初中数学北师大版（2024）九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第1课时教学设计及反思

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第1课时教学设计及反思，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第1课时
一、教学目标
1．经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式和根的判别式．
2．能用公式法解数字系数的一元二次方程．
3．不解方程，会用一元二次方程的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．
4．推导求根公式、判别方程根的情况的过程中，强化推理技能训练，进一步发展演绎推理能力．
二、教学重点及难点
重点：一元二次方程求根公式的推导及运用．
难点：一元二次方程求根公式的推导过程．
三、教学用具
多媒体课件，计算器。
四、相关资
《一元二次方程求根公式》动画，《公式法解一元二次方程》微课
五、教学过程
【复习引入】
用配方法解下列方程：
（1）6x2-7x+1=0； （2）4x2-3x=52．
答案：（1）x1=，x2=1；（2）x1=，x2=4．
总结用配方法解一元二次方程的一般步骤：（学生总结，老师点评）：
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；
（4）原方程变形为(x+m)2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
设计意图：通过复习引入，让学生回忆用配方法解一元二次方程的一般步骤，为本节课的学习做好铺垫．
【探究新知】
想一想 你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗？
师生活动：教师出示问题，学生尝试用配方法解方程ax2+bx+c=0，教师引导．
解：移项，得ax2+bx=-c．二次项系数化为1，得．
配方，得，即．①
因为a≠0，所以4a2＞0．当b2-4ac≥0时，是一个非负数，此时两边开平方，得x+=±，即，x=．
这就是说，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是：
x=．这个式子称为一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
议一议 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac＜0时，它的根的情况是怎样的？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导．
解：当b2-4ac＜0时，，由①式可知，而x取任何实数都不能使，因此一元二次方程ax2+bx+c=0无解．
设计意图：由学生亲身经历公式的推导过程，他们才能发现问题，汲取教训，总结经验，形成自己的认识．通过对公式的推导，学生理解当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0才有根，才能应用求根公式解一元二次方程．
归纳 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，由求根公式可知：
（1）当b2-4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根x1=，x2=；
（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根
；
（3）当b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根．
这三个结论反过来也是正确的．
我们把式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac．
例1 解方程：（1）x2-7x-18=0；（2）4x2+1=4x．
教师分析：用公式法解一元二次方程时，首先应把一元二次方程化为一般形式，然后代入公式即可．学生完成解题过程．
解：（1）这里a=1，b=-7，c=-18．
∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121＞0，
∴，即x1=9，x2=-2．
（2）将原方程化为一般形式，得4x2-4x+1=0．
这里a=4，b=-4，c=1．∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0，
∴，即．
归纳：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（学生总结，老师点评）：
（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；
（2）求出b2－4ac的值；
（3）当b2-4ac≥0时，把a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式x=，求出x1，x2.
设计意图：通过引导学生分析、探究，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．
【课堂练习】
1．若一元二次方程x2+4x+c=0中，c＜0，则该方程的根的情况是（ ）．
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
2．用公式法解方程x2-6x-6=0，正确的结果是（ ）．
A．x=-3+ B．x=-3-
C．x=-3 D．x=3
3．已知k≠1，一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）．
A．k≠2 B．k＞2
C．k＜2且k≠1 D．k≠1
4．当x=________时，代数式x2-8x+12的值是-4．
师生活动：教师出示问题，找学生代表回答．
5．用公式法解下列方程：
（1）x2+x-6=0；（2）x2-x-=0；（3）x2+4x+8=4x+11．
师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．
参考答案
1．B．2．D．3．D．4．4．
5．解：（1）∵a=1，b=1，c=-6，
∴．
∴．
∴．
（2）∵a=1，b=，c=，
∴．
∴．
∴．
（3）方程化为，
∵a=1，b=0，c=-3，
∴．
∴．
∴．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
本节课我们主要学习了：
1．求根公式
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是：x=．这个式子称为一元二次方程的求根公式．
2．公式法的定义
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
3．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况：
（1）当b2-4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根x1=，x2=；
（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根
；
（3）当b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根．
这三个结论反过来也是正确的．
4．根的判别式
我们把式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac．
注意：在利用一元二次方程解决实际问题时，要检验所得的一元二次方程的解是不是实际问题的解．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
2.3 用公式法求解一元二次方程（1）
1．求根公式
2．公式法的定义
3．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况：
4．根的判别式