中职2.1 向量的概念优秀一课一练

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基础巩固
1．下列说法中，正确的个数是( B )
①零向量是没有方向的；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A．1B．2
C．3D．4
[解析] 对于①，零向量的方向是任意的，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是__(1)(4)__(填序号)．
(1)eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))；(2)eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OD,\s\up6(→))；(3)eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))；(4)eq \(AO,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))．
[解析] 由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))≠eq \(OD,\s\up6(→))；eq \(AC,\s\up6(→))≠eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))．
3．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( D )
A．相等B．共线
C．不共线D．模相等
[解析] 正n边形n条边相等，故这n个向量的模相等．
4．设O是正方形ABCD的中心，则向量eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))是( D )
A．相等的向量B．平行的向量
C．有相同起点的向量D．模相等的向量
[解析] 这四个向量的模相等．
5．如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与eq \(EF,\s\up6(→))共线的向量；
(2)写出与eq \(EF,\s\up6(→))长度相等的向量；
(3)写出与eq \(EF,\s\up6(→))相等的向量．
[分析] (1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与eq \(EF,\s\up6(→))的方向相同的向量．
[解析] (1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∴与eq \(EF,\s\up6(→))共线的向量为eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))．
(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，∴EF＝eq \f(1,2)BC，BD＝DC＝eq \f(1,2)BC，∴EF＝BD＝DC．
∵AB，BC，AC均不相等，∴与eq \(EF,\s\up6(→))长度相等的向量为eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))．
(3)与eq \(EF,\s\up6(→))相等的向量为eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))．
6．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”“相等”“无关”)．
能力进阶
1．下列说法中正确的是( D )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
[解析] 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．
2．在同一平面上，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( B )
A．一条线段B．一条直线
C．圆上一群孤立的点D．一个半径为1的圆
[解析] 由于向量的起点确定，而向量平行于同一直线，所以随着向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线．
3．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④密度．其中是向量的是( B )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析] 由物理学知识知速度和位移是向量，既有大小又有方向，符合向量的定义．故选B．
4．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与eq \(AE,\s\up6(→))平行的向量有( C )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析] 根据向量的基本概念可知与eq \(AE,\s\up6(→))平行的向量有eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(FD,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))，共3个．
5．如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有__①②③__．(填序号)
①eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))；②eq \(AO,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))；
③eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线；④eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(BO,\s\up6(→))．
[解析] ∵eq \(AO,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))方向相同，长度相等，∴①正确；
∵A，O，C三点在一条直线上，
∴eq \(AO,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，②正确；
∵AB∥DC，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))共线，③正确；
∵eq \(AO,\s\up6(→))与eq \(BO,\s\up6(→))方向不同，∴二者不相等，④错误．
素养提升
1．给出下列命题：
①0和0表示的含义相同；
②两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
③若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；
④在菱形ABCD中，一定有eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))．
其中所有正确命题的序号为__③④__．
[分析] 利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断．
[解析] 0表示数字，而0有方向，故①不正确．
两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故②不正确．
单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故③正确．
④显然正确，故所有正确命题的序号为③④．
2．下列说法正确的是( D )
A．共线的两个单位向量相等
B．相等向量的起点相同
C．若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，则一定有直线AB∥CD
D．若点A，B，C，D在同一直线上，则eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))
[解析] A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错，直线AB与CD可能重合；D正确．
3．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100eq \r(3) m，则此人位移的方向是( C )
A．南偏东60°B．南偏东45°
C．南偏东30°D．南偏东15°
[解析] 如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，则tan ∠BAC＝eq \f(100\r(3),100)＝eq \r(3)，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．
4. 如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出__6__个互不相等的非零向量．
[解析] 模为1个单位的向量有2个，如eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))；模为2个单位的向量有2个，如eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))；模为3个单位的向量有2个，如eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，故共有6个．
5. 如图，已知四边形ABCD为正方形，△CBE为等腰直角三角形，回答下列问题：
(1)图中与eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量有__eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(EA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))__；
(2)图中与eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量有__eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))__；
(3)图中与eq \(AB,\s\up6(→))模相等的向量有__eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))__．