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高教版（2021）拓展模块一 上册3.3.2 抛物线的几何性质精品教学设计
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这是一份高教版（2021）拓展模块一 上册3.3.2 抛物线的几何性质精品教学设计，共9页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
学习重难点
教材分析
本节课是三种圆锥曲线的最后一种，研究抛物线的简单几何性质，利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的，通过本节课的学习，既让学生了解了抛物线的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程.
学情分析
学生已经学习了椭圆和双曲线的标准方程和性质以及抛物线的标准方程，初步掌握了利用曲线图形探究曲线性质的方法，有亲历体验和探究的兴趣，具有一定的动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
前面,我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质,是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？
【设计意图】提示学生数形结合.
（二）调动思维，探究新知
下面以抛物线的标准方程y²=2px为例,研究抛物线的几何性质.
1．范围
在方程中,y²=2px 中,由p>0, y²≥0,可知x≥0.这表明,抛物线在y 轴的右侧,如图所示.当x的值增大时,y²的值也随着增大,即|y| 的值增大.
2.对称性
在方程中,将y换成-y,方程不改变.
这说明,抛物线关于x轴对称.一般地,把抛物线的对称轴称为抛物线的轴.
3.顶点
在方程中,令 y=0,得 x=0. 因此,抛物线的顶点为原点.一般地,抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点.
4．离心率
抛物线上的点M 到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率,记作e. 由抛物线的定义知,e=1.
探究与发现
为什么拱桥的桥拱大多设计为抛物线的形状？
桥梁的主要受力是桥面的荷载重量及自身重量，都是垂直向下的，采用抛物线拱形可以将垂直受力转移到横向的桥墩或岸边的地面，这样可以加宽桥梁下面的通道宽度，减少桥墩数量，因此，桥梁大多设计成抛物线拱形。
【设计意图】引导学生发现解决问题方法.
（五）巩固知识，典例练习
【典例1】根据条件，求抛物线的标准方程.
(1) 关于y轴对称，且过点P(4,-2);
(2) 对称轴为坐标轴，且过点P(10,5).
解(1) 由于物线关于y轴对称，而点P为第四象限的点,故抛物线的焦点在y轴的负半轴上.
设拋物线的标准方程为.将点P的坐标(4,-2) 代入方程，，解得p=4.
因此，抛物线的标准方程为；
（2）设拋物线的标准方程为，将点P的坐标(10,5)代入上述两个方程，或，解得.
因此，抛物线的标准方程为.
温馨提示
当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论.
【典例2】用“描点法”画出抛物线 y²=4x的图形.
抛物线具有对称性,因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形.
解: 当y≥0时,抛物线的方程可以变形为 .
在[0,+∞)上,选取几个整数作为x的值,计算出对应的y值,列表
以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标,在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y),用光滑的曲线顺次链接各点得到抛物线在第一象限内的图形.然后利用对称性,画出全部图形.
【典例3】如图(1)所示,一条隧道的顶部是抛物线拱,拱高为2m,跨度为6m,求拱形纵截线所在的抛物线方程.
解: 以拱形纵截线的顶点为坐标原点、拱高所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图(2)所示,则抛物线方程可设为x²=-2py.
设拱形的两个端点分别为点A、B.则由拱高为2m和跨度为6m可得AB两点的坐标分别为(-3,-2)、(3 ,-2)．把点B的坐标代人方程x²=-2py ,可得.
因此,拱形纵截线所在的拋物线方程为.
【设计意图】注意观察学生是否理解知识点
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】已知抛物线的顶点为原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M（―5，―10）．求抛物线的标准方程．
分析 点M（―5，―10）在第三象限．由于题中没有明确指出对称轴是x轴还是y轴，因此有两种情况（如图）．
解 设所求抛物线的标准方程为
将点M的坐标分别代入方程，得
解得
故抛物线的标准方程为
【巩固2】已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，并且经过点．求抛物线的标准方程并利用“描点法”画出图形．
解 由于点为第四象限的点，且抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，故抛物线的焦点在x轴的正半轴上．设其方程为
（）．
将点的坐标代入方程，得
，
解得 p = 2．
故抛物线的标准方程为
．
可以先画出抛物线在第一象限内的图形，然后再利用抛物线的对称性，画出全部图形．
抛物线的方程在第一象限内可以变形为
．
在［0，＋∞）内，选出几个x的值，计算出对应的y值．列表：
以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），用光滑的曲线顺次联结各点得到抛物线在第一象限内的图形．然后利用对称性，画出全部图形．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1.根据条件,求抛物线的标准方程.
（1）准线方程为 x=4；
（2）焦点为F(0,-3)；
（3）关于x轴对称,且过点(5,-4)；
（4）对称轴为坐标轴,且过点(6,3).
2.在直角坐标系中,画出下列拋物线的图像.
（1） y²=-6x ; （2）x²=9y.
3.已知拋物线的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,抛物线上一点P(-3,m)到焦点的距离为5,求拋物线的标准方程.
4.已知垂直于x轴的直线交抛物线 y²=6x于A、B两点,且 ，求直线AB的方程.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节3.3.2；
(2)书面作业： P86习题3.3的2，4.
（八）教学反思
知识
能力与素养
了解各种抛物线标准方程所表示的性质．
学生的数学思维能力得到提高．
重点
难点
四种抛物线标准方程所表示的性质．
四种抛物线标准方程所表示的性质．
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
2.8
3.5
4
…
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
2.8
3.5
4
…
学习重难点
教材分析
本节课是三种圆锥曲线的最后一种，研究抛物线的简单几何性质，利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的，通过本节课的学习，既让学生了解了抛物线的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程.
学情分析
学生已经学习了椭圆和双曲线的标准方程和性质以及抛物线的标准方程，初步掌握了利用曲线图形探究曲线性质的方法，有亲历体验和探究的兴趣，具有一定的动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
前面,我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质,是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？
【设计意图】提示学生数形结合.
（二）调动思维，探究新知
下面以抛物线的标准方程y²=2px为例,研究抛物线的几何性质.
1．范围
在方程中,y²=2px 中,由p>0, y²≥0,可知x≥0.这表明,抛物线在y 轴的右侧,如图所示.当x的值增大时,y²的值也随着增大,即|y| 的值增大.
2.对称性
在方程中,将y换成-y,方程不改变.
这说明,抛物线关于x轴对称.一般地,把抛物线的对称轴称为抛物线的轴.
3.顶点
在方程中,令 y=0,得 x=0. 因此,抛物线的顶点为原点.一般地,抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点.
4．离心率
抛物线上的点M 到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率,记作e. 由抛物线的定义知,e=1.
探究与发现
为什么拱桥的桥拱大多设计为抛物线的形状？
桥梁的主要受力是桥面的荷载重量及自身重量，都是垂直向下的，采用抛物线拱形可以将垂直受力转移到横向的桥墩或岸边的地面，这样可以加宽桥梁下面的通道宽度，减少桥墩数量，因此，桥梁大多设计成抛物线拱形。
【设计意图】引导学生发现解决问题方法.
（五）巩固知识，典例练习
【典例1】根据条件，求抛物线的标准方程.
(1) 关于y轴对称，且过点P(4,-2);
(2) 对称轴为坐标轴，且过点P(10,5).
解(1) 由于物线关于y轴对称，而点P为第四象限的点,故抛物线的焦点在y轴的负半轴上.
设拋物线的标准方程为.将点P的坐标(4,-2) 代入方程，，解得p=4.
因此，抛物线的标准方程为；
（2）设拋物线的标准方程为，将点P的坐标(10,5)代入上述两个方程，或，解得.
因此，抛物线的标准方程为.
温馨提示
当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论.
【典例2】用“描点法”画出抛物线 y²=4x的图形.
抛物线具有对称性,因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形.
解: 当y≥0时,抛物线的方程可以变形为 .
在[0,+∞)上,选取几个整数作为x的值,计算出对应的y值,列表
以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标,在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y),用光滑的曲线顺次链接各点得到抛物线在第一象限内的图形.然后利用对称性,画出全部图形.
【典例3】如图(1)所示,一条隧道的顶部是抛物线拱,拱高为2m,跨度为6m,求拱形纵截线所在的抛物线方程.
解: 以拱形纵截线的顶点为坐标原点、拱高所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图(2)所示,则抛物线方程可设为x²=-2py.
设拱形的两个端点分别为点A、B.则由拱高为2m和跨度为6m可得AB两点的坐标分别为(-3,-2)、(3 ,-2)．把点B的坐标代人方程x²=-2py ,可得.
因此,拱形纵截线所在的拋物线方程为.
【设计意图】注意观察学生是否理解知识点
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】已知抛物线的顶点为原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M（―5，―10）．求抛物线的标准方程．
分析 点M（―5，―10）在第三象限．由于题中没有明确指出对称轴是x轴还是y轴，因此有两种情况（如图）．
解 设所求抛物线的标准方程为
将点M的坐标分别代入方程，得
解得
故抛物线的标准方程为
【巩固2】已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，并且经过点．求抛物线的标准方程并利用“描点法”画出图形．
解 由于点为第四象限的点，且抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，故抛物线的焦点在x轴的正半轴上．设其方程为
（）．
将点的坐标代入方程，得
，
解得 p = 2．
故抛物线的标准方程为
．
可以先画出抛物线在第一象限内的图形，然后再利用抛物线的对称性，画出全部图形．
抛物线的方程在第一象限内可以变形为
．
在［0，＋∞）内，选出几个x的值，计算出对应的y值．列表：
以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），用光滑的曲线顺次联结各点得到抛物线在第一象限内的图形．然后利用对称性，画出全部图形．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1.根据条件,求抛物线的标准方程.
（1）准线方程为 x=4；
（2）焦点为F(0,-3)；
（3）关于x轴对称,且过点(5,-4)；
（4）对称轴为坐标轴,且过点(6,3).
2.在直角坐标系中,画出下列拋物线的图像.
（1） y²=-6x ; （2）x²=9y.
3.已知拋物线的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,抛物线上一点P(-3,m)到焦点的距离为5,求拋物线的标准方程.
4.已知垂直于x轴的直线交抛物线 y²=6x于A、B两点,且 ，求直线AB的方程.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节3.3.2；
(2)书面作业： P86习题3.3的2，4.
（八）教学反思
知识
能力与素养
了解各种抛物线标准方程所表示的性质．
学生的数学思维能力得到提高．
重点
难点
四种抛物线标准方程所表示的性质．
四种抛物线标准方程所表示的性质．
x
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1
2
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4
…
y
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2.8
3.5
4
…
x
0
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…
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0
2
2.8
3.5
4
…
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