2023-2024学年河南省信阳市高二（上）第一次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年河南省信阳市高二（上）第一次月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}
2．（5分）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有（ ）
A．A＝BB．A⊇B
C．A⊆BD．A与B之间没有关系
3．（5分）在空间坐标系中，O为坐标原点，A（1，2，3），则|OA|等于（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）在空间直角坐标系中，＝（2x﹣4，x2，﹣4），＝（﹣1，﹣4，1），若，则x的值为（ ）
A．3B．6C．5D．4
5．（5分）在空间四边形OABC中，等于（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）天河英才秋季运动会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片（卡片的形状、大小和质地完全相同）放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（ ）
A．2iB．iC．﹣iD．﹣2i
8．（5分）已知空间内三点A（1，1，2），B（﹣1，2，0），C（0，3，1），则点A到直线BC的距离是（ ）
A．B．1C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）10．（5分）设M，N为两个随机事件，给出以下命题，其中为正确命题的是（ ）
A．若M，N为互斥事件，且，则
B．若，则M，N为互为对立事件
C．若，则M，N为相互独立事件
D．若M，N为相互独立事件，且，则
（多选）11．（5分）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A．2张卡片都不是红色
B．2张卡片恰有一张蓝色
C．2张卡片至少有一张红色
D．2张卡片都为绿色
（多选）12．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．若PD∥平面MAC，则M为PB的中点
B．若M为PB的中点，则三棱锥M﹣PAC的体积为
C．锐二面角B﹣PD﹣A的平面角余弦值为
D．若，则直线MC与平面BDP所成角的余弦值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（5分）已知，，若，则x＝ ．
14．（5分）从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b，则a≤b的概率为 ．
15．（5分）在边长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．平面AB1C与平面A1DC1之间的距离为 ．
16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面ABC，PA＝AB，G为△PAC的外心，D为直线BC上的一动点，设直线AD与BG所成的角为θ，则θ的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝．
（1）求和的夹角θ的余弦值；
（2）若向量k十与k﹣2互相垂直，求k的值．
18．（12分）已知函数的最大值为．
（1）求常数m的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在BC边上，AD是角平分线，sin2C+sin2B+sinC•sinB＝sin2A，且△ABC的面积为2．
（1）求A的大小及的值；
（2）若c＝4，求BD的长．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD的中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮：竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
22．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥S﹣ABCD的体积为．
（1）若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面PEF∥平面SCD．
（2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】欲求两个集合的交集，先得求集合∁UB，再求它与A的交集即可．
【解答】解：对于∁UB＝{x|x≤1}，
因此A∩∁UB＝{x|0＜x≤1}，
故选：B．
【点评】这是一个集合的常见题，属于基础题之列．
2．【分析】根据题意，结合列举法求得事件A和事件B，进而得到两事件的关系，得到答案．
【解答】解：同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，
其中事件A＝{（正，正）}，事件 B＝{（正，正），（正，反），（反，正）}，
所以A⊆B．
故选：C．
【点评】本题主要考查了随机事件的列举，属于基础题．
3．【分析】直接利用空集两点的距离公式求解即可．
【解答】解：空间点（1，2，3）到坐标原点的距离：＝．
故选：A．
【点评】本题是基础题，考查空间两点的距离公式的应用，考查计算能力，送分题．
4．【分析】由已知直接利用空间向量的坐标运算列式求解x的值．
【解答】解：在空间直角坐标系中，＝（2x﹣4，x2，﹣4），＝（﹣1，﹣4，1），若，
则，解得x＝4．
故选：D．
【点评】本题考查空间向量共线的坐标运算，是基础题．
5．【分析】由题意，根据向量的加法、减法法则，把进行化简即可得到答案，即可选出正确选项．
【解答】解：根据向量的加法、减法法则，得
＝﹣
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考点是空间向量的加减法，解题的关键是根据向量的加法、减法法则进行化简，本题是向量的基础题．
6．【分析】本题为古典概型概率，首先列举所有基本事件数，找出满足条件的事件数，即可解决问题．
【解答】解：设三张卡片“琮琮”“宸宸”“莲莲”依次记为A，B，C，
若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则基本事件为：AB，AC，BC，AA，BB，CC，BA，CA，CB共9种，
其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的基本事件为：AB，BA共2种，
所以所求概率为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
7．【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．
【解答】解：由题意得z＝ai．（a∈R且a≠0）．
∴＝＝，
则a+2＝0，∴a＝﹣2．有z＝﹣2i，
故选：D．
【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．
8．【分析】借助于空间向量解决空间中距离问题．
【解答】解：空间内三点A（1，1，2），B（﹣1，2，0），C（0，3，1），，
因为，
由，所以，
所以点A到直线BC的距离．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间中点，线，面之间的位置关系，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．【分析】直接利用向量的坐标运算，向量的数量积运算和向量的模求出结果．
【解答】解：由于向量，，，
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：；；；故，故C正确；
对于D：，故，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10．【分析】由概率的性质判断A；根据对立事件的定义、独立事件的判定及乘法公式判断B、C、D．
【解答】解：对于A：由题设有，对；
对于B：若M，N为对立事件，则M⋂N＝∅，M⋃N＝Ω，
即P（MN）＝0且P（M⋃N）＝P（M）+P（N）＝1，
显然不能保证P（MN）＝0，错；
对于C：由，则，
故M，N为相互独立事件，对；
对于D：由题设，对．
故选：ACD．
【点评】本题考查了概率的性质，对立事件的定义、独立事件的判定及乘法公式，是中档题．
11．【分析】根据已知条件，结合互斥事件与对立事件的定义，即可求解．
【解答】解：从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：两张都为红色，两张都为绿色，两张都为蓝色，1张红色1张绿色，1张红色1张蓝色，1张绿色1张蓝色，共6种，
2张卡片至少有一张红色包含2张卡片都为红色，二者并非互斥事件，故C错误，ABD正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题．
12．【分析】对于A，根据线面平行性质可得ME∥PD，进而得到M为PB的中点；
对于B，利用求解即可；
对于C，作PD的中点Q，则∠AQB 为锐二面角 B﹣PD﹣A 的平面角，再结合余弦定理可求解二面角B﹣PD﹣A的平面角的余弦值，即可判断C；
对于D，建系，求平面BDP的法向量，根据向量的夹角来求直线MC与平面BDP所成角的余弦值．
【解答】解：对于A，连接ME，当PD∥平面MAC时，根据线面平行的性质可得ME∥PD，从而得到M为PB的中点．故A正确；
∵M为PB的中点，∴，
取AD中点F，连接PF，∵△PAD为等边三角形，∴PF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
由面面垂直性质可得PF⊥底面ABCD，
∴，∴，故B正确；
连接BF，∵PF⊥底面ABCD，又BF⊂平面ABCD，∴PF⊥BF，
在Rt△PBF中，，
取PD中点Q，连接BQ，AQ，∴BQ⊥PD，AQ⊥PD，
∴∠AQB为锐二面角B﹣PD﹣A的平面角，
在△AQB中，，
，
由余弦定理可得：，
∴锐二面角B﹣PD﹣A的平面角余弦值为，故C正确；
对于D，建立空间直角坐标系F﹣xyz，
则A（﹣1，0，0），B（﹣1，2，0），C（1，2，0），P（0，0，），D（1，0，0），
∵，∴M（），
∴，
设平面 PBD 的法向量，
由，取z＝1，得，
∴cs＜，＞＝＝＝．
∴直线MC与平面BDP所成角的余弦值为，故D正确．
故选：ABCD．
【点评】本题考查线面平行的性质定理，面面垂直的性质定理，考查三棱锥的体积，考查二面角的求法，考查空间向量在立体几何中的应用，是中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．【分析】根据时•＝0，列方程求出x的值．
【解答】解：因为，，且，
所以•＝﹣4+10+3x＝0，解得x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了空间向量垂直的坐标表示与应用问题，是基础题．
14．【分析】先确定的所有的基本事件，共有9种，再求出a＞b的概率，根据互斥事件的概率公式计算即可．
【解答】解：从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，共有3×3＝9种，
因为a＞b的取法只有一种：a＝3，b＝2，
所以a＞b的概率是，
所以a≤b的概率是1﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了古典概型的概率和互斥事件的概率问题，属于基础题．
15．【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则A1（3，0，0），C1（0，3，0），D（0，0，3），A（3，0，3），
所以，，，
设平面A1C1D的一个法向量，则，令z＝1得，故，显然平面AB1C∥平面A1DC1，
所以平面AB1C与平面A1DC1之间的距离＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用空间向量求出距离，属于中档题．
16．【分析】建立空间直角坐标系，设，则，求出cs2θ的范围，从而得到θ的取值范围．
【解答】解：不妨设PA＝AB＝2，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A（0，0，0），，C（0，2，0），P（0，0，2），
由题意得G为PC的中点，所以G（0，1，1）．
设，λ∈R，得，
则，
因为，
所以．
当λ＝0时，csθ＝0．
当λ≠0时，，
得．
综上，，由得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查空间向量的应用以及异面直线所成角的求解，考查计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【分析】（1）根据平面向量的数量积计算和夹角θ的余弦值；
（2）根据向量k十与k﹣2互相垂直时数量积为0，列方程求出k的值．
【解答】解：（1）因为A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），
所以＝＝（1，1，0），＝＝（﹣2，﹣1，2），
所以csθ＝＝＝﹣，
即和夹角θ的余弦值为﹣；
（2）因为向量k十与k﹣2互相垂直，所以（k+）•（k﹣2）＝k2﹣k•﹣2＝0，
因为＝2，•＝﹣3，＝9，
所以2k2+3k﹣18＝0，
解得k＝或k＝．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
18．【分析】（1）先化简f（x）的解析式，列出关于m的方程，解之即可求得m的值；
（2）利用整体代换法即可求得函数f（x）的单调递增．
【解答】解：（1）＝+1+cs2x+m，
＝，
由函数f（x）的最大值为，可得，解之得m＝﹣1；
（2）由（1）可得，由，
可得，
则函数f（x）的单调递增区间为．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的单调性和对称中心的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
19．【分析】（1）根据正弦定理得到c2+b2+bc＝a2，再根据余弦定理求得A，根据三角形的面积公式求得b，代入向量的数量积公式即可求解；（2）过D作DE，DF分别垂直于AB，AC，得到|DE|＝|DF|，
再根据两个三角形面积的比结合余弦定理求得a，即可求解．
【解答】解：（1）∵sin2C+sin2B+sinC⋅sinB＝sin2A，
由正弦定理知，c2+b2+bc＝a2，
即b2+c2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理知csA＝＝﹣，
又 A∈（0，π），∴，
，
∴b＝2，
∴；
（2）过D作DE，DF分别垂直于AB，AC，如图所示，
∵AD为∠BAC角平分线，∴DE＝DF，
∴，
∴S△ABD：S△ACD＝|AB|：|AC|＝2：1，
又S△ABD：S△ACD＝|BD|：|DC|，∴|BD|：|DC|＝2：1，
∴，
又，∴，
∴．
【点评】本题考查了三角形的正弦定理和余弦定理，属于中档题．
20．【分析】以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设线段AD上存在Q（a，b，c），＝λ，0≤λ≤1，使得它到平面PCD的距离为，利用向量法能求出＝．
【解答】解：∵底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，
∴OC⊥AD，又PO⊥平面ABCD，
∴以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
＝（1，0，﹣1），＝（0，1，﹣1），
设平面PCD的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，1），
设线段AD上存在Q（a，b，c），＝λ，0≤λ≤1，使得它到平面PCD的距离为，
则A（0，﹣1，0），D（0，1，0），（a，b+1，c）＝（0，2λ，0），∴Q（0，2λ﹣1，0），＝（0，2λ﹣1，﹣1），
∴Q到平面PCD的距离d＝＝＝，
解得λ＝，∴Q（0，﹣，0），∴＝＝．
线段AD上存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为，且＝．
【点评】本题考查满足点到平面的距离的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．【分析】（1）先根据各矩形的面积之和为1，求得a，再根据各层的人数比例抽取；
（2）利用平均数和中位数公式求解；
（3）分一人或二人获优秀，利用互斥事件和独立事件的概率求解．
【解答】解：（1）由（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a）×10＝1，得a＝0.03，
因为0.01×10×200＝20（人），0.015×10×200＝30（人），所以不高于50分的抽5×＝2（人）；
（2）平均数＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71，
因为在[40，70]内共有80人，则中位数位于[70，80]内，则中位数为70+10＝；
（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，则P（A）＝＝，
故至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
22．【分析】（1）由题可得EP∥SD，EF∥CD，即证；
（2）由题可得SP⊥平面ABCD，结合条件可得AD的长，建立空间直角坐标系，设，利用条件列方程，即可解得．
【解答】证明：（1）因为E、F分别是SA、SB的中点，
所以EF∥AB，在矩形ABCD中，AB∥CD，
所以EF∥CD，CD⊂平面SCD，EF⊄平面SCD，
∴EF∥平面SCD，
又因为E、P分别是SA、AD的中点，
所以EP∥SD，SD⊂平面SCD，EP⊄平面SCD，
∴EP∥平面SCD，
又EF∩EP＝E，EF，EP⊂平面PEF，
所以平面PEF∥平面SCD；
解：（2）假设在棱SA上存在点M满足题意，
在等边三角形SAD中，P为AD的中点，所以SP⊥AD，
又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SP⊂平面SAD，
所以SP⊥平面ABCD，所以SP是四棱锥S﹣ABCD的高，
设AD＝m（m＞0），则，S矩形ABCD＝m，
所以，所以m＝2，
以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），，
所以，，，
设，所以，
设平面PMB的一个法向量为，则，
所以取，
易知平面SAD的一个法向量为，
所以，，
因为0≤λ≤1，所以所以存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处满足题意．
【点评】本题考查了面面平行的证明和二面角的计算，属于中档题．