2023-2024学年北京市门头沟区大峪中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市门头沟区大峪中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．心形线B．蝴蝶曲线
C．四叶玫瑰线D．等角螺旋线
2．（2分）若2y＝5x（xy≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（3，1）
4．（2分）关于四个函数y＝﹣2x2，，y＝3x2，的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．都有最低点
C．对称轴是y轴D．y随x增大而增大
5．（2分）将一元二次方程x2﹣6x+4＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．（x﹣3）2＝5C．（x+3）2＝4D．（x+3）2＝5
6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的示意图如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．a＜0B．b＜0C．c＞0D．Δ＞0
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（x＜0）的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数y＝（x＜0）的图象所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（2分）正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数
C．二次函数D．反比例函数
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如图，AB∥CD，AD，BC交于点O，＝．若BO＝3，则OC的长为 ．
10．（2分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则△ADE与△ABC的面积比等于 ．
11．（2分）已知某函数当x＞1时，y随x的增大而增大，则这个函数解析式可以是 ．
12．（2分）若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 ．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P为函数y＝（x＞0）图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N．若矩形PMON的面积为3，则m的值为 ．
14．（2分）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△AOE相似的三角形，这个三角形可以是 ．
15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线可以看作是由抛物线经过怎样的平移得到的，平移过程为 ．
16．（2分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+n（k≠0）如图所示，有下面四个推断：
①二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值；
②抛物线C关于直线x＝对称；
③关于x的方程ax2+bx+c＝kx+n的两个实数根为x＝﹣4，x＝0；
④若过动点M（m，0）垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点P（m，y1）和Q（m，y2），则当y1＜y2时，m的取值范围是﹣4＜m＜0．
其中所有正确推断的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分；第21-23题，每小题5分；第24-25题，每小题5分；第26题6分；第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）．
18．（5分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足CA2＝CD•CB，∠BAC＝68°．
（1）求证：△ABC∽△DAC；
（2）求∠ADC的度数．
19．（5分）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若D为AE中点，BE＝4，求CD的长．
20．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（3）结合图象直接写出自变量0≤x≤3时，函数的最大值和最小值．
21．（6分）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．
22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（4﹣m）x+3﹣m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若y＜﹣3，直接写出x的取值范围．
24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（2，3）．
（1）求k的值；
（2）过点P（m，0）（m≠0）作x轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k≠0），y＝﹣的图象于点M，N．
①当m＝﹣2时，求MN的长；
②若MN≥5，直接写出m的取值范围．
25．（5分）某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．
（1）图中点B表示篮筐，其坐标为 ，篮球行进的最高点C的坐标为 ；
（2）求篮球出手时距地面的高度．
26．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）．
（1）直接写出抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）若点（x1，3），（x2，6）在抛物线上，直接写出a的取值范围；
（3）若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+3，y3）都在抛物线上，是否存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
27．（7分）如图，AD是△ABC的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上一点（不与点E重合），AF＝AB．
（1）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明；
（2）连接BF，取BF的中点M，连接DM，判断DM与AC的位置关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将点M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x＝3对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点A（0，1）．
（1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联点的坐标 ；
（2）若点A关于点P的二次关联点与点A重合，求点P的坐标（画出图形、写出结果即可）；
（3）若点A关于点P的二次关联点在直线y＝﹣x+2上，求此时点A的二次关联点的坐标及P点坐标．
2023-2024学年北京市门头沟区大峪中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下列曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．心形线B．蝴蝶曲线
C．四叶玫瑰线D．等角螺旋线
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键．
2．（2分）若2y＝5x（xy≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据比例的基本性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断．
【解答】解：A．因为：，所以：2x＝5y，故A不符合题意；
B．因为：，所以：xy＝10，故B不符合题意；
C．因为：，所以：5x＝2y，故C符合题意；
D．因为：，所以：5y＝2x，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（3，1）
【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该抛物线的顶点坐标：（3，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．
4．（2分）关于四个函数y＝﹣2x2，，y＝3x2，的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．都有最低点
C．对称轴是y轴D．y随x增大而增大
【分析】根据二次函数的性质，可以写出它们的开口方向，最高点或最低点，对称轴，y随x的如何变化，然后即可写出它们的共同点．
【解答】解：函数y＝﹣2x2的开口向下，有最高点，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
函数y＝x2的开口向上，有最低点，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；
函数y＝3x2的开口向上，有最低点，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；
函数y＝﹣x2的开口向下，有最高点，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．（2分）将一元二次方程x2﹣6x+4＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．（x﹣3）2＝5C．（x+3）2＝4D．（x+3）2＝5
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+4＝0，
x2﹣6x＝﹣4，
x2﹣6x+9＝﹣4+9，
（x﹣3）2＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的示意图如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．a＜0B．b＜0C．c＞0D．Δ＞0
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置可确定a，b，c的符号，根据抛物线与x轴交点个数可得Δ的符号．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，即b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∵抛物线与x轴无交点，
∴Δ＜0，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（x＜0）的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数y＝（x＜0）的图象所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先根据函数y＝的函数值y随着自变量x的增大而增大，判断函数所在象限，再根据x＜0及函数图象可得答案．
【解答】解：∵函数y＝的函数值y随着自变量x的增大而增大，
∴函数图象在第二、四象限，
∵x＜0，
∴函数y＝（x＜0）的图象所在的象限在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
8．（2分）正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数
C．二次函数D．反比例函数
【分析】设正方形的边长为a，由正方形的周长和面积公式，消去a，可得所求函数的解析式．
【解答】解：设正方形的边长为a，
则x＝4a，y＝a2，
消去a得，y＝（x＞0），它是二次函数，
故选：C．
【点评】此题考查的是函数关系式的求法及二次函数的概念，掌握正方形的面积公式与周长公式是解决此题关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如图，AB∥CD，AD，BC交于点O，＝．若BO＝3，则OC的长为 6 ．
【分析】证明△OAB∽△ODC，对应边成比例代入值即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△OAB∽△ODC，
∴＝＝．
∵BO＝3，
∴OC＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出OC的长是解题关键．
10．（2分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则△ADE与△ABC的面积比等于 4：25 ．
【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：∵AD：DB＝2：3，
∴AD：AB＝2：5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积是：（）2＝．
故答案为：4：25．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
11．（2分）已知某函数当x＞1时，y随x的增大而增大，则这个函数解析式可以是 y＝﹣（答案不唯一） ．
【分析】根据反比例函数的增减性求解即可．
【解答】解：根据某函数当x＞1时，y随x的增大而增大，
这个函数可以是y＝﹣，
故答案为：y＝﹣（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质等，熟练掌握这些函数的增减性是解题的关键．
12．（2分）若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 m≥﹣1 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到22﹣4（﹣m）≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，
∴x2+2x﹣m＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1，
即m的取值范围为m≥﹣1．
故答案为：m≥﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：理解二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系，Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P为函数y＝（x＞0）图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N．若矩形PMON的面积为3，则m的值为 3 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得答案．
【解答】解：由题意得，
S矩形PMON＝|m|＝3，
又∵m＞0，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
14．（2分）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△AOE相似的三角形，这个三角形可以是 △BOD或△CBE或△ACD ．
【分析】根据两个角相等，两个三角形相似，可证明与△AOE相似的三角形有△BOD或△CBE或△ACD．
【解答】解：∵∠AEO＝∠BDO，∠BOD＝∠AOE，
∴△AOE∽△BOD，
∴∠CBE＝∠OAE，
又∵∠AEO＝∠CEB，
∴△CBE∽△AOE；
∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠CAD＝∠OAE，
∴△AOE∽△ACD，
故答案为：△BOD或△CBE或△ACD．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线可以看作是由抛物线经过怎样的平移得到的，平移过程为 向右平移4个单位，再向上平移3个单位 ．
【分析】抛物线经顶点坐标为（0，﹣1），平移后抛物线顶点坐标为（4，2），由此确定平移规律．
【解答】解：∵抛物线
∴该抛物线的顶点坐标是（0，﹣1），
∵抛物线的顶点坐标是（4，2），
∴平移过程为：向右平移4个单位，再向上平移3个单位．
故答案为：向右平移4个单位，再向上平移3个单位．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
16．（2分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+n（k≠0）如图所示，有下面四个推断：
①二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值；
②抛物线C关于直线x＝对称；
③关于x的方程ax2+bx+c＝kx+n的两个实数根为x＝﹣4，x＝0；
④若过动点M（m，0）垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点P（m，y1）和Q（m，y2），则当y1＜y2时，m的取值范围是﹣4＜m＜0．
其中所有正确推断的序号是 ①③ ．
【分析】由抛物线C开口向下，可以判断①；由抛物线与x轴的交点可以求出抛物线对称轴；由抛物线与直线的交点可以判断③；根据题意做出直线x＝m，结合图象可以判断④．
【解答】解：由图象可知，抛物线C开口向下，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值，
故①正确；
∵抛物线C与x轴的交点为（﹣4，0）和（1，0），
∴对称轴为直线x＝﹣，
故②错误；
∵抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+n（k≠0）的交点为（﹣4，0）和（0，4），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝kx+n的两个实数根为x＝﹣4或x＝0，
故③正确；
如图所示：
由图象可知，当y1＜y2时，m的取值范围是m＞0或m＜﹣4，
故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数与一次函数的交点，二次函数的性质等，关键是掌握二次函数的性质和数形结合的思想方法．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分；第21-23题，每小题5分；第24-25题，每小题5分；第26题6分；第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）．
【分析】利用二次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂及绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣9+1+4﹣
＝2﹣4．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（5分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足CA2＝CD•CB，∠BAC＝68°．
（1）求证：△ABC∽△DAC；
（2）求∠ADC的度数．
【分析】（1）由相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质，可得∠BAC＝∠ADC，从而求出∠ADC的度数．
【解答】（1）证明：∵CA2＝CD•CB，
∴＝，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC；
（2）解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠BAC＝∠ADC，
∵∠BAC＝68°，
∴∠ADC＝68°．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
19．（5分）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若D为AE中点，BE＝4，求CD的长．
【分析】（1）根据角平分线定义可得∠BAE＝∠CAD，进而可以证明结论；
（2）结合（1），根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠B＝∠C．
∴△ABE∽△ACD；
（2）解：∵D为AE中点，BE＝4，
∴AE＝2AD，
∵△ABE∽△ACD，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，得出△ACD∽△ABC是解题的关键．
20．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（3）结合图象直接写出自变量0≤x≤3时，函数的最大值和最小值．
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；
（2）写出该函数图象上的五个点，即可画出函数图象；
（3）根据（2）中画出的函数图象，即可写出最大值和最小值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣3）（x+1），
∴该函数的顶点坐标为（1，﹣4），与x轴的交点为（3，0），（﹣1，0），与y轴交于点（0，﹣3），过点（2，﹣3），
函数图象如图所示；
（3）由图象可得，
当自变量0≤x≤3时，函数的最大值是0，最小值值是﹣4．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（6分）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE＝2DE＝4，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE；
（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠FAE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，
∴AE＝2DE＝4，
∴△AEF的面积＝×4×4＝8．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．
22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（4﹣m）x+3﹣m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据根的判别式≥0，即可得证；
（2）利用因式分解法求得方程的解，根据题意得到m﹣3≥0，解不等式即可求出m的去值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（4﹣m）2﹣4×1×（3﹣m）＝（m﹣2）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：x2+（4﹣m）x+3﹣m＝0，
（x+1）（x+3﹣m）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝m﹣3，
∵该方程恰有一个实数根为非负数，
∴m﹣3≥0，
∴m≥3．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了解一元二次方程以及解不等式．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若y＜﹣3，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，1），则可设顶点式y＝a（x﹣1）2+1，然后把点（0，0）代入求出a即可；
（2）根据y＝﹣3时x的值，再结合函数图象得出y＜﹣3时x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1，1），
设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2+1，
把点（0，0）代入y＝a（x﹣1）2+1，得a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，即y＝﹣x2+2x；
（2）由（1）知，抛物线顶点为（1，1），对称轴为直线x＝1，过原点，
根据抛物线的对称性，抛物线过（2，0），
抛物线的图象如图所示：
当y＝﹣3时，﹣x2+2x＝﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
结合函数图象，当y＜﹣3时，x＞3或x＜﹣1．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（2，3）．
（1）求k的值；
（2）过点P（m，0）（m≠0）作x轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k≠0），y＝﹣的图象于点M，N．
①当m＝﹣2时，求MN的长；
②若MN≥5，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）①求得M、N的坐标，即可求得MN的长；
②根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（2，3），
∴k＝2×3＝6；
（2）①当m＝﹣2时，则P（﹣2，0），
把x＝﹣2代入y＝得，y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3），
把x＝﹣2代入y＝﹣得，y＝2，
∴N（﹣2，2），
∴MN＝2﹣（﹣3）＝5；
②若MN≥5，m的取值范围是﹣2≤m＜0或0＜m≤2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标适合解析式．
25．（5分）某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．
（1）图中点B表示篮筐，其坐标为 （4.5，3.05） ，篮球行进的最高点C的坐标为 （3，3.3） ；
（2）求篮球出手时距地面的高度．
【分析】（1）根据已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．即可得到答案；
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入求得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m，
∴点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；
故答案为：（4.5，3.05），（3，3.3）；
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，
把B（4.5，3.05）代入得，3.05＝a（4.5﹣3）2+3.3，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，
当x＝0时，y＝2.3，
答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，准确理解铅球出手时离地面的高度是解题的关键．
26．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）．
（1）直接写出抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）若点（x1，3），（x2，6）在抛物线上，直接写出a的取值范围；
（3）若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+3，y3）都在抛物线上，是否存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将抛物线y＝ax2﹣2ax化为顶点式，即可求解；
（2）令 y＝0，则ax2﹣2ax＝0，解得x＝0或x＝2，则二次函数图象与x轴的两个交点为（0，0），（2，0），分当 a＞0时，y≥﹣a，﹣a＜0，由3≥﹣a，6≥﹣a，可知a＞0符合要求；当a＜0时，y≤﹣a，﹣a＞0，由3≤﹣a，6≤﹣a，计算求解即可；
（3）由y1＜y2＜y3≤﹣a可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线x＝1，结合图象求解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a）；
（2）令 y＝0，则ax2﹣2ax＝0，
解得：x＝0或x＝2，
二次函数图象与x轴的两个交点为（0，0），（2，0），
当a＞0时，y≥﹣a，﹣a＜0，
∵3≥﹣a，6≥﹣a，
∴a＞0符合要求；
当a＜0时，y≤﹣a，﹣a＞0，
∵点（x1，3），（x2，6）在抛物线上，
：3≤﹣a，6≤﹣a，
解得，a≤﹣6；
综上，a的取值范围为a＞0或a≤﹣6；
（3）存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立，
∵y1＜y3＜y2≤﹣a，抛物线的顶点坐标为（1，﹣a），
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，
如图，当B（m，y2），C（m+3，y3）关于抛物线对称轴对称时，＝1，
解得m＝﹣，
∴m＞﹣时，y3＜y2≤﹣a，
当A（m﹣1，y1），B（m，y2）关于抛物线对称轴对称时，＝1，
解得m＝，
∴m＜时，y1＜y2≤﹣a，
当A（m﹣1，y1），C（m+3，y3）关于抛物线对称轴对称时，＝1，
解得m＝0，
∴m＜0时，y1＜y3≤﹣a，
综上，存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立，m的取值范围为﹣＜m＜0．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象以及抛物线的对称性，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27．（7分）如图，AD是△ABC的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上一点（不与点E重合），AF＝AB．
（1）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明；
（2）连接BF，取BF的中点M，连接DM，判断DM与AC的位置关系，并证明．
【分析】（1）连接AE，作AH⊥EF于H，由轴对称的性质知AB＝AE，∠ABC＝∠E，得AF＝AE，则∠AFE＝∠E，∠AFE＝∠ABC；利用AAS证明△ABD≌△AFH，得BD＝FH，再利用等腰三角形的性质可得结论；
（2）连接BF，取BF的中点M，连接AM，DM并延长交AC于H，由等腰三角形的性质知∠BAM+∠ABM＝90°，再利用四边形内角和定理说明∠ACB+∠BAM＝90°，则∠ACD＝∠ABM，由∠AMB＝∠ADB＝90°，知四点A、B、D、M共圆，从而解决问题．
【解答】（1）EF＝2BD，理由如下：
作AH⊥EF于H，
∵点B关于直线AC的对称点为E，
∴AB＝AE，∠ABC＝∠E，
∵AF＝AB，
∴AF＝AE，
∴∠AFE＝∠E，
∴∠AFE＝∠ABC；
又∵∠ADB＝∠AHF，AB＝AF，
∴△ABD≌△AFH（AAS），
∴BD＝FH，
∵AF＝AE，AH⊥EF，
∴EF＝2HF，
∴EF＝2BD；
（2）DM⊥AC，理由如下：
连接BF，取BF的中点M，连接AM，DM并延长交AC于H，
∵AB＝AF，点M为BF的中点，
∴AM⊥BF，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，
∵点B关于直线AC的对称点为E，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠ABC＝∠AFE，
∴∠ABC+∠AFC＝180°，
∴∠BAF+∠BCF＝180°，
∴∠ACB+∠BAM＝90°，
∴∠ACD＝∠ABM，
∵∠AMB＝∠ADB＝90°，
∴四点A、B、D、M共圆，
∴∠ABM＝∠ADM，
∴∠ADM+∠HDC＝90°，
∴∠ACD+∠HDC＝90°，
∴DH⊥AC．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，四边形内角和定理等知识，运用四点共圆证明∠ABM＝∠ADM是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将点M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x＝3对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点A（0，1）．
（1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联点的坐标 （2，3） ；
（2）若点A关于点P的二次关联点与点A重合，求点P的坐标（画出图形、写出结果即可）；
（3）若点A关于点P的二次关联点在直线y＝﹣x+2上，求此时点A的二次关联点的坐标及P点坐标．
【分析】（1）根据题意画出图形，过点A′作A′D⊥x轴于点D，可得△AOP≌△PDA′，可求出点A′的坐标，进而可得点A′′的坐标；
（2）分析可知，当点P在x轴上方时，不存在，则点P在x轴下方，根据题意作出图形，设出点P的纵坐标为m，表达点A′的坐标，可得出结论；
（3）设P（3，m），由（2）可知A′（4﹣m，3+m），根据题意推出A″的纵坐标是（3+m）代入直线解析式得到A″的横坐标，依据关于x＝3对称距离相等列出关于m的方程解答出m的值就可计算点P和A″坐标．
【解答】解：（1）如图1，根据二次关联图形的定义分别找到A′和A′′，过点A′作A′D⊥x轴于点D，
∴∠A′DP＝∠AOP＝90°，
由旋转可知，∠APA′＝90°，AP＝A′P，
∴∠APO+∠A′PD＝∠A′PD+∠PA′D＝90°，
∴∠APO＝∠PA′D，
∴△AOP≌△PDA′（AAS），
∴OA＝PD＝1，OP＝A′D＝3，
∴A′（4，3），
∴A′′（2，3）；
故答案为：（2，3）；
（2）分析可知，点P在x轴的下方，设点P的纵坐标为m，
如图2，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴交EP于点F，
由（1）知△AEP≌△PFA′（AAS），
∴AE＝PF＝1﹣m，EP＝A′F＝3，
∴A′（4﹣m，3+m），
由题意可知，点A与点A′关于直线x＝3对称，
∴4﹣m＝6，3+m＝1，
解得m＝﹣2，
∴P（3，﹣2）；
（3）如图3，设点P的坐标为（3，m），
∴A′的坐标为（4﹣m，3+m）
∵A″和A′关于x＝3对称，
令y＝3+m，代入直线y＝﹣x+2得，
x＝﹣m﹣1，
∴A″的坐标为（﹣m﹣1，3+m），
∵A″和A′关于直线x＝3对称，
∴4﹣m﹣3＝3﹣（﹣m﹣1）
∴m＝﹣，
∴P（3，﹣），点A的二次关联点的坐标A″（，）．
【点评】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．
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