河南省实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

这是一份河南省实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
3．已知直线与平行，则（ ）
A．1B．C．0D．1或
4．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
5．直线与直线在同一平面直角坐标系内的图形可能是（ ）．
A．B．
C．D．
6．两圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．1
7．已知实数，满足方程，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若三条直线不能围成一个三角形，则实数的值可以为（ ）
A．B．0C．1D．2
10．已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为4
B．直线过定点
C．直线与圆的相交弦长的最小值为
D．直线与圆的交点为，则面积的最大值为2
11．已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（ ）
A．直线与所成角的取值范围是
B．三棱锥的体积为定值
C．
D．的最小值为
三、填空题
12．直线与直线之间的距离为 ．
13．已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
14．已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为 ．
四、解答题
15．已知向量，且．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
16．已知平面上有两点，和直线.
(1)求过点的圆的切线的方程；
(2)动点在直线上运动，求的最小值.
17．已知直线过定点．
(1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2)设为上的一个动点，求中点的的轨迹方程．
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．
19．常用测量距离的方式有3种．设，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（为坐标原点）．
(1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)若，求的取值范围；
(3)动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值.
参考答案：
1．A
【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角.
【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.
故选:A
2．B
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.
【详解】
.
故选：B.
3．B
【分析】由两直线平行的条件求解．
【详解】因为，所以解得.
故选：B．
4．C
【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．
【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，
所以
设向量与的夹角为，
则，
所以直线和夹角的余弦值为，
故选：C．
5．D
【详解】根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可．
【分析】对于A选项：由得，，由得，，矛盾，故A错误；
对于B选项：由得，，由得，，矛盾，故B错误；
对于C选项：由得，，由得，，矛盾，故C错误；
对于D选项：由得，，由得，．故D正确．
故选：D．
6．B
【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长．
【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交，
圆与圆的公共弦所在的直线方程为：
，即，
圆的圆心到公共弦的距离：
，圆的半径，
公共弦长．
故选：B．
7．C
【分析】化简方程可得该方程所表示图形，数形结合可得斜率的最值.
【详解】方程化为，
表示的图形是一个以2,0为圆心，为半径的半圆，
令，即，如图所示，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，
解得或（负值不满足条件，舍去），
所以的最大值为，
故选：C.
8．B
【分析】先求出点的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出的取值范围.
【详解】因为点为直线与直线的交点，
所以由可得，且过定点，过定点，
所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆(去除)，圆心为，
半径.
而圆的圆心为，半径为，
所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离，
所以的最大值为：，
因为不在圆上，故，
所以的取值范围是.
故选：B .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据直线垂直以及过定点得到点的轨迹是圆，从而得解.
9．ACD
【分析】由于所给三条直线中两条直线相交，分三条直线交于一点，两条直线平行，两种情况讨论即可求得实数的取值.
【详解】当三条直线交于一点时不能围成三角形：由，
解得和的交点的坐标为，
由在上可得，解得，
因为与的相交，所以当三条直线有两条直线平行时不能围成三角形，
当时，，解得，
当时，，解得，
显然与不可能重合.
综上，或或，这三条直线不能围成三角形，
∴实数的取值可以是或或.
故答案为：ACD.
10．BCD
【分析】将圆的方程化为标准式，即可判断A，求出直线过定点坐标，即可判断B，判断直线过定点坐标在圆内，即可求出弦长最小值，设圆心到直线的距离为，则，，则，再利用基本不等式计算可得.
【详解】解：对于A：圆，即，圆心为，半径，故A错误；
对于B：直线，即，令，得，即直线过定点，故B正确；
对于C：因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，
当直线与圆的相交弦最小时，与相交弦垂直，
又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；
对于D：设圆心到直线的距离为，则，则，
所以
，当且仅当，即时取等号，故D正确．
故选：BCD．
11．AC
【分析】由，根据在线段的位置，即可确定异面直线与所成角的范围可判断A；利用等体积法可判断B；由数量积的定义可判断C；将旋转到平面内，如图所述，旋转到，由余弦定理可判断D.
【详解】对于A，由，异面直线与所成角即为与所成角，
又为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，
当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，
故与所成角的范围，故A正确.
对于B，因为，平面，平面，
所以平面，所以直线上任意一点到平面的距离相等，
所以点到平面的距离等于点到平面，
所以，故B错误；
对于C，，
设，
所以，
当时，有最小值为；当或时，有最大值为；
故，所以，所以，
则，故C正确；
对于D，将旋转到平面内，如图所述，旋转到，
且最小值为：，故D错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：
（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
12．/
【分析】利用平行直线之间的距离公式可得答案.
【详解】的方程可化为，与平行，
由平行直线之间的距离公式可得
.
故答案为：.
13．
【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可.
【详解】因为向量的夹角为钝角，
则，解得，
当共线时，由，即，解得，
所以当夹角为钝角时.
故答案为：.
14．
【分析】由切线性质得，由此得到，故最小时，，从而求出直线的方程，进而求得和，再求出以为圆心，为半径的圆，即可求出结果.
【详解】由，得到，圆心为，半径为，
由题易知，所以四边形的面积，
又，
所以当最小时，即PC最小，此时，
所以直线的方程为，即，
由，解得，即，
所以，得到，
则以为圆心，为半径的圆的方程为，
又是圆与圆的公共弦，
两圆方程相减得到，所以直线的方程为，
故答案为：.
15．(1)9；
(2).
【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可；
（2）结合（1）可得，，再由夹角公式求解即可.
【详解】（1）解：因为，
所以，解得，
所以，
则，
所以；
（2）解：，
，
，
设向量与夹角为，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为．
16．(1)或
(2)
【分析】（1）思路一：分切线斜率是否存在，结合相切的条件即可求解；思路二：设出切线方程，然后使用距离公式求解；
（2）思路一：找点的对称点，将题目转换为将军饮马模型即可求解；思路二：先用不等式的性质证明，然后说明当，时等号成立，即可得到的最小值是.
【详解】（1）方法一：过点且斜率不存在的直线为，
圆的圆心到直线的距离，
即直线与圆相切，故满足题意；
当过点且斜率存在的直线为y=kx−1，
若直线y=kx−1与圆相切，
则，解得，此时满足题意的直线为，
综上所述，所求切线的方程为或.
方法二：所求切线经过点，设其方程为.
则该直线到点的距离为，即.
所以，此即，得.
故或，从而所求切线的方程为或.
（2）方法一：如图所示：
设点关于直线的对称点，显然，
则，解得，所以的坐标为−2,3，
设与直线交于点，
则，等号成立当且仅当重合，
所以的最小值为.
方法二：设Px,y，则，从而.
故
.
从而
.
当，时，有，.
所以的最小值是.
17．(1)或
(2)
【分析】（1）根据直线方程可得直线恒过点，再分截距为和不为两种情况，即可求解；
（2）设Mx,y，，根据条件得到，代入即可求解.
【详解】（1）因为直线恒过定点，
若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为，
若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为，
则求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．
（2）设Mx,y，，则，得到，所以，
又点在上，所以，整理得，
故的轨迹方程为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)存在；的长为或
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；
（3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可.
【详解】（1）连接，交于点，连接，
点是的中点，点是的中点，
所以,平面,平面，
所以平面；

（2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，，，则，
设平面的法向量，则，
令得，所以平面的法向量，
平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；

（3）由（2）知，，，，
，，，
，
由（2）知平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
则
整理得，解得或
故当时，；当时，
则的长为或．
19．(1)2，
(2)
(3)
【分析】（1）利用曼哈顿距离和余弦距离公式计算即得；
（2）先计算的表达式得，令由方程有解转化成半圆与直线有交点，根据图象分析计算求出即得的范围，继而求得的范围；
（3）先设动点，求出的表达式，分析得到，根据与，的大小关系分类讨论的最小值情况，综合考虑得到，利用二次函数的图象性质即可求得的最小值.
【详解】（1），
因，
则
（2）因，
令则，
即与有交点，
也即半圆与直线有交点，
如图，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况.
由圆心到直线的距离解得，，
由图知此时，即；
又由，代入点，解得，.
由图知，要使两者有交点，需使此时，
因 ，则有；
（3）设动点，则
，
因，所以，
①当时，，
此时，当且仅当时取得；
②当时，，
此时；
③当时，，
此时，
又，
所以，
综合得，
当时取等号．
即的最小值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
C
D
B
C
B
ACD
BCD
题号
11









答案
AC