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数学九年级上册3 用公式法求解一元二次方程精品第二课时教学设计
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这是一份数学九年级上册3 用公式法求解一元二次方程精品第二课时教学设计，共4页。
第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
教学目标
1.会用公式法解决一元二次方程的实际问题.
2.通过一元二次方程的建模过程，体会方程的根必须符合实际意义，增强应用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法.
3.通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性.
教学重难点
重点：能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
难点：掌握利用面积法建立一元二次方程的数学模型.
教学过程
导入新课
1.用公式法解下列方程：
（1）2x2-3x-1＝0； （2）3x2-7x+2＝0.
2.一元二次方程x2－x－2＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.不能确定
3.一元二次方程x2+2x+a＝0有实根，则a的取值范围是 _______.
4.关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k＞﹣1 B.k＞1 C.k≠0 D.k＞﹣1且k≠0
答案：1.（1）x1＝3+174，x2＝3−174 （2）x1＝13，x2＝2 2.A 3.a≤1 4.D
5.现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决.
在一块长为16 m，宽为12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园占地面积为荒地面积的一半.你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
学生的设计多种多样，这里只选具有代表性的几种.
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）
通过征集设计方案，激发学生的内在动力.
学生先独立思考、独自设计，再合作交流、互相补充，充分发挥学生的主体作用，使教师真正成为学生学习的组织者、促进者、合作者.
探究新知
思考如何具体解决上面问题：
1.如何设未知数？怎样列方程？
2.分组解答图(5)(6)所列的方程.
图(5)的解答：
解：设两个矩形所夹区域的宽为x m，
由题意得(16－2x)(12－2x)＝16×12×12，
整理，得x2－14x＋24＝0，x2－14x＋49＝－24＋49，(x－7)2＝25，
即x1＝12（舍去），x2＝2.
问题：你认为小路的宽为12 m和2 m都符合实际意义吗？
不都符合.
图(6)的解答：
解：设扇形的半径为x m，
由题意得πx2＝16×12×12，πx2＝96，x＝±96π≈±5.5，
即x1≈5.5，x2≈－5.5(舍去).
例1 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料（材料恰好无剩余），当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长.
解：设AB的长为x m，则BC的长为(50－2x)m.
根据题意，得x(50－2x)＝300，
解得x1＝10，x2＝15.
当x＝10时，AD＝BC＝50－2x＝30>25，不合题意，
所以x＝10应该舍去.
当x＝15时，AD＝BC＝50－2x＝20<25，
所以x＝15满足条件.
答：AB的长为15 m.
注意：解决实际问题时，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性.
课堂练习
1.某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )
A.x(x－10)＝900 B. x(x＋10)＝900
C.10(x＋10)＝900 D.2[x＋(x＋10)]＝900
2.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )
A.(x＋1)(x＋2)＝18 B.x2－3x＋16＝0
C.(x－1)(x－2)＝18 D.x2＋3x＋16＝0
3.一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为 .
4.在一幅长50 cm、宽30 cm的风景画的四周镶一条金色边，制成一幅矩形 挂画，如图所示.如果要使整个矩形挂画（包括边）的面积是1 800 cm2，设金色边的宽为x cm，那么x满足的方程为 .
5.如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求小路的宽度.
参考答案
1.B
2.C
3.2 cm,7 cm
4.x2+40x-75＝0
5.解：设小路的宽度为x m,可列方程（40-2x）(26-x)＝144×6，
化简得x2-46x+88＝0，
解得x1＝2,x2＝44(舍去).
答：小路的宽度为2 m.
课堂小结
解决几何图形问题，要注意寻求其中的等量关系转化为一元二次方程问题.
布置作业
课本习题2.6 问题解决 1，2，3 联系拓广 4
板书设计
3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
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1.会用公式法解决一元二次方程的实际问题.
2.通过一元二次方程的建模过程，体会方程的根必须符合实际意义，增强应用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法.
3.通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性.
教学重难点
重点：能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
难点：掌握利用面积法建立一元二次方程的数学模型.
教学过程
导入新课
1.用公式法解下列方程：
（1）2x2-3x-1＝0； （2）3x2-7x+2＝0.
2.一元二次方程x2－x－2＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.不能确定
3.一元二次方程x2+2x+a＝0有实根，则a的取值范围是 _______.
4.关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k＞﹣1 B.k＞1 C.k≠0 D.k＞﹣1且k≠0
答案：1.（1）x1＝3+174，x2＝3−174 （2）x1＝13，x2＝2 2.A 3.a≤1 4.D
5.现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决.
在一块长为16 m，宽为12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园占地面积为荒地面积的一半.你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
学生的设计多种多样，这里只选具有代表性的几种.
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）
通过征集设计方案，激发学生的内在动力.
学生先独立思考、独自设计，再合作交流、互相补充，充分发挥学生的主体作用，使教师真正成为学生学习的组织者、促进者、合作者.
探究新知
思考如何具体解决上面问题：
1.如何设未知数？怎样列方程？
2.分组解答图(5)(6)所列的方程.
图(5)的解答：
解：设两个矩形所夹区域的宽为x m，
由题意得(16－2x)(12－2x)＝16×12×12，
整理，得x2－14x＋24＝0，x2－14x＋49＝－24＋49，(x－7)2＝25，
即x1＝12（舍去），x2＝2.
问题：你认为小路的宽为12 m和2 m都符合实际意义吗？
不都符合.
图(6)的解答：
解：设扇形的半径为x m，
由题意得πx2＝16×12×12，πx2＝96，x＝±96π≈±5.5，
即x1≈5.5，x2≈－5.5(舍去).
例1 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料（材料恰好无剩余），当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长.
解：设AB的长为x m，则BC的长为(50－2x)m.
根据题意，得x(50－2x)＝300，
解得x1＝10，x2＝15.
当x＝10时，AD＝BC＝50－2x＝30>25，不合题意，
所以x＝10应该舍去.
当x＝15时，AD＝BC＝50－2x＝20<25，
所以x＝15满足条件.
答：AB的长为15 m.
注意：解决实际问题时，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性.
课堂练习
1.某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )
A.x(x－10)＝900 B. x(x＋10)＝900
C.10(x＋10)＝900 D.2[x＋(x＋10)]＝900
2.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )
A.(x＋1)(x＋2)＝18 B.x2－3x＋16＝0
C.(x－1)(x－2)＝18 D.x2＋3x＋16＝0
3.一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为 .
4.在一幅长50 cm、宽30 cm的风景画的四周镶一条金色边，制成一幅矩形 挂画，如图所示.如果要使整个矩形挂画（包括边）的面积是1 800 cm2，设金色边的宽为x cm，那么x满足的方程为 .
5.如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求小路的宽度.
参考答案
1.B
2.C
3.2 cm,7 cm
4.x2+40x-75＝0
5.解：设小路的宽度为x m,可列方程（40-2x）(26-x)＝144×6，
化简得x2-46x+88＝0，
解得x1＝2,x2＝44(舍去).
答：小路的宽度为2 m.
课堂小结
解决几何图形问题，要注意寻求其中的等量关系转化为一元二次方程问题.
布置作业
课本习题2.6 问题解决 1，2，3 联系拓广 4
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3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
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