河南省南阳市邓州市城区重点中学2023-2024学年下学期九年级开学尖子生数学试卷（含答案）

这是一份河南省南阳市邓州市城区重点中学2023-2024学年下学期九年级开学尖子生数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了如图，有一张矩形纸片ABCD，定义，已知点A等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，每小题３分，共３０分）
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（ ）
A． B． C．πD．
2．如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE＝1，则MN＝（ ）
A． B．1 C．D．2
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
A．∠BCE＝36° B．BC＝AE
C． D．
5．定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相
切，切点为E，若，则sinC的值是（ ）
A． B． C．D．
7．已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（ ）
A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6
C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1
8．如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A．6B．3C．D．
9．如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c；②a+b＞； ③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③D．①②③
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0），，则k的值是（ ）
A． B． C．D．
二．填空题（共5小题，每小题３分，共１５分）
11．“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cs20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为 km（结果保留π）．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B旋转到△DBE的位置，其中点D与点A对应，点E与点C对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么∠CBE的正切值是 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE．若DE⊥AB于点F，BC＝10，则AF的长为 ．
14．矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正确的是 .（只填写序号）
三．解答题（共8小题，满分７５分）
16．（９分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．
17．（９分）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，GH＝3，求的长l．
18．（９分）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．
①求证：△ABD～△ACE；
②若tan∠BAC＝，求cs∠DCE的值．
19．（９分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
20．（９分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．
21．（１０分）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．
（1）求m，n的值；
（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．
①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．
22．（１０分）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．
23．（１０分）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题３分，共３０分）
1．C 2．C 3．C 4．C 5．C 6．B 7． 8．A 9．D 10．C．
二．填空题（共5小题）
11．π 12． 13． 2 14．2或1+ 15．①③．
三．解答题（共8小题）
16．（９分）解：（1）把点A（0，1），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）得：b＝1，k+b＝2，
解得：k＝1，b＝1，
∴该函数的解析式为y＝x+1，
由题意知点C的纵坐标为4，
当y＝x+1＝4时，
解得：x＝3，
∴C（3，4）；
（2）由（1）知：当x＝3时，y＝x+1＝4，
因为当x＜3时，函数y＝x+n的值大于函数y＝x+1的值且小于4，
所以当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，
代入（3，4）得：4＝×3+n，
解得：n＝2．
17．（９分）（1）证明：连接OA，过点O作OM⊥AC于点M，如图：

∵AB＝AC，点O是BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵⊙O与AB相切于点D，DG是⊙O的直径，
∴OD为⊙O的半径，
∴OD⊥AB，
又OM⊥AC，
∴OM＝OD，
即OM为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过点E作EN⊥AB于点N，如图：
∵点O为⊙O的圆心，
∴OD＝OG，OE＝OF，
在△ODE和△OGF中，
，
∴△ODE≌△OGF（SAS），
∴DE＝GF，
∵DE＝2，GH＝3，
∴GF＝2，
∴FH＝GH﹣GF＝3﹣2＝1，
∵AB＝AC，点O是BC的中点，
∴OB＝OC，∠B＝∠C，
又OE＝OF，
∴BE＝CF，
∵GH⊥AC，EN⊥AB，
∴∠BNE＝∠CHF＝90°，
在△BNE和△CHF中，
，
∴△BNE≌△CHF（AAS），
∴EN＝FH＝1，
在Rt△DEN中，DE＝2，EN＝1，
∴sin∠EDN＝＝，
∴锐角∠EDN＝30°，
由（1）可知：OD⊥AB，
∴∠ODE＝90°﹣∠EDN＝90°﹣30°＝60°，
又OD＝OE，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠DOE＝60°，OD＝OE＝DE＝2，
∴的长l＝．
18．（９分）解：（1）如图1，作法：1．以点D为圆心，BC长为半径作弧，
2．以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E，
3．连接DE、AE，
△ADE就是所求的图形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵DE＝BC，AE＝AC，
∴△ADE≌△ABC（SSS），
∴△ADE就是△ABC绕点A逆时针旋转得到图形．
（2）①如图2，由旋转得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴＝，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
②如图2，延长AD交CE于点F，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AE＝AC，
∴AD⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
设CF＝m，CD＝AD＝x，
∵＝tan∠DAC＝tan∠BAC＝，
∴AF＝3CF＝3m，
∴DF＝3m﹣x，
∵CF2+DF2＝CD2，
∴m2+（3m﹣x）2＝x2，
∴解关于x的方程得x＝m，
∴CD＝m，
∴cs∠DCE＝＝＝，
∴cs∠DCE的值是．
19．（９分）解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，
∴a+b+c＝4a+2b+c，
∴3a+b＝0，
∴＝﹣3．
∵对称轴为x＝﹣＝，
∴t＝．
（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，a＞0，
∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，
∴＞t，
即t≤．
20．（９分）（1）证明：由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2α，
∵∠C＝α，
∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝α，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴DM＝DC，即D是MC的中点；
（2）∠AEF＝90°，
证明：如图，延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，
∵DF＝DC，
∴DE是△FCH的中位线，
∴DE∥CH，CH＝2DE，
由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2α，
∴∠FCH＝2α，
∵∠B＝∠C＝α，
∴∠ACH＝α，△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠ACH，AB＝AC
设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，CM＝m+n，
.DF＝CD＝n，
∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM＝m+n，
∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，
∴CH＝BF，
在△ABF和△ACH中，
，
∴△ABF≌△ACH（SAS），
∴AF＝AH，
∵FE＝EH，
∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，
21．（１０分）解：（1）把x＝16时，z＝14；x＝20时，z＝13代入y＝mx+n得：
，
解得m＝﹣，n＝18；
（2）①设第x个生产周期创造的利润为w万元，
由（1）知，当12＜x≤20时，z＝﹣x+18，
∴w＝（z﹣10）y＝（﹣x+18﹣10）（5x+20）＝（﹣x+8）（5x+20）＝﹣x2+35x+160＝﹣（x﹣14）2+405，
∵﹣＜0，12＜x≤20，
∴当x＝14时，w取得最大值，最大值为405，
∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
②当0＜x≤12时，z＝15，
∴w＝（15﹣10）（5x+20＝25x+100，
∴w＝，
则w与x的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，
∴当x＝13，15时w＝403.75，
当x＝12，16时，w＝400，
∴a的取值范围400＜a≤403.75．
22．（１０分）解：（1）∵AB＝3m，AD＝BC＝4m，E（0，4），
∴A（﹣2，3），B（﹣2，0），C（2，0），D（2，3），
设抛物线表达式为y＝ax2+bx+c，
将A、D、E三点坐标代入表达式，
得，
解得．
∴抛物线表达式为．
答：抛物线表达式为．
（2）设G（﹣t，3），则L（﹣t﹣），
∴，
解得（负值舍去），
∴GM＝2t＝．
答：两个正方形装置的间距GM的长为m．
（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，如图4，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
∵FK∥AC，
设，
∴，
得，
∴，
解得m＝，
∴直线FK的解析式为，
令y＝0，得x＝，
∴．
∴CK＝BK﹣BC＝＝
答：CK的长为m．
23．（１０分）解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，
∵BJ＝BE，
∴AJ＝EC，
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ，
∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECF，
∵∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；
（2）结论：∠GCF＝α﹣90°；
理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，
∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC．
∵AE＝EF，
∴△ANE≌△ECF（SAS）．
∴∠ANE＝∠ECF．
∵AB＝BC，
∴BN＝BE．
∵∠EBN＝α，
∴，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝；
问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．
，
∴DG＝m，CG＝2m．
在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADP＝60°，
∴ m，，
∴α＝120°，
由（2）知，，
∵∠AGP＝∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴，
∴＝，
∴，
由（2）知，，
∴．
∴．
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