河南省信阳市罗山县实验中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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命题人：陈平平
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列四个图形中，是中心对称图形的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称，熟知定义是解本题的关键．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【详解】解：从左到右，第二、第三、第四个图形是中心对称图形，第一个图形不是中心对称图形．故中心对称图形有3个．
故选：B．
2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 车辆到达路口，遇到绿灯B. 任意画一个五边形，其外角和是
C. 在标准大气压下，水的温度达到时水沸腾D. 图形在旋转过程中面积不变
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．“必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐一分析即可．
【详解】解：A、车辆到达路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项正确；
B、任意画一个五边形，其外角和是，是必然事件，故本选项错误；
C、通常加热到时，水沸腾是不可能事件，故本选项错误；
D、图形在旋转过程中面积不变，是必然事件，故本选项错误；
故选：A．
3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案．
【详解】解：关于的一元二次方程，
，
方程有两个实数根，
，
解得，
的取值范围是且，
故选：D．
4. 将分别标有“美”、“丽”、“中”、“国”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，先将小球搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再搅拌均匀，随机又摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“中国”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法求概率，画出树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“中国”的结果有2种，再由概率公式求解即可，熟练掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“中国”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字组成“中国”的概率为，
故选：B．
5. 如图，是两条切线，切点分别是A，B，已知，，则所对的弧长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质定理以及弧长的求解，由切线的性质推出，求出，由弧长公式即可得到的长．
【详解】解：∵是两条切线，切点分别是A，B，
∴半径，半径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的长，
故选：D．
6. 如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
根据旋转得到，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，再根据三角形的外角定理即可求出．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∴，
，
，
．
故选：C．
7. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A. 1或5B. 1或3C. 3或5D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可．
【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（﹣2，0），所以平移的距离为-2-（-3）=1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（2，0），所以平移的距离为2-（-3）=5．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论．
8. 点A()、B()、C()是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意确定反比例函数图象所在象限，并确定每个象限内图象的增减性，再利用，判断出每个点所在象限，进而得出结论．
【详解】反比例函数，
函数图象在二、四象限，并且在每个象限内随的增大而增大，
，
、两点在第四象限，在第二象限，
，，
．
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数图象的增减性，能够准确判断反比例函数图象所在象限，并且在每个象限内的增减性是解决本题的关键．
9. 如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°．将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】图①中，∠B＝∠B，∠A＝∠BDE＝76°，所以△BDE和△ABC相似；
图②中，∠B＝∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似；
图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
综上分析可知，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，能熟记有两个角对应相等的两三角形相似是解此题的关键．
10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④若，，则，其中正确的有（ ）

A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据对称轴为直线，抛物线开口向下，当时取得最大值，即可判断①③，根据时，，即可判断②，根据对称性即可判断④．
【详解】∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，所以①正确；
∵时，
即
∴，故②不正确；
抛物线对称轴为直线x=1，开口向下，
∴函数的最大值为，
∴（m为任意实数），即，故③不正确；
∵，，对称轴为直线，则，
故④正确，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标．根据点关于原点对称的点的坐标为，求出a、b，进而可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
12. 若函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为__________．
【答案】0或-1
【解析】
【分析】分类讨论，当时，原方程为一次函数，与轴有一个交点；当，判别式为0.
【详解】∵函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点
当，
即 ，此时；
当，原函数为y＝﹣2x+1与轴有一个交点，此时.
故答案为：0或-1.
【点睛】根据函数图像与轴有一个交点，二次项含参数进行分类讨论.
13. 如图，矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，，反比例函数的图象同时经过点A与点C，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y轴平行，，，可得A、C坐标，根据反比例函数图象过点A、C，可得关于m的方程，即可求出m的值，进而可求出k值．正确表示出点A、C的坐标是解决问题的关键．
【详解】解：∵矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，，
∴，，
∵反比例函数图象同时经过点A与点C，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线（如图），点A在平移后的抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为_____．

【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，矩形的性质，根据平移的规律得到平移后的函数解析式，再根据矩形的性质得，由于的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，从而得到的最小值．
【详解】∵，
∴将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵四边形为矩形，
∴，
而轴，
∴的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为8，
∴对角线的最小值为8．
故答案为：8．
15. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解．
【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图
是OB的中点
, OA＝2，
＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移，
阴影部分的面积为
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16. （1）计算
（2）解方程：
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算和一元二次方程的求解，熟练掌握各运算法则和一元二次方程的解法是解答的关键．
（）先根据负整数指数幂、特殊角的三角函数和二次根式的性质化简各项，再进行加减运算即可；
（）根据解一元二次方程解法解答即可．
【详解】（1）解：
，
，
；
（2）解：
，，，
∴，
∴，
∴，．
17. 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都隆重开幕．某中学组织学生观看7月30日的比赛项目，某班数学兴趣小组为了解本班同学当日最期待观看的比赛项目，设计了一份调查问卷，要求每人只选一种最喜欢的比赛项目．将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）该班共调查了__________人；在扇形统计图中，表示“水球”的扇形圆心角的度数为________；
（2）将条形统计图补充完整．若该中学共有1800人，请估计该中学学生最期待观看“射击”比赛项目的学生人数；
（3）在观看比赛项目当天，张强，王东都想从“武术”，“射击”，“柔道”三种比赛项目中选一种项目进行观看，请用画树状图或列表格方法，求出两人恰好选择同一种比赛项目的概率．
【答案】（1）60，
（2）图见解析；估计该中学学生最期待观看“射击”比赛项目的学生人数为300人；
（3）两人恰好选择同一种比赛项目的概率．
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．也考查了统计图．
（1）用最喜欢武术的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用乘以喜欢水球的人数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示“水球”的扇形圆心角的度数；
（2）先求得观看“射箭”和“柔道”比赛项目的学生人数，即可将条形统计图补充完整；再用1800乘以样本中最喜欢射击的人数所占的百分比即可；
（3）先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两人恰好抽到同一比赛项目的结果数，然后根据概率公式计算．
【小问1详解】
解：（人），
所以该班共调查了60人；
在扇形统计图中，表示“水球”的扇形圆心角的度数为；
故答案为：60，；
小问2详解】
解：观看“射箭”比赛项目的学生人数（人），
观看“柔道”比赛项目的学生人数（人），
补全图形如图：
（人），
所以估计该中学学生最期待观看“射击”比赛项目的学生人数为300人；
【小问3详解】
解：画树状图为：（用、、分别表示“武术”，“射击”，“柔道”三种比赛项目）
共有9种等可能的结果，两人恰好选择同一种比赛项目的结果数为3种，
所以两人恰好选择同一种比赛项目的概率．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集：
（3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可反比例函数的解析式；
（2）求出点的坐标，根据图象求解即可；
（3）根据图象求出，再根据求出，即可求出．
【小问1详解】
解：把点代入直线得：，
直线，
即一次函数的解析式为，
把点代入，得
，
即反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：把点代入，得，
∴，
∵，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：把代入得：，
即点的坐标为：，
，
，
，
，
当点的纵坐标为3时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．

（1）将先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形，画出图形，并直接写出的坐标 ；
（2）画出绕点O按顺时针旋转90°后图形，并直接写出的坐标 ；
（3）若可以看作是由绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图一旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图，即可得出答案；
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案；
（3）连接，分别作线段的垂直平分线，交于点，则点即为旋转中心，即可得出答案．
【小问1详解】
如图，即为所求，点的坐标为，

故答案为：；
【小问2详解】
如图，即为所求.点的坐标为，
故答案为:；
【小问3详解】
如图, 连接，分别作线段的垂直平分线，交于点，则可以看作是由绕点逆时针旋转90°得到的，
∵点的坐标为，
∴旋转中心的坐标为，
故答案为：．
20. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】17.4m
【解析】
【分析】先设出佛像的高度为x，再求出AD=BD，最后利用三角函数关系式得到关于x的分式方程，解分式方程并检验即可．
【详解】解：设佛像的高度为xm，
∵∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD=x，
∵佛像头部为，
∴CD=x-4，
∵∠DAC=37.5°，
∴tan∠DAC= = ≈0.77，
解得：x≈17.4，
经检验，该方程有意义，且符合题意，
因此x≈17.4是该方程的解，
∴佛像的高度约为17.4m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到了锐角三角函数、等角对等边、解分式方程等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能根据题意得到相等关系等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
21. 如图，是的直径，点是上一点，连接，，点在的延长线上，，，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为．
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，掌握切线的判定方法和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
（1）连接，由为直径， ，由，得出，得出，由，得出，得出，由为半径，得出是的切线；
（2）连接，由，设，，则，由，，得出，得出，由，得出，得出，据此即可求解．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：如图2，连接，
，
设，，则，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，即的半径为．
22. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：；任务2：喷水口升高的最小值为米；任务3：建议花卉的种植宽度为米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式．
任务1：依据题意，用待定系数法求得抛物线的:函数表达式；
任务2：依据题意，由喷泉池的半径为米，令，则，从而可以求出喷水口升高的最小值；
任务3:：依据题意，当向上平移个单位，再令，，求出x的值，再减去即可判断得解．
【详解】解：任务1：由题意得，，顶点为，
可设抛物线的函数表达式为，
抛物线过，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
任务2：由题意，喷泉池的半径为米，
令，则，
喷水口升高的最小值为米；
任务3：当向上平移个单位，
则，
令，，
解得：，（舍去），
米，
建议花卉的种植宽度为米．
23. （1）在中，，，，点，分别在，边上，且，，设，所在直线的夹角为．
填空：________，______．
拓展探究
（2）将绕点逆时针旋转，连接，，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情形给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，绕点逆时针旋转的过程中，当，，三点共线时，请直接写出点到的距离．
【答案】（1），2；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）满足条件的的值为或．
【解析】
【分析】（1）解直角三角形求出，的值即可；
（2）如图2中，结论仍然成立．利用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）分两种情形分别画出图形，利用三角函数的定义求解即可．
【详解】解：（1）如图1中，
在中，，，
，
，
∴，
∴，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：，2；
（2）如图2中，结论仍然成立．
理由：，
，
，
，
，
；
（3）①如图中，作于，交的延长线于．
在中，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
；
②如图中，由，
可得：，
，
综上所述．满足条件的的值为或．
【点睛】本题考查几何变换综合题，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
素材1
一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）．
图1
素材2
从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米．
图2
问题解决
任务1
建立模型
以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．
任务2
利用模型
为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值．
任务3
分析计算
喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．