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河南省南阳市邓州市城区第五初级中学 2023-2024学年九年级下学期开学尖子生数学试题（原卷版+解析版）
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一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．
2. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数图象逐个分析即可．
【详解】由函数图象可得：
当时，或；故①错误；
当时，有最小值；故②正确；
点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误；
将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合．
3. 如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质，得出 ，，进而得到，在中，由特殊锐角的三角函数可求即可．
【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形的边角关系是解题的关键．
4. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，
∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
5. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．
6. 如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，，，
∴为的切线，
由题意，为的切线，
∴，，
∵，
∴设，，，
则，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
7. 已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为
联立
解得：或
∴，
由，则，对称轴为直线，
设，则点在上，
∵且，
∴点在点的左侧，即，，
当时，
对于，当，，此时，
∴，
∴
∵对称轴为直线，则，
∴的取值范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．
8. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长．
【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．
9. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则
∴
∴
∵,
∴
∴
解得：
∵点在上，
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，
即
又反比例函数在第一象限内的图象交于点
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. “神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知，，则圆心角所对的弧长约为_____km（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】设，由是的切线，可得，由此构建方程求出r,再利用弧长公式求解．
【详解】解：设，
由题意，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解．
12. 如图，在中，，将绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么的正切值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正切函数的定义，旋转的性质和勾股定理．作于点，利用旋转的性质以及面积法和勾股定理求得，，解得，再利用由旋转的性质求得，据此求解即可．
【详解】解：作于点，
∵，
∴，
由旋转的性质得，，，，
由题意得，
解得，
∴，
∵，
解得，
∴，
由旋转的性质得，，则，
∴的正切值，
故答案为：．
13. 如图，在中，，点D是的中点，将沿折叠得到，连接．若于点F，，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】取中点，连接，取中点，连接，作于点．设，由折叠可知则，得到，从而推导出，由三角形中位线定理得到，从而推导出，得到四边形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．
【详解】解：取中点，连接，取中点，连接，作于点．
∵，为的中点，
∴，，．
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，则于点，
设，，由折叠可知则，
∵，
∴，，
又由折叠得，，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
∴，
∵是的中位线，
∴，，
∴，
由折叠知，，
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
在 中，，
∴，
解得：，
∴，，即，，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
14. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．
【答案】2或
【解析】
【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可．
【详解】解：当时，
∵四边形矩形，
∴，则，
由平行线分线段成比例可得：，
又∵M为对角线的中点，
∴，
∴，
即：，
∴，
当时，
∵M为对角线的中点，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵四边形矩形，
∴，则，
∴
∴，
综上，的长为2或，
故答案为：2或．
【点睛】本题考查矩形性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．
15. 如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是______．（只填写序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【详解】解：由图象可得，，，又，
．
．
①正确．
由题意，令，
．
又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2，
的两根之和为，两根之积为．
，．
．
又，
．
．
②错误，③正确．
，，
．
④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；
（2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可．
【小问1详解】
解：把点，代入得：，
解得：，
∴该函数的解析式为，
由题意知点C的纵坐标为4，
当时，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知：当时，，
因为当时，函数的值大于函数的值且小于4，
所以如图所示，当过点时满足题意，
代入得：，
解得：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．
17. 如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论；
（2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，过点作于点，
，是的中点，
为的平分线，
与相切于点，是的直径，
为的半径，
，
又，
，
即为的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：过点作于点，
点为的圆心，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，是的中点，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．
18. 如图，是菱形的对角线．
（1）尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接，；
①求证：；
②若，求的值．
【答案】（1）作法、证明见解答；
（2）①证明见解答；②的值是．
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质可知，将绕点逆时针旋转得到，也就是以为一边在菱形外作一个三角形与全等，第三个顶点的作法是：以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点；
（2）①由旋转得，，，则，，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明；
②延长交于点，可证明，得，而，所以，由等腰三角形的“三线合一”得，则，设，，则，所以，，由勾股定理得，求得，则．
【小问1详解】
解：如图1，就是所求的图形．
．
【小问2详解】
证明：①如图2，由旋转得，，，
，，
，
．
②如图2，延长交于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
解关于的方程得，
，
，
的值是．
【点睛】此题重点考查尺规作图、旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
19. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．
【小问1详解】
解：∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
【小问2详解】
解：∵当，，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
20. 在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
（2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；
（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中点；
【小问2详解】
；
证明：如图2，延长到H使，连接，，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
21. 某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．
（1）求，的值；
（2）设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．
当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2），；．
【解析】
【分析】（）用待定系数法求出，的值即可；
（）当，根据利润(售价成本)设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值；
当时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．
【小问1详解】
把时，；时，代入得：
，解得：，；
【小问2详解】
设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，，
∴，
，
，
∵，，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；
当时，，
∴，
∴，
则与的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，
∴当，时，，
当，时，，
∴的取值范围．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
22. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得和，结合对称轴利用待定系数法即可求得解析式，
（2）根据题意得点的纵坐标为，即可求得点R的横坐标，结合题意得的横坐标，则有点的横坐标，即可求得；
（3）利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意设直线的解析式为，联立方程组得，由于抛物线与直线相切，则有，解得m，即可求得．
【小问1详解】
解：抛物线的顶点坐标为0,4，且经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，解得，
抛物线的函数解析式为：；
【小问2详解】
∵，
∴点的纵坐标为，
将代入得，
解得，（舍），
的横坐标为1，
四边形正方形，
的横坐标为，
点的横坐标为，
；
【小问3详解】
如图，取最右侧光线与抛物线切点为，
设直线的解析式为，将点及点代入，
得，
解得，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
由得，即，
抛物线与直线相切，
该方程有两个相等的实数根，
，
解得，
直线的解析式为：，
令直线中得，
即，
．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、正方形的性质、解一元二次方程以及一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练二次函数的性质和点的几何意义．
23. 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．
问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：
（3）将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论．
（2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明．
（3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出．
【小问1详解】
延长过点F作，
∵，
，
∴，
在和中
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：在上截取，使，连接．
，
，
．
，
．
．
，
．
．
【小问3详解】
解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，
．
在中，
，
．
，由（2）知，．
．
，
，
，
在上截取，使，连接，作于点O．
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
．
【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．
2. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数图象逐个分析即可．
【详解】由函数图象可得：
当时，或；故①错误；
当时，有最小值；故②正确；
点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误；
将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合．
3. 如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质，得出 ，，进而得到，在中，由特殊锐角的三角函数可求即可．
【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形的边角关系是解题的关键．
4. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，
∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
5. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．
6. 如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，，，
∴为的切线，
由题意，为的切线，
∴，，
∵，
∴设，，，
则，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
7. 已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为
联立
解得：或
∴，
由，则，对称轴为直线，
设，则点在上，
∵且，
∴点在点的左侧，即，，
当时，
对于，当，，此时，
∴，
∴
∵对称轴为直线，则，
∴的取值范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．
8. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长．
【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．
9. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则
∴
∴
∵,
∴
∴
解得：
∵点在上，
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，
即
又反比例函数在第一象限内的图象交于点
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. “神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知，，则圆心角所对的弧长约为_____km（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】设，由是的切线，可得，由此构建方程求出r,再利用弧长公式求解．
【详解】解：设，
由题意，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解．
12. 如图，在中，，将绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么的正切值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正切函数的定义，旋转的性质和勾股定理．作于点，利用旋转的性质以及面积法和勾股定理求得，，解得，再利用由旋转的性质求得，据此求解即可．
【详解】解：作于点，
∵，
∴，
由旋转的性质得，，，，
由题意得，
解得，
∴，
∵，
解得，
∴，
由旋转的性质得，，则，
∴的正切值，
故答案为：．
13. 如图，在中，，点D是的中点，将沿折叠得到，连接．若于点F，，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】取中点，连接，取中点，连接，作于点．设，由折叠可知则，得到，从而推导出，由三角形中位线定理得到，从而推导出，得到四边形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．
【详解】解：取中点，连接，取中点，连接，作于点．
∵，为的中点，
∴，，．
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，则于点，
设，，由折叠可知则，
∵，
∴，，
又由折叠得，，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
∴，
∵是的中位线，
∴，，
∴，
由折叠知，，
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
在 中，，
∴，
解得：，
∴，，即，，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
14. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．
【答案】2或
【解析】
【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可．
【详解】解：当时，
∵四边形矩形，
∴，则，
由平行线分线段成比例可得：，
又∵M为对角线的中点，
∴，
∴，
即：，
∴，
当时，
∵M为对角线的中点，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵四边形矩形，
∴，则，
∴
∴，
综上，的长为2或，
故答案为：2或．
【点睛】本题考查矩形性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．
15. 如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是______．（只填写序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【详解】解：由图象可得，，，又，
．
．
①正确．
由题意，令，
．
又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2，
的两根之和为，两根之积为．
，．
．
又，
．
．
②错误，③正确．
，，
．
④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；
（2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可．
【小问1详解】
解：把点，代入得：，
解得：，
∴该函数的解析式为，
由题意知点C的纵坐标为4，
当时，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知：当时，，
因为当时，函数的值大于函数的值且小于4，
所以如图所示，当过点时满足题意，
代入得：，
解得：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．
17. 如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论；
（2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，过点作于点，
，是的中点，
为的平分线，
与相切于点，是的直径，
为的半径，
，
又，
，
即为的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：过点作于点，
点为的圆心，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，是的中点，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．
18. 如图，是菱形的对角线．
（1）尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接，；
①求证：；
②若，求的值．
【答案】（1）作法、证明见解答；
（2）①证明见解答；②的值是．
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质可知，将绕点逆时针旋转得到，也就是以为一边在菱形外作一个三角形与全等，第三个顶点的作法是：以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点；
（2）①由旋转得，，，则，，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明；
②延长交于点，可证明，得，而，所以，由等腰三角形的“三线合一”得，则，设，，则，所以，，由勾股定理得，求得，则．
【小问1详解】
解：如图1，就是所求的图形．
．
【小问2详解】
证明：①如图2，由旋转得，，，
，，
，
．
②如图2，延长交于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
解关于的方程得，
，
，
的值是．
【点睛】此题重点考查尺规作图、旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
19. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．
【小问1详解】
解：∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
【小问2详解】
解：∵当，，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
20. 在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
（2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；
（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中点；
【小问2详解】
；
证明：如图2，延长到H使，连接，，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
21. 某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．
（1）求，的值；
（2）设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．
当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2），；．
【解析】
【分析】（）用待定系数法求出，的值即可；
（）当，根据利润(售价成本)设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值；
当时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．
【小问1详解】
把时，；时，代入得：
，解得：，；
【小问2详解】
设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，，
∴，
，
，
∵，，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；
当时，，
∴，
∴，
则与的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，
∴当，时，，
当，时，，
∴的取值范围．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
22. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得和，结合对称轴利用待定系数法即可求得解析式，
（2）根据题意得点的纵坐标为，即可求得点R的横坐标，结合题意得的横坐标，则有点的横坐标，即可求得；
（3）利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意设直线的解析式为，联立方程组得，由于抛物线与直线相切，则有，解得m，即可求得．
【小问1详解】
解：抛物线的顶点坐标为0,4，且经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，解得，
抛物线的函数解析式为：；
【小问2详解】
∵，
∴点的纵坐标为，
将代入得，
解得，（舍），
的横坐标为1，
四边形正方形，
的横坐标为，
点的横坐标为，
；
【小问3详解】
如图，取最右侧光线与抛物线切点为，
设直线的解析式为，将点及点代入，
得，
解得，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
由得，即，
抛物线与直线相切，
该方程有两个相等的实数根，
，
解得，
直线的解析式为：，
令直线中得，
即，
．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、正方形的性质、解一元二次方程以及一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练二次函数的性质和点的几何意义．
23. 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．
问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：
（3）将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论．
（2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明．
（3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出．
【小问1详解】
延长过点F作，
∵，
，
∴，
在和中
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：在上截取，使，连接．
，
，
．
，
．
．
，
．
．
【小问3详解】
解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，
．
在中，
，
．
，由（2）知，．
．
，
，
，
在上截取，使，连接，作于点O．
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
．
【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．
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