河南省南阳市南召县2023-2024学年八年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 实数的立方根是（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．
根据立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴实数的立方根是，
故选：B．
2. 计算（－2a2）3的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意直接根据积的乘方的运算性质：每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n=anbn（n是正整数），进行计算求解即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的运算性质，注意：①因式是三个或三个以上的积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义计算出最后的结果．能根据积的乘方的性质准确计算是做出本题的关键．
3. 如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是( )
A. 只带①去B. 带②③去C. 只带④去D. 带①③去
【答案】C
【解析】
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的，故不符合题意；
第②③块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的，故不符合题意；
第④块不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了一边，则可根据来配一块与原来一样的玻璃，故符合题意；
第①③块保留了原三角形的部分和一角，根据这两块不能配一块与原来完全一样的，故不符合题意.
故选：．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
4. 已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是（ ）
A. 16B. 20C. 16或20D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】分4为腰和8为腰两种情况进行计算，注意满足三角形三边关系．
【详解】解：当三角形的三边分别为4、4、8时，4+4=8，不符合三角形三边关系，舍去；
当三角形三边分别为4、8、8时，周长为4+8+8=20，
故选择B．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，注意分类讨论思想的应用．
5. 如图，点在数轴上表示的数是（ ）

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出的长，即可求出点A所表示的数．
【详解】解：如图所示，

，
由图可知，
所以点A到原点的距离为，
故点A所表示的数是．
故选：A
【点睛】本题考查勾股定理以及在数轴上表示无理数的方法，掌握解答的方法是关键．
6. 如图是某手机店今年1﹣5月份音乐手机销售额统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月音乐手机销售额变化最大的是
A. 1月至2月B. 2月至3月C. 3月至4月D. 4月至5月
【答案】C
【解析】
【分析】根据折线图的数据，分别求出相邻两个月的音乐手机销售额的变化值，比较即可得解：
【详解】解：1月至2月，30﹣23=7万元，
2月至3月，30﹣25=5万元，
3月至4月，25﹣15=10万元，
4月至5月，19﹣14=5万元，
所以，相邻两个月中，用电量变化最大的是3月至4月．
故选C．
7. 若x2﹣mx+4是完全平方式，则m的值为（ ）
A. 2B. 4C. ±2D. ±4
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方式的结构特征可知，一次项-mx=±2×x×2，求得m的值．
【详解】解：∵x2-mx+4是完全平方式，
∴-mx=±2×x×2，
∴-m=±4，
即m=±4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的结构特点．完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．
8. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方差公式解题．
【详解】
故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式的灵活应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9. 如图所示，等腰直角三角形中，，，E是上一点，连接，过点D作交于点C，过点A作交于点B，，，则的长度为（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握全等三角形判定和性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
先证明，得到，，即可求得，即可得到答案．
【详解】，，，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
故选：B．
10. 如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值为（ ）
A. 12B. 11C. 10D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题此题考查了轴对称的最短路线问题，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，利用数形结合的思想是解题关键．
【详解】如图所示，连接，
的垂直平分线分别交，于点E，F，
，
的周长，
当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，
的周长的最小值为，
，，
的周长的最小值为：，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若，则_________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法进行解答即可
【详解】解：∵
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键．
12. 若，则代数式的值为____________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，先把原式变形为，再把整体代入得到，即，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：1．
13. 如图，在中，，垂直平分分别交、于D、E两点，若，，则的长为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，作出合理的辅助线，灵活运用垂直平分线的性质是解答本题的关键．
连接，根据线段垂直平分线的性质求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】连接，
垂直平分，，
，
在中，，
，
故答案为：4
14. 已知a，b，c是三角形的三边长，且满足，则这个三角形的周长为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用完全平方公式分解因式以及非负数的性质，熟练根据完全平方公式对原式进行变形是解题关键．根据一次项的系数将原式中常数项50拆分，分别与二次项构成完全平方式，从而分别配成完全平方，结合非负性分别求解即可．
【详解】解：
即：
．
∴这个三角形的周长为；
故答案为12
15. 如图，等边的边长为12cm，M，N两点分别从点AB同时出发，沿的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间__________s时，为等腰三角形．
【答案】4或16
【解析】
【分析】注意分类讨论，如图1所示，由题意可知AN=AM，列方程求解即可．如图2所示，首先假设为等腰三角形，可以证明出，可得CM=BN，根据题意列出方程求解即可．
【详解】如图1所示，设点M、N运动x秒后，AN=AM，由题意可知，
AN=12-2x，AM=x，
∴12-2x=x，
解得x=4，
∴点M、N运动4秒后，是等腰三角形；
如图2所示，假设是等腰三角形，
∴AN=AM，AMN=ANM
∴AMC=ANB
④C=B= ，AC=AB
∴（AAS），
∴CM=BN
设点M、N运动y秒后，AN=AM，由题意可知，
∴CM=y-12，NB=36-2y，
∵CM=BN，
∴y-12=36-2y，
解得y=16，故假设成立，
∴当点M、N运动4秒或16秒时，为等腰三角形．
故答案为：4或16．
【点睛】本题主要考查了等边三角形及等腰三角形性质及判断．注意分类讨论、根据题意理清楚线段之间的数量关系并列出方程求解是解答本题的关键．
三、解答题（共75分）
16. 分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解．
（1）先提公因式后，运用完全平方公式进行分解；
（2）先提公因式后，运用平方差公式进行分解．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
17. 先化简，再求值：其中，．
【答案】，2024
【解析】
【分析】本题考查的是整式的化简求值，解题的关键是注意公式的使用，以及合并同类项．
先根据完全平方公式、平方差公式展开，再合并，然后计算除法，最后把m，n的值代入计算即可．
【详解】
，
，
，
当，时，
原式．
18. 某校为了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）回收的问卷数为 份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为 ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共1200名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？
【答案】（1）120；
（2）补全统计图见解析
（3）1100人
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用和利用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；
（1）用“从来不管”的问卷数除以其所占百分比求出回收的问卷总数；用“严加干涉”部分的问卷数除以问卷总数得出百分比，再乘以即可；
（2）用问卷总数减去其他两个部分的问卷数，得到“稍加询问”的问卷数，进而补全条形统计图；
（3）用“稍加询问”和“从来不管”两部分所占的百分比的和乘以1200即可得到结果．
【小问1详解】
回收的问卷数为：（份），
“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为：．
故答案为：120；
【小问2详解】
“稍加询问”部分的问卷数为：（份），
补全条形统计图，如图所示：
【小问3详解】
根据题意得：
（人），
则估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有1100人．
19. 尺规作图：请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由点P到点M和点N的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，由点P到两边的距离相等，可知点P在的平分线上，即点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点，如图作垂线与角平分线即可．
【详解】解：如图：点P即为所求．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，垂直平分线的应用，作垂线，作角平分线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20. 如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．

【答案】风筝距离地面的高度AB为12米．
【解析】
【分析】设，从而可得，再利用勾股定理即可得．
【详解】由题意得：是直角三角形，，米
设，则
在中，由勾股定理得：，即
解得（米）
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，理解题意，得出AB与AC的关系是解题关键．
21. 观察下列式子：
；
；
；
（1）上面整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方式的推导过程，请你写出一个新的乘法公式（用含、的字母表示）不用证明；
（2）直接用你发现的公式写出计算结果：
______；
（3）分解因式：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）直接利用（1）中得出的公式，进行计算即可；
（3）利用（1）中总结的公式，将变成，再利用提公因式法和公式法即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：根据题意得：
故答案为：；
【小问3详解】
解：由（1）得：，
．
【点睛】本题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，综合提公因式和公式法分解因式，理解题意，总结规律，利用规律进行解答是解题的关键．
22. 教材呈现：如下表是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
（一）请根据教材中的分析，结合图形，写出角的平分线的性质定理完整的证明过程．
（二）定理应用：
（1）如图所示，已知的周长是10，、分别平分和，于D，且，则的面积是 ．

（2）如图，四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：．
【答案】（一）定理证明：见解析
（二）定理应用：（1）5
（2）证明见解析
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键；
（一）定理证明：利用判定可得；
（二）定理应用：（1）过O作与E，利用角平分线的性质可得，，然后再利用面积的计算方法可得答案；
（2）证明见解析定理应用∶过点E作于G，于F，于H，根据角平分线的性质定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】定理证明：证明：是的角平分线，
，
，，
在和中
，
，
；
定理应用：
（1）过O作与E，
，
、分别平分和，
，，
，
，
的周长是10，
，
的面积是，
，
，
故答案为：5；
（2）过点E作于G，于F，于H，
，
，，，
平分，平分，
，，
在和中
，
23. 数学课上，王老师出示了如下框中的题目：
如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，试判断线段与的大小关系，并说明理由．小明与学习小组成员交流后，进行了如下解答：
（一）特殊情况， 探索结论
（1）在等边三角形中，当E为的中点时，点D在边的延长线上，且，如图1，请你直接写出线段与的大小关系． ．
（二）特例启发， 解答题目
（2）王老师给出的题目中，与的大小关系是 ．
理由如下：
如图2，过点E作， 交于点F， (请你完成以下解答过程)．
（三）拓展结论， 设计新题
（3）在中，，点E在的延长线上，，点D在的延长线上，，如图3，则的长是 ．
【答案】（1），
（2），理由见解析
（3）3，
【解析】
【分析】本题综合考查了等边及等腰三角形的性质及判定，同时涉及全等三角形的证明，添加辅助线，综合利用等腰及等边三角形的性质证全等是解题关键；
（1）当E为中点时，根据等腰三角形三线合一先得是角平分线，则，证明，所以，由中点定义可得进而得到
（2）过E作，证明，可得，再证明是等边三角形，可得到，进而得出；
（3）过E作交延长线于点F，在证，是等边三角形，得，即可得出结论；
【详解】（1），
是等边三角形，
，
E为的中点，
，是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
过点E作，交于点F．
为等边三角形，且
，
，
，
，
，
在与中，
，
，

为等边三角形，
，
故答案为∶．
（3）3，
过E作交延长线于点F，
是等边三角形，
，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
即 ，
故答案为：3
3．角平分线：
回忆：
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如左图，是的角平分线，P是上的任意一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合，由此即有：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图，是平分线，点P是上的任意一点，，，垂直分别为点D和点E．
求证：．
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．