数学拓展模块一 上册2.1 向量的概念教案

授课题目

2.1向量的概念

选用教材

高等教育出版社《数学》

（拓展模块一上册）

授课时长

2课时

授课类型

新授课

教学提示

本课通过实际例引入向量的概念，进而介绍相关一些基本概念，为后续学习做好准备.本课概念较多，应结合具体例子引导学生在熟悉的环境中，分析、提炼向量的两个要素，了解向量概念；帮助学生用位移、力、速度等物理量理解相关知识，并数形结合进行说明.

教学目标

通过学习，以位移、力等物理背景，了解平面向量、有向线段及有关爱心；了解单位向量、零向量、相等向量、相反向量和共线向量的含义；能体会向量及有关概念的抽象过程，知道有向线段可以表示向量；能区分并举例说明相等向量、相反向量、共线向量；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.

教学重点

向量及相关概念，向量的表示，共线向量的概念及判断．

教学难点

向量的两个要素及向量的表示，共线向量的概念．

教学环节

教学内容

教师

活动

学生

活动

设计

意图

情境导入

随着我国综合国力的不断增强,我国海军装备事业发展迅速,一批新型舰艇陆续下水试航. 如图所示,为测试某型号舰艇的性能,S舰从A点沿东北方向航行100 n mile 到达B点. 如果S舰沿其他方向航行100 n mile,能不能到达B点呢？

提出

问题

引发

思考

思考

分析

回答

创设情境设置问题引导学生发现并抽象出向量相关知识渗透课程思政

探索新知

可以看出，S舰从A点出发沿其他方向航行100 n mile 不能到达B点．

事实上,图中带箭头的线段AB包含两个要素：航程100 n mile；航向东北方向．
    物理学中，把“S舰沿东北方向航行100 n mile”称为S舰的位移.

生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．

在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量. 向量常用小写黑体英文字母a、b、c 等来表示，手写体为在字母上方加箭头，如.

向量a的大小也称为该向量a的模，记为|a|.模为1的向量称为单位向量．

规定:模为零的向量为零向量，记作0或.零向量的方向是任意的.

一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段．

以A为起点、B为终点的有向线段记作.   

习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示．

“情境与问题”中，有向线段直观地表示了S 舰的位移，其长度表示S 舰位移的大小，其箭头指向表示S舰位移的方向.

    一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 这也是向量的几何表示.

讲解

说明

展示

引领

强调

理解

思考

领会

分析

领会

结合实际生活说明向量与数量的区别，介绍了向量的符号表示

典型例题

例1 如图(1)所示，用点A、B、C 表示三地的位置.分别用有向线段表示出A地至B、C 两地的位移，并通过测量和计算指出它们的大小和方向（精确到1km）.

解  如图(2)所示，用有向线段表示A地到B地的位移.测量可得AB≈2.5cm.因此位移的大小||≈25km，方向是正北.

同理，用有向线段表示A地到C 地的位移.位移  的大小||≈22km，方向是正东.

例2 如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量.

解 向量a：|a|=，东北方向；

向量b：|b|=，东北方向；

向量c：|c|=，西南方向；

向量d：|d|=，东北方向；

向量m：|m|=2，正北方向；

向量i：|i|=1，正东方向；

向量j：|j|=1，正北方向；

其中的单位向量有：i、j.

提问

引导

讲解

强调

提问

引导

讲解

强调

思考

分析

解决

交流

思考

分析

解决

交流

例1巩固向量的概念及要素

强化向量的直观表达，通过作图等方式体会向量的几何特征

例2强化了向量的两个要素及单位向量等概念

情境导入

探究与发现

例2中的下列四组向量,每组的两个向量之间有什么关系？

(1)i与j； (2)a与d；(3)a与b；(4)c与d.

提出问题

思考

讨论

引出新概念

探索新知

向量i与j的模相等，但是方向不同，它们是不同的向量.

向量a与d的模不相等，但是方向相同，它们也是不同的向量.

向量a与b不仅模相等，而且方向相同.考虑到向量是由大小和方向所确定的，我们把 a与b看作一样的向量.

向量c与d的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系.

一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量.向量a与b相等时，记a=b.

与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作−a.

规定：零向量的相反向量仍是零向量.

进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行.

一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量.当向量a与b平行时，记a∥b.

规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a,都有0∥a.

温馨提示

对于坐图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l. 然后，在l上任取一点O，并在l上分别作出、、                  如右图所示. 这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.因此，平行向量也称共线向量.

讲解

说明

展示

讲解

理解

思考

领会

理解

在原有问题基础上进行分析

通过平移向量直观形象地显示平行向量也就是共线向量

典型例题

例3 如图所示,点O为⏥ABCD对角线的交点.

(1)写出向量似的平行向量；

(2)写出与向量相等的向量；

(3)写出向量的相反向量．

解 由平行四边形的性质可知，平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分.

(1)因为平行向量是方向相同或相反的两个非零向量，所以的平行向量有、、；

(2)因为相等向量是模相等且方向相同的两个向量，所以与向量相等的向量只有；

(3)因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、方向相反 的向量，所以的相反向量有、.

提问

引导

讲解

强调

思考

分析

解决

交流

及时归纳总结三者之间的区别与联系，提醒学生分析平行向量是思考要全面

巩固练习

练习1.1

1.某中等职业学校旅游服务与管理专业毕业生小王带团到北京旅游，行程的第一项就是登天安门城楼，然后步行参观人民英雄纪念碑，路线大致如图所示，请在图中用有向线段表示该旅游团的位移.

2. 试判断下列说法是否正确.

(1)两个单位向量一定是相等向量；

(2) 向量与向量相等；

(3)方向分别为竖直向下和竖直向上的两个力是共线向量；

(4)零向量与任一向量共线；

(5)一人向左走5m的位移和向右走5m的位移是一对相反向量.

3.在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N).

(1)方向正北、大小为20N的力，用向量表示；

(2)方向正东、大小为50N的力，用向量表示.

4.按图中的比例尺,分别求出由A地到B、C两地的位移(长度精确到1km) .

(第3题)                      (第4题)

5.如图所示，D、E、F 分别是ΔABC 各边的中点，连接DE、DF、EF. 试写出下列向量. 

(1) 向量的共线向量；

(2)与向量相等的向量；

(3) 向量的相反向量.

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺

归纳总结

引导

提问

回忆

反思

培养

学生

总结

学习

过程

能力

布置作业

1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；

2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.

说明

记录

继续探究

延伸学习