抛物线中即可求得抛物线的解析式；
（3）根据（2）的抛物线的解析式用配方或公式法均可求出顶点坐标；
（4）作MN⊥y轴于点N，则∠CNM＝90°，证明∠BCM＝90°，设过点M分别作x轴和y轴的垂线，交直线y＝x﹣3于点P1和P2，分别令x＝1，y＝﹣4，得y＝﹣2，x＝﹣1，即可求出满足条件的P点坐标．
【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，分别令y＝0和x＝0，得
x＝3和y＝﹣3．
∴B（3，0），C（0，﹣3）；
（2）∵抛物线过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
∵抛物线过点C（0，﹣3），
∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝（x+1）（x﹣3），
即 y＝x2﹣2x﹣3；
（3）由y＝x2﹣2x﹣3，得y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点M（1，﹣4）；
（4）如图，存在满足条件的P1（1，﹣2）和P2（﹣1，﹣4），理由如下：
作MN⊥y轴于点N，则∠CNM＝90°．
∵M（1，﹣4），C（0，﹣3），
∴MN＝NC＝1，
∴∠MCN＝45°，
∵∠COB＝90°，B（3，0），C（0，﹣3），
∴∠OCB＝45°，
∴∠BCM＝90°，
∴要使点P在直线y＝x﹣3上，必有PC＝MC．
∠MPC＝∠CMP＝45°，
则 过点M分别作x轴和y轴的垂线，交直线y＝x﹣3于点P1和P2，
在y＝x﹣3中，分别令x＝1，y＝﹣4，得y＝﹣2，x＝﹣1，
则 P1（1，﹣2）和P2（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的综合题目，考查数形结合、分类讨论的思想，此题是一道以函数为背景的综合压轴题，第1、2两个小题较为容易，上手很轻松，想提醒大家的是在中考中应该对可能的情况进行逐一讨论，才能尽量防止漏解，有时不成立的情况也会是一个得分点，这样在考场上浪费不了多少时间，却能避免失分的风险．
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