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中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册第2章 平面向量2.1 向量的概念优质导学案
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这是一份中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册第2章 平面向量2.1 向量的概念优质导学案，文件包含第2章平面向量知识考点-中职专用高中数学单元复习讲与测高教版2021·拓展模块一上册原卷版docx、第2章平面向量知识考点-中职专用高中数学单元复习讲与测高教版2021·拓展模块一上册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共19页， 欢迎下载使用。
知识点一：向量的概念
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模).
向量表示方法：向量或；模或.
(2)零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示，特别的：非零向量的单位向量是.
(4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
知识点二：向量的线性运算
1．向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
(2)向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
(3)向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2．向量的减法
(1)定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
(2)向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
3．向量的数乘
(1)向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
4．共线向量定理
(1)定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
(2)向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
知识点三：向量的内积
1．两个向量的夹角
(1)定义：给定两个非零向量，，在平面内任选一点，作，，则称内的为向量与向量的夹角，记作．
(2)性质：当时，与同向；当时，与反向．
(3)向量垂直：如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。
2．向量数量积的定义
(1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)；
(2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0；
(3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。
3．向量的投影及向量数量积的几何意义
(1)设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
(2)在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．
(3)几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积，投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。
四、向量数量积的性质
设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则
(1)；
(2)；
(3)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；
(4)；
(5)
知识点四：向量的坐标表示
1．平面向量的坐标运算
(1)向量加减：若，则；
(2)数乘向量：若，则；
(3)若，则
(4)任一向量：设，则.
(5)若，则的充要条件为.
(6)向量数量积：若，则；
(7)若向量，则
考点一 向量的概念
1．下面关于向量的说法不正确的是
A．单位向量：模为1的向量 B．零向量：模为0的向量
C．平行（共线）向量：方向相同或相反的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量
【答案】C
【解析】根据向量的定义可得，模为1的向量为单位向量，所以正确；
模为0的向量为零向量，所以正确；
方向相同或相反的非零向量为共线向量，所以不正确；
模相等，方向相同的向量为相等向量，所以正确；
故选：C．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点，，，必在同一条直线上
【答案】A
【解析】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误，
故选：A.
3．下列说法正确的是
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
【答案】D
【解析】由向量的定义可知：向量之间不能比较大小，但向量的模可以比较大小．故只有选项说法正确．
故选：D．
4． 如图所示，中，三边长均不相等，、、分别是，，的中点．
（1）写出与共线的向量； （2）写出与长度相等的向量； （3）写出与相等的向量．
【答案】（1），，，，，，；（2），，，，；（3），．
【解析】解：（1），分别是，的中点，，与共线的向量为，，，，，，；
（2），，分别是，，的中点，，，．
，，均不相等，与长度相等的向量为，，，，；
（3）与相等的向量为，．
5．若为任一非零向量，为单位向量，下列各式：
（1）；（2）∥；（3）||＞0；（4）||＝±1；（5）若是与同向的单位向量，则＝.
其中正确的是________.(填序号)
【答案】（3）
【解析】由题意知，，对（1），当时，，不一定有，故(1)错误；
对（2），与方向不一定相同或相反，所以与不一定平行，故(2)错误；
对（3），非零向量的模必大于0，即，故(3)正确；
对（4），向量的模非负，故(4)错误；
对(5)，与方向不一定相同，所以与方向不一定相同，故(5)错误，
综上可知（3）正确，故答案：（3）.
6．已知平面向量、、，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】B
【解析】对于选项A：若、为非零向量，，但不一定等于，故不成立，A错误；
对于选项B：可知、同向，于是可知、共线，即，故B正确；
对于选项C：若为零向量，，不一定能推出，故C错误；
对于选项D：，但是两个向量方向不一定相同，故不可以推出，故D错误；
故选：B
考点二 向量的线性运算
7．的化简结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，，故选：B.
8．下列计算正确的个数是
①；②；③．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】，，，①③正确．故选：C．
9．化简下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
10．已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）．
【答案】
【解析】解：，,.
11．在四边形ABCD中，已知，，，其中，是不共线的向量，试判断四边形ABCD的形状．
【答案】四边形是梯形
【解析】解：如图所示，
，所以，即，且，所以四边形是梯形.
考点三 向量的内积
12．已知向量、满足，，且，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为向量、满足，，且，所以，
故选：C
13．设是任意向量，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】向量的数量积是数量，选项A错误；
是方向上的向量，是方向上的向量，显然等式不恒成立，选项B错误；
，选项C错误；
，向量的数量积满足乘法的运算法则，选项D正确．故选：D．
14．若的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】，故选：B
15．已知等边三角形ABC的边长为2，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】因为向量的夹角为，所以，故选：B.
16．已知 ，向量 的夹角为，则 （ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【解析】，故选：C.
17．已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（ ）
A．B．7C．D．3
【答案】C
【解析】由题意得：，所以，故选：C.
18．已知，与的夹角是.
（1）求的值及的值；
（2）当为何值时，？
【答案】(1)，；(2).
【解析】解：（1）∵，与的夹角是，∴，
；
（2）由题意，，即，解得，
即时，.
考点四 向量的坐标表示
19．已知向量，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】因为，，所以，所以，故选：D.
20．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，因为，所以，故选：C.
21．已知，向量，若，则实数（ ）
A．B．C．-2D．2
【答案】D
【解析】由，可得，，，因为，所以，故选：D.
22．已知向量,则k=( )
A.-12 B.-6 C.6 D.12
【答案】D
【解析】,由,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12,故选：D.
23．已知向量,若,则实数λ=( )
A. B. C.-2 D.2
【答案】C
【解析】因为,所以，又,所以,
即，解得λ=-2，故选：C.
24．已知向量.
(1)求的值;
(2)求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)5；(2)
【解析】解：(1)因为,所以;
(2)由(1)知,
所以.
25．已知向量,向量.
(1)求向量的坐标;
(2)若,求实数k的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)因为,所以，
.
(2)因为,所以,即，解得.
知识点一：向量的概念
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模).
向量表示方法：向量或；模或.
(2)零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示，特别的：非零向量的单位向量是.
(4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
知识点二：向量的线性运算
1．向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
(2)向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
(3)向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2．向量的减法
(1)定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
(2)向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
3．向量的数乘
(1)向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
4．共线向量定理
(1)定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
(2)向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
知识点三：向量的内积
1．两个向量的夹角
(1)定义：给定两个非零向量，，在平面内任选一点，作，，则称内的为向量与向量的夹角，记作．
(2)性质：当时，与同向；当时，与反向．
(3)向量垂直：如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。
2．向量数量积的定义
(1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)；
(2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0；
(3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。
3．向量的投影及向量数量积的几何意义
(1)设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
(2)在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．
(3)几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积，投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。
四、向量数量积的性质
设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则
(1)；
(2)；
(3)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；
(4)；
(5)
知识点四：向量的坐标表示
1．平面向量的坐标运算
(1)向量加减：若，则；
(2)数乘向量：若，则；
(3)若，则
(4)任一向量：设，则.
(5)若，则的充要条件为.
(6)向量数量积：若，则；
(7)若向量，则
考点一 向量的概念
1．下面关于向量的说法不正确的是
A．单位向量：模为1的向量 B．零向量：模为0的向量
C．平行（共线）向量：方向相同或相反的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量
【答案】C
【解析】根据向量的定义可得，模为1的向量为单位向量，所以正确；
模为0的向量为零向量，所以正确；
方向相同或相反的非零向量为共线向量，所以不正确；
模相等，方向相同的向量为相等向量，所以正确；
故选：C．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点，，，必在同一条直线上
【答案】A
【解析】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误，
故选：A.
3．下列说法正确的是
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
【答案】D
【解析】由向量的定义可知：向量之间不能比较大小，但向量的模可以比较大小．故只有选项说法正确．
故选：D．
4． 如图所示，中，三边长均不相等，、、分别是，，的中点．
（1）写出与共线的向量； （2）写出与长度相等的向量； （3）写出与相等的向量．
【答案】（1），，，，，，；（2），，，，；（3），．
【解析】解：（1），分别是，的中点，，与共线的向量为，，，，，，；
（2），，分别是，，的中点，，，．
，，均不相等，与长度相等的向量为，，，，；
（3）与相等的向量为，．
5．若为任一非零向量，为单位向量，下列各式：
（1）；（2）∥；（3）||＞0；（4）||＝±1；（5）若是与同向的单位向量，则＝.
其中正确的是________.(填序号)
【答案】（3）
【解析】由题意知，，对（1），当时，，不一定有，故(1)错误；
对（2），与方向不一定相同或相反，所以与不一定平行，故(2)错误；
对（3），非零向量的模必大于0，即，故(3)正确；
对（4），向量的模非负，故(4)错误；
对(5)，与方向不一定相同，所以与方向不一定相同，故(5)错误，
综上可知（3）正确，故答案：（3）.
6．已知平面向量、、，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】B
【解析】对于选项A：若、为非零向量，，但不一定等于，故不成立，A错误；
对于选项B：可知、同向，于是可知、共线，即，故B正确；
对于选项C：若为零向量，，不一定能推出，故C错误；
对于选项D：，但是两个向量方向不一定相同，故不可以推出，故D错误；
故选：B
考点二 向量的线性运算
7．的化简结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，，故选：B.
8．下列计算正确的个数是
①；②；③．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】，，，①③正确．故选：C．
9．化简下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
10．已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）．
【答案】
【解析】解：，,.
11．在四边形ABCD中，已知，，，其中，是不共线的向量，试判断四边形ABCD的形状．
【答案】四边形是梯形
【解析】解：如图所示，
，所以，即，且，所以四边形是梯形.
考点三 向量的内积
12．已知向量、满足，，且，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为向量、满足，，且，所以，
故选：C
13．设是任意向量，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】向量的数量积是数量，选项A错误；
是方向上的向量，是方向上的向量，显然等式不恒成立，选项B错误；
，选项C错误；
，向量的数量积满足乘法的运算法则，选项D正确．故选：D．
14．若的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】，故选：B
15．已知等边三角形ABC的边长为2，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】因为向量的夹角为，所以，故选：B.
16．已知 ，向量 的夹角为，则 （ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【解析】，故选：C.
17．已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（ ）
A．B．7C．D．3
【答案】C
【解析】由题意得：，所以，故选：C.
18．已知，与的夹角是.
（1）求的值及的值；
（2）当为何值时，？
【答案】(1)，；(2).
【解析】解：（1）∵，与的夹角是，∴，
；
（2）由题意，，即，解得，
即时，.
考点四 向量的坐标表示
19．已知向量，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】因为，，所以，所以，故选：D.
20．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，因为，所以，故选：C.
21．已知，向量，若，则实数（ ）
A．B．C．-2D．2
【答案】D
【解析】由，可得，，，因为，所以，故选：D.
22．已知向量,则k=( )
A.-12 B.-6 C.6 D.12
【答案】D
【解析】,由,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12,故选：D.
23．已知向量,若,则实数λ=( )
A. B. C.-2 D.2
【答案】C
【解析】因为,所以，又,所以,
即，解得λ=-2，故选：C.
24．已知向量.
(1)求的值;
(2)求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)5；(2)
【解析】解：(1)因为,所以;
(2)由(1)知,
所以.
25．已知向量,向量.
(1)求向量的坐标;
(2)若,求实数k的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)因为,所以，
.
(2)因为,所以,即，解得.
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