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高教版（2021）拓展模块一 上册3.3.1 抛物线的标准方程优质教学设计
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这是一份高教版（2021）拓展模块一 上册3.3.1 抛物线的标准方程优质教学设计，共8页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
学习重难点
教材分析
本节课是抛物线的第一课时，本节在初中以二次函数图像的形式初步探讨过，现在是在学习了椭圆、双曲线以后的又一种圆锥曲线，是对研究学习抛物线方法和思想的深化.
学情分析
学生已经学习了椭圆、双曲线定义和标准方程，有亲历体验和探究的兴趣，具有一定的动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
平南三桥位于广西壮族自治区,是2020 年建成的世界上最大的跨径拱桥,多项技术填补了世界拱桥空白,成为“中国桥梁”建造的新名片. 观察下图,桥拱的轮廓线是什么图形？有什么特点？
【设计意图】创设情境帮助学生直观感受“生活中的抛物线”.
（二）调动思维，探究新知
可以看出,拱桥的轮廓线是一条形如彩虹的曲线,人们称之为抛物线．那么,如何画出抛物线呢？
我们可以通过一个实验来完成.
（1）将一把直尺固定在画板上,再取一个直角三角板,紧靠直尺 的一边l放置：
（2）取一条拉链,把它的一端固定在三角板的顶点C处,另一 端固定在画板上的点F处；
（3）将笔尖(点 M)放在拉链锁扣处保持锁扣与C端的拉链部 分始终在 CA 上,让三角板靠紧直尺并沿直尺边缘滑动，笔尖随之移 动,就画出了一段曲线；
（4）当直角三角板的边 AC 经过点下时,向下翻转三角板．保持锁扣与C端的拉链部分始终在 CA 上,让三角板靠紧直尺继续沿直尺边缘滑动,笔尖又画出一段曲线.
显然,笔尖(即点M )始终保持到定点 F 的距离与到直尺边 l 的距离相等(|MF|=|MC|).
一般地,把平面内与一个定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线.
【设计意图】引导学生分析抛物线上的点所满足的几何条件，为建立抛物线的标准方程创造条件.
（三）创设情境，生成问题
我们从椭圆和双曲线的定义出发,通过建立合适的平面直角坐标系,分别求出了椭圆和双曲线的方程.那么,如何从抛物线的定义出发,建立恰当的平面直角坐标系来求出抛物线的方程呢？
【设计意图】渗透类比思想
（四）调动思维，探究新知
取过焦点 F且垂直于准线l 的直线为x轴；记x轴与准线l 的交点为 E,以线段 EF的垂直平分线为y轴,如图所示.设焦点到准线的距离为 p(p>0),即|EF|=p，则焦点F的坐标为，准线 l 的方程为
设M(x,y)为抛物线上的任意一点,点M到l的距离为|MN|,则有|MF|=|MN|.
于是,可得
将上式两边平方得
展开并整理得 y²=2px(p>0).
上面方程称为抛物线的标准方程.
类似地,通过建立不同的平面直角坐标系,可以得到抛物线其他三种形式的标准方程：y²=-2px, x² =2py, x² =-2py. 它们的焦点坐标、准线方程及图形归纳见表:
【设计意图】注意强调抛物线方程中参数p的几何意义，引导学生观察图像与标准方程之间的联系，.
（五）巩固知识，典例练习
【典例1】根据条件,求抛物线的标准方程.
（1）焦点为F（0，－3）；
（2）准线方程为;
（3）焦点在y轴的正半轴上，并且p = 3.
解 （1）由于焦点在y轴的负半轴上，并且
，
即 p = 4．
故抛物线的标准方程为 ．
（2）由准线方程为知，焦点在x轴的负半轴上，并且
，
即 p =2．
故抛物线的标准方程为 ．
（3）由于焦点在y轴的正半轴上，并且p = 3，故抛物线的标准方程为
．
【典例2】求下列抛物线的交点坐标和准线方程.
（1）y²=8x；（2）x²+4y=0.
解: （1）抛物线的焦点在x轴的正半轴上，并且2p = 8，所以．
故焦点坐标为（2，0），准线方程为x = －2．
（2）将方程化成标准方程，为．
抛物线的焦点在y轴的负半轴上，并且－2p = －4，所以．
故焦点坐标为，准线方程为．
温馨提示
判断抛物线的焦点在哪个坐标轴上是解决有关抛物线问题的关键,为此可将抛物线方程化为标准方程，观察标准方程中的一次项,如果一次项含变量x,并且系数为正(或为负),则焦点在x轴的正半轴(或负半轴)上;如果一次项含变量,并且系数为正(或为负),则焦点在y轴的正半轴(或负半轴)上.
【设计意图】例1利用定义直接解决问题，例2引导学生先将抛物线方程化为标准形式.
（六）巩固练习，提升素养
【巩固1】根据下列条件求抛物线的标准方程．
（1）焦点在x轴的正半轴上，并且p = 5；
（2）焦点为F（0，－2）；
（3）准线方程为
解 （1）由于焦点在x轴的正半轴上，并且p = 5，故抛物线的标准方程为
．
（2）由于焦点在x轴的负半轴上，并且，
即 p = 4．
故抛物线的标准方程为 ．
（3）由准线方程为知，焦点在x轴的负半轴上，并且，
即 p = 1．
故抛物线的标准方程为 ．
【巩固2】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）； （2）．
解 （1）抛物线的焦点在x轴的正半轴上，并且2p = 16，所以．
故焦点坐标为（4，0），准线方程为x = －4．
（2）将方程化成标准方程，为
．
抛物线的焦点在y轴的负半轴上，并且－2p = －1，所以．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（七）巩固练习，提升素养
1. 根据下列条件，求抛物线的标准方程：
（1）焦点为；
（2）焦点为；
（3）准线方程为；
（4）准线方程为．
2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1） . （2）
（3）． （4）
3．求抛物线上到焦点的距离等于9的点坐标.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（八）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（九）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节3.3.1；
(2)书面作业： P85习题3.3的1，3.
（十）教学反思
知识
能力与素养
了解抛物线的定义，知道四种抛物线的标准方程．
学生的数学思维能力得到提高．
重点
难点
四种抛物线标准方程．
处理与代数中抛物线之间的关系．
学习重难点
教材分析
本节课是抛物线的第一课时，本节在初中以二次函数图像的形式初步探讨过，现在是在学习了椭圆、双曲线以后的又一种圆锥曲线，是对研究学习抛物线方法和思想的深化.
学情分析
学生已经学习了椭圆、双曲线定义和标准方程，有亲历体验和探究的兴趣，具有一定的动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
平南三桥位于广西壮族自治区,是2020 年建成的世界上最大的跨径拱桥,多项技术填补了世界拱桥空白,成为“中国桥梁”建造的新名片. 观察下图,桥拱的轮廓线是什么图形？有什么特点？
【设计意图】创设情境帮助学生直观感受“生活中的抛物线”.
（二）调动思维，探究新知
可以看出,拱桥的轮廓线是一条形如彩虹的曲线,人们称之为抛物线．那么,如何画出抛物线呢？
我们可以通过一个实验来完成.
（1）将一把直尺固定在画板上,再取一个直角三角板,紧靠直尺 的一边l放置：
（2）取一条拉链,把它的一端固定在三角板的顶点C处,另一 端固定在画板上的点F处；
（3）将笔尖(点 M)放在拉链锁扣处保持锁扣与C端的拉链部 分始终在 CA 上,让三角板靠紧直尺并沿直尺边缘滑动，笔尖随之移 动,就画出了一段曲线；
（4）当直角三角板的边 AC 经过点下时,向下翻转三角板．保持锁扣与C端的拉链部分始终在 CA 上,让三角板靠紧直尺继续沿直尺边缘滑动,笔尖又画出一段曲线.
显然,笔尖(即点M )始终保持到定点 F 的距离与到直尺边 l 的距离相等(|MF|=|MC|).
一般地,把平面内与一个定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线.
【设计意图】引导学生分析抛物线上的点所满足的几何条件，为建立抛物线的标准方程创造条件.
（三）创设情境，生成问题
我们从椭圆和双曲线的定义出发,通过建立合适的平面直角坐标系,分别求出了椭圆和双曲线的方程.那么,如何从抛物线的定义出发,建立恰当的平面直角坐标系来求出抛物线的方程呢？
【设计意图】渗透类比思想
（四）调动思维，探究新知
取过焦点 F且垂直于准线l 的直线为x轴；记x轴与准线l 的交点为 E,以线段 EF的垂直平分线为y轴,如图所示.设焦点到准线的距离为 p(p>0),即|EF|=p，则焦点F的坐标为，准线 l 的方程为
设M(x,y)为抛物线上的任意一点,点M到l的距离为|MN|,则有|MF|=|MN|.
于是,可得
将上式两边平方得
展开并整理得 y²=2px(p>0).
上面方程称为抛物线的标准方程.
类似地,通过建立不同的平面直角坐标系,可以得到抛物线其他三种形式的标准方程：y²=-2px, x² =2py, x² =-2py. 它们的焦点坐标、准线方程及图形归纳见表:
【设计意图】注意强调抛物线方程中参数p的几何意义，引导学生观察图像与标准方程之间的联系，.
（五）巩固知识，典例练习
【典例1】根据条件,求抛物线的标准方程.
（1）焦点为F（0，－3）；
（2）准线方程为;
（3）焦点在y轴的正半轴上，并且p = 3.
解 （1）由于焦点在y轴的负半轴上，并且
，
即 p = 4．
故抛物线的标准方程为 ．
（2）由准线方程为知，焦点在x轴的负半轴上，并且
，
即 p =2．
故抛物线的标准方程为 ．
（3）由于焦点在y轴的正半轴上，并且p = 3，故抛物线的标准方程为
．
【典例2】求下列抛物线的交点坐标和准线方程.
（1）y²=8x；（2）x²+4y=0.
解: （1）抛物线的焦点在x轴的正半轴上，并且2p = 8，所以．
故焦点坐标为（2，0），准线方程为x = －2．
（2）将方程化成标准方程，为．
抛物线的焦点在y轴的负半轴上，并且－2p = －4，所以．
故焦点坐标为，准线方程为．
温馨提示
判断抛物线的焦点在哪个坐标轴上是解决有关抛物线问题的关键,为此可将抛物线方程化为标准方程，观察标准方程中的一次项,如果一次项含变量x,并且系数为正(或为负),则焦点在x轴的正半轴(或负半轴)上;如果一次项含变量,并且系数为正(或为负),则焦点在y轴的正半轴(或负半轴)上.
【设计意图】例1利用定义直接解决问题，例2引导学生先将抛物线方程化为标准形式.
（六）巩固练习，提升素养
【巩固1】根据下列条件求抛物线的标准方程．
（1）焦点在x轴的正半轴上，并且p = 5；
（2）焦点为F（0，－2）；
（3）准线方程为
解 （1）由于焦点在x轴的正半轴上，并且p = 5，故抛物线的标准方程为
．
（2）由于焦点在x轴的负半轴上，并且，
即 p = 4．
故抛物线的标准方程为 ．
（3）由准线方程为知，焦点在x轴的负半轴上，并且，
即 p = 1．
故抛物线的标准方程为 ．
【巩固2】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）； （2）．
解 （1）抛物线的焦点在x轴的正半轴上，并且2p = 16，所以．
故焦点坐标为（4，0），准线方程为x = －4．
（2）将方程化成标准方程，为
．
抛物线的焦点在y轴的负半轴上，并且－2p = －1，所以．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（七）巩固练习，提升素养
1. 根据下列条件，求抛物线的标准方程：
（1）焦点为；
（2）焦点为；
（3）准线方程为；
（4）准线方程为．
2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1） . （2）
（3）． （4）
3．求抛物线上到焦点的距离等于9的点坐标.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（八）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（九）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节3.3.1；
(2)书面作业： P85习题3.3的1，3.
（十）教学反思
知识
能力与素养
了解抛物线的定义，知道四种抛物线的标准方程．
学生的数学思维能力得到提高．
重点
难点
四种抛物线标准方程．
处理与代数中抛物线之间的关系．
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