2022-2023学年北京市东城区景山学校七年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市东城区景山学校七年级（上）期中数学试卷【含解析】，共33页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）只有一条高在三角形内部的三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形或钝角三角形
2．（2分）若点P（x，y）的坐标满足xy＝0，则点P的位置是（ ）
A．在x轴上B．在y轴上
C．是坐标原点D．在x轴上或在y轴上
3．（2分）去年我市有5.6万学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（ ）
A．这种调查方式是抽样调查
B．5.6万学生是总体
C．2000是样本容量
D．2000名考生的数学成绩是总体的一个样本
4．（2分）如图AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，则∠D的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
5．（2分）点P（2﹣a，2a﹣1）在第四象限，且到y轴的距离为3，则a的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
6．（2分）内角和等于外角和2倍的多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
7．（2分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β
8．（2分）为了了解2018年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了1000人乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了如下频数分布直方图，根据图中信息，下面3个推断中，合理的是（ ）
①小明乘坐地铁的月均花费是75元，那么在所调查的1000人中至少有一半以上的人月均花费超过小明；
②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是60﹣120元；
③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在20%左右，那么乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（每小题2分，共16分）.
9．（2分）为了解某市4万名学生平均每天读书的时间，请你运用所学的统计知识，将统计的主要步骤进行排序：①从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；②分析数据；③得出结论，提出建议；④利用统计图表将收集的数据整理和表示．合理的排序是 ．（只填序号）
10．（2分）在△ABC中，∠A＝80°+∠B+∠C，则∠A＝ ．
11．（2分）一个样本含有20个数据：68，69，70，66，68，64，65，65，69，62，67，66，65，67，63，65，64，61，65，66，在列频数分布表时，64.5～66.5这组的频数为 ．
12．（2分）课间操时，小华、小军和小刚的位置如图所示，如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么小刚的位置可以表示为 ．
13．（2分）如图，△ABC中AD，BE分别是△ABC的高和角平分线，若∠C＝70°，∠AEB＝95°，则∠BAD＝ °．
14．（2分）如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连结GF，ED．则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为 ．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，M在BA的延长线上，PA平分∠MAO，PB平分∠ABO，则∠P＝ ．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为 ；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，第21-23题，每题6分，第24-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）.
17．（5分）已知等腰三角形的周长为18cm，其中两边之差为3cm，求三角形的各边长．
18．（5分）如图，AE∥BD，∠1＝115°，∠2＝35°，求∠C的度数．
19．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）补全图形；
（2）求∠CBE的度数；
（3）已知F为AC延长线上一点，连接DF，若∠AFD＝25°，请判断BE与DF的位置关系为 ．
20．（5分）已知点A（3a﹣6，a+1），试分别根据下列条件，求出点A的坐标，
（1）点A在x轴上；
（2）点A在过点P（3，﹣2），且与y轴平行的直线上．
21．（6分）如图，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，且∠A＝60°，求∠BOC的度数．
22．（6分）对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（m+a，n+b），其中a，b为常数，f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A（x，y）规定“F变换”；点A（x，y）在F的变换下的对应点即为坐标是f（x，y）的点A'．
（1）当a＝0，b＝0时，f（﹣2，4）＝ ．
（2）若点P（2，﹣2）在F变换下的对应点是它本身，求ab的值．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出三角形ABC，并求其面积；
（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过 平移得到的．
（3）已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是（ ， ）．
24．（5分）如图1所示，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，∠B＜∠C，F为AE上一点，且FD⊥BC于D．
（1）试推导∠EFD与∠B、∠C的大小关系．
（2）如图2所示，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，在（1）中推导的结论还成立吗？请说明理由．
25．（5分）为庆祝中国共产党建党100周年，使学生进一步了解中国共产党的历史，某学校组织了“党史百年天天读”活动，并进行了一次全校2000名学生都参加的书面测试，阅卷后，教学处随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现考试成绩x（分）的最低分为50分，最高分为满分100分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表：
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）在频数分布表中，a＝ ；b＝ ；
（2）请将频数分布直方图补充完整，并在图中标明相应数据；
（3）该校对成绩为90≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一，二，三等奖，各奖项的人数占比如扇形统计图所示．
①在扇形图中，二等奖所在扇形的圆心角度数为 °；
②请你估算全校获得一等奖的学生人数约为 人．
26．（6分）阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，
即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，
则．
理由：∵BD＝CD，∴＝，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索
在如图2至图4中，△ABC的面积为a．
（1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1＝ （用含a的代数式表示）；
（2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2＝ （用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S3，则S3＝ （用含a的代数式表示）．
拓展与应用
如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求图中阴影部分的面积？
27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α．
（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB的大小；
（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在BC的延长线上运动，且α≠50°，直接写出∠AED的大小（用含α的式子表示）．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），定义k|x1﹣x2|+（1﹣k）|y1﹣y2|为点M和点N的“k阶距离”，其中0≤k≤1．例如：点M（1，3），N（﹣2，4）的阶距离”为．已知点A（﹣1，2）．
（1）若点B（0，4），求点A和点B的“阶距离”；
（2）若点B在x轴上，且点A和点B的“阶距离”为4，求点B的坐标；
（3）若点B（a，b），且点A和点B的“阶距离”为1，直接写出a+b的取值范围．
2022-2023学年北京市东城区景山学校七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）.
1．（2分）只有一条高在三角形内部的三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形或钝角三角形
【分析】根据三角形高线的性质来解答即可．
【解答】解：A、锐角三角形的三条高都在三角形的内部，错误；
B、直角三角形直角边上的高分别与另一直角边重合，还有一条高在三角形内部，正确；
C、钝角三角形中，夹钝角两边上的高在三角形的外部，另一条高在三角形的内部，正确；
D、是B、C的综合观点，正确；
故选：D．
【点评】①锐角三角形的三条高都在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上；
②直角三角形直角边上的高分别与另一直角边重合，还有一条高在三角形内部，垂足在直角的顶点或斜边上；
③钝角三角形中，夹钝角两边上的高在三角形的外部，另一条高在三角形的内部，垂足在相应顶点对边的延长线上或在钝角的对边上．
2．（2分）若点P（x，y）的坐标满足xy＝0，则点P的位置是（ ）
A．在x轴上B．在y轴上
C．是坐标原点D．在x轴上或在y轴上
【分析】根据坐标轴上的点的坐标特点解答即可．
【解答】解：因为xy＝0，所以x、y中至少有一个是0；
当x＝0时，点在y轴上；
当y＝0时，点在x轴上．
当x＝0，y＝0时是坐标原点．
所以点P的位置是在x轴上或在y轴上．
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特点，即点在x轴上点的坐标为纵坐标等于0；点在y轴上点的坐标为横坐标等于0．
3．（2分）去年我市有5.6万学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（ ）
A．这种调查方式是抽样调查
B．5.6万学生是总体
C．2000是样本容量
D．2000名考生的数学成绩是总体的一个样本
【分析】总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考察的对象．从而找出总体、个体．
【解答】解：A、为了了解这5.6万名考生的数学成绩，从中抽取了2000名考生的数学成绩进行统计分析，这种调查采用了抽样调查的方式，故说法正确；
B、5.6万名考生的数学成绩是总体，故说法错误；
C、2000是样本容量，故说法正确；
D、2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故说法正确；
故选：B．
【点评】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
4．（2分）如图AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，则∠D的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠BAD＝∠D，即可得到∠CAD＝∠D，再根据三角形的内角和求解即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
∴∠CAD＝∠D，
在△ACD中，∠C+∠D+∠CAD＝180°，∠C＝80°，
∴80°+∠D+∠CAD＝180°，
即2∠D＝100°，
∴∠D＝50°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
5．（2分）点P（2﹣a，2a﹣1）在第四象限，且到y轴的距离为3，则a的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【分析】首先根据点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，可得点P的横坐标是3，可得2﹣a＝3，据此可得a的值．
【解答】解：∵点P（2﹣a，2a﹣1）在第四象限，且到y轴的距离为3，
∴点P的横坐标是3；
∴2﹣a＝3，
解答a＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离＝纵坐标的绝对值，到y轴的距离＝横坐标的绝对值．
6．（2分）内角和等于外角和2倍的多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【分析】本题应先设这个多边形的边数为n，则依题意可列出方程（n﹣2）×180°＝360°×2，从而解出n＝6，即这个多边形的边数为6．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则依题意可得：
（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的外角和定理和多边形的内角和定理．解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理即（n﹣2）×180°．注意：任意多边形的外角和都是360°．
7．（2分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
8．（2分）为了了解2018年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了1000人乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了如下频数分布直方图，根据图中信息，下面3个推断中，合理的是（ ）
①小明乘坐地铁的月均花费是75元，那么在所调查的1000人中至少有一半以上的人月均花费超过小明；
②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是60﹣120元；
③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在20%左右，那么乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】①根据图中信息月均花费超过80元的有500人，于是得到结论；
②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在60～120之间，据此可得平均每人乘坐地铁的月均花费的范围；
③该市1000人中，20%左右的人有200人，根据图形可得乘坐地铁的月均花费达到120元的人有200人可以享受折扣．
【解答】解：①∵200+100+80+50+25+25+15+5＝500人，
∴所调查的1000人中一定有一半或超过一半的人月均花费超过小明，此结论正确；
②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在60～120之间，估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是60～120；所以估计平均每人乘坐地铁月均花费不低于60元，此结论正确；
③∵1000×20%＝200，而80+50+25+25+15+5＝200，
∴乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣，
∴乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣，此结论正确；
综上，正确的结论为①②③，故选：D．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图，抽样调查以及用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
二、填空题（每小题2分，共16分）.
9．（2分）为了解某市4万名学生平均每天读书的时间，请你运用所学的统计知识，将统计的主要步骤进行排序：①从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；②分析数据；③得出结论，提出建议；④利用统计图表将收集的数据整理和表示．合理的排序是 ①④②③ ．（只填序号）
【分析】直接利用调查收集数据的过程与方法分析排序即可．
【解答】解：统计的主要步骤依次为：
①从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；
④利用统计图表将收集的数据整理和表示；
②分析数据；
③得出结论；
故答案为：①④②③．
【点评】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握调查的过程是解题关键．
10．（2分）在△ABC中，∠A＝80°+∠B+∠C，则∠A＝ 130° ．
【分析】根据三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵∠A＝80°+∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴80°+∠B+∠C+∠B+∠C＝180°，
2（∠B+∠C）＝180°﹣80°，
∴∠B+∠C＝50°，
∴∠A＝80°+50°＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
11．（2分）一个样本含有20个数据：68，69，70，66，68，64，65，65，69，62，67，66，65，67，63，65，64，61，65，66，在列频数分布表时，64.5～66.5这组的频数为 8 ．
【分析】根据数据，找出64.5～66.5这组的数字即可．
【解答】解：根据题意得，
在列频数分布表时，64.5～66.5这组的数据有66，65，65，66，65，65，65，66，
所以频数为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是频数分布表，掌握组距、分组数的确定方法：组距＝（最大值﹣最小值）÷组数，以及频率的计算方法是解题的关键．
12．（2分）课间操时，小华、小军和小刚的位置如图所示，如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么小刚的位置可以表示为 （4，3） ．
【分析】直接利用原点位置建立平面直角坐标系，进而得出点的坐标．
【解答】解：如图所示：小刚的位置可以表示为（4，3）．
故答案为：（4，3）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
13．（2分）如图，△ABC中AD，BE分别是△ABC的高和角平分线，若∠C＝70°，∠AEB＝95°，则∠BAD＝ 40 °．
【分析】由平角的定义可求解∠BEC的度数，根据三角形的内角和定理可求解∠CBE的度数，结合角平分线的定义求得∠ABC的度数，再根据高线的定义可得∠ADB＝90°，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠AEB＝95°，
∴∠BEC＝180°﹣95°＝85°，
∵∠BEC+∠CBE+∠BCE＝180°，∠C＝70°，
∴∠CBE＝180°﹣70°﹣85°＝25°，
∵BE是∠ABC平分线，
∴∠ABC＝2∠CBE＝50°，
∵AD是高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．
14．（2分）如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连结GF，ED．则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为 270° ．
【分析】根据三角形的内角和定理及对顶角的性质可求得∠GCF+∠DBE＝90°，再利用三角形的内角和定理可得∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE＝360°，进而可求解∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数．
【解答】解：∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∵∠GCF＝∠ACB，∠DBE＝∠ABC，
∴∠GCF+∠DBE＝90°，
∵∠G+∠F+∠GCF＝∠D+∠B+∠DBE＝180°，
∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE＝360°，
∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED＝270°，
故答案为：270°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，M在BA的延长线上，PA平分∠MAO，PB平分∠ABO，则∠P＝ 45° ．
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO＝90°、∠AOB＝90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠AOB＝90°．
∵PA平分∠MAO，
∴∠PAO＝∠OAM＝（180°﹣∠OAB）．
∵PB平分∠ABO，
∴∠ABP＝∠ABO，
∴∠P＝180°﹣∠PAO﹣∠OAB﹣∠ABP＝180°﹣（180°﹣∠OAB）﹣∠OAB﹣∠ABO＝90°﹣（∠OAB+∠ABO）＝45°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠P＝90°﹣（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为 （﹣3，1） ；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为 ﹣1＜a＜1，0＜b＜2 ．
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2014除以4，根据商和余数的情况确定点A2014的坐标即可；再写出点A1（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵A1的坐标为（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2017÷4＝504余1，
∴点A2017的坐标与A1的坐标相同，为（3，1）；
∵点A1的坐标为（a，b），
∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
∴，，
解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
∴﹣1＜a＜1且a≠0，0＜b＜2，
故答案为：（﹣3，1），﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，第21-23题，每题6分，第24-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）.
17．（5分）已知等腰三角形的周长为18cm，其中两边之差为3cm，求三角形的各边长．
【分析】已知等腰三角形的周长为18cm，两边之差为6cm，但没有明确指明底边与腰谁大，因此要分两种情况，分类讨论．
【解答】解：设三角形的腰为x，底为y，
根据题意得或
解得或，
所以等腰三角形的腰与底边的长分别为：7cm，4cm或5cm，8cm；
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
18．（5分）如图，AE∥BD，∠1＝115°，∠2＝35°，求∠C的度数．
【分析】由AE∥BD，可求得∠CEA的度数，再利用三角形ACE的内角和等于180°，即可求得答案．
【解答】解：∵AE∥BD，∠2＝35°，
∴∠CEA＝∠2＝35°，
又∵∠1＝115°，
∴∠C＝180°﹣∠CEA﹣∠1＝180°﹣115°﹣35°＝30°．
【点评】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的运用．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
19．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）补全图形；
（2）求∠CBE的度数；
（3）已知F为AC延长线上一点，连接DF，若∠AFD＝25°，请判断BE与DF的位置关系为 BE∥DF ．
【分析】（1）根据题意作图；
（2）先求外角，再利用角平分线定义求解；
（3）利用平行线的判定求解．
【解答】解：（1）补全图形如下：
（2）∵∠CBD＝∠ACB+∠A＝130°，
∵∠CBD的平分线是BE，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；
（3）∵∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝25°，
∵∠AFD＝25°，
∴∠CEB＝∠AFD，
∴BE∥DF．
故答案为：BE∥DF．
【点评】本题考查了三角形的内角和平行线的性质和判定，角平分线的定义也是解题的关键．
20．（5分）已知点A（3a﹣6，a+1），试分别根据下列条件，求出点A的坐标，
（1）点A在x轴上；
（2）点A在过点P（3，﹣2），且与y轴平行的直线上．
【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a的值，再求解即可；
（2））根据平行于y轴的直线上的点的纵坐标相同列方程求出a的值，再求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（3a﹣6，a+1）在x轴上，
∴a+1＝0，
解得a＝﹣1，
∴3a﹣6＝﹣3﹣6＝﹣9，
∴点A的坐标为（﹣9，0）；
（2）∵点A在过点P（3，﹣2），且与y轴平行的直线上，
∴3a﹣6＝3，
解得a＝3，
∴a+1＝3+1＝4，
∴点A的坐标为（3，4）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键．
21．（6分）如图，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，且∠A＝60°，求∠BOC的度数．
【分析】利用角平分线的性质求出∠2+∠4的度数，再由三角形的内角和定理便可求出∠BOC．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠4＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，
故∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及三角形内角和定理，属较简单题目．
22．（6分）对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（m+a，n+b），其中a，b为常数，f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A（x，y）规定“F变换”；点A（x，y）在F的变换下的对应点即为坐标是f（x，y）的点A'．
（1）当a＝0，b＝0时，f（﹣2，4）＝ （﹣1，2） ．
（2）若点P（2，﹣2）在F变换下的对应点是它本身，求ab的值．
【分析】（1）根据新定义运算法则解得；
（2）根据新定义运算法则得到关于a、b的方程，通过解方程求得它们的值即可．
【解答】解：（1）依题意得：f（﹣2，4）＝（×（﹣2）+0，×4﹣0）＝（﹣1，2）．
故答案是：（﹣1，2）；
（2）依题意得：f（2，﹣2）＝（×2+a，×（﹣2）﹣b）＝（2，﹣2）．
所以×2+a＝2，×（﹣2）+b＝﹣2，
所以a＝1，b＝﹣1．
∴ab＝﹣1．
【点评】本题考查了坐标与图形性质．关键是掌握对有序数对（m，n）定义“f运算”法则．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出三角形ABC，并求其面积；
（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过 △ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△A′B′C′， 平移得到的．
（3）已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是（ a+4 ， b﹣3 ）．
【分析】（1）根据点的位置作出图形，利用分割法求出三角形的面积即可；
（2）结合图象，利用平移变换的性质解决问题；
（3）利用平移变换的规律解决问题．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求，S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×3×2＝8；
（2）△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△A′B′C′，
故答案为：△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△A′B′C′，
（3）P′（a+4，b﹣3），
故答案为：a+4，b﹣3．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
24．（5分）如图1所示，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，∠B＜∠C，F为AE上一点，且FD⊥BC于D．
（1）试推导∠EFD与∠B、∠C的大小关系．
（2）如图2所示，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，在（1）中推导的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义表示出∠BAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AEC，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解；
（2）与（1）的求解过程完全相同．
【解答】解：（1）∠EFD＝（∠C﹣∠B）．
理由如下：∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），
在△ABE中，∠AEC＝∠BAE+∠B＝（180°﹣∠B﹣∠C）+∠B＝90°+∠B﹣∠C，
∵FD⊥BC，
∴∠EFD＝90°﹣（90°+∠B﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）；
（2）仍然成立．
又（1）知∠DEF＝∠AEC＝90°+∠B﹣∠C，
∴∠EFD＝（∠C﹣∠B）．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
25．（5分）为庆祝中国共产党建党100周年，使学生进一步了解中国共产党的历史，某学校组织了“党史百年天天读”活动，并进行了一次全校2000名学生都参加的书面测试，阅卷后，教学处随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现考试成绩x（分）的最低分为50分，最高分为满分100分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表：
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）在频数分布表中，a＝ 20 ；b＝ 0.26 ；
（2）请将频数分布直方图补充完整，并在图中标明相应数据；
（3）该校对成绩为90≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一，二，三等奖，各奖项的人数占比如扇形统计图所示．
①在扇形图中，二等奖所在扇形的圆心角度数为 108 °；
②请你估算全校获得一等奖的学生人数约为 40 人．
【分析】（1）先计算出样本容量，再根据频率＝频数÷样本容量求解即可；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）①用360°乘以对应的百分比即可；②用总人数乘以90≤x≤100的学生人数所占比例，再乘以一等奖对应的百分比即可．
【解答】解：（1）∵样本容量为4÷0.04＝100，
∴a＝100×0.2＝20，b＝26÷100＝0.26，
故答案为：20、0.26；
（2）补充频数分布直方图如下：
（3）①在扇形图中，二等奖所在扇形的圆心角度数为360°×30%＝108°；
②估计全校获得一等奖的学生人数约为2000××10%＝40（人）．
故答案为：108、40．
【点评】本题考查的是频数分布直方图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．直方图能清楚地表示出每个项目的数据，也考查了利用样本估计总体的思想．
26．（6分）阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，
即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，
则．
理由：∵BD＝CD，∴＝，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索
在如图2至图4中，△ABC的面积为a．
（1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1＝ a （用含a的代数式表示）；
（2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2＝ 2a （用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S3，则S3＝ 6a （用含a的代数式表示）．
拓展与应用
如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求图中阴影部分的面积？
【分析】（1）根据等底同高的三角形面积相等，可知道△ACD的面积和△ABC的面积相等．
（2）根据等底同高的三角形面积相等，可知道S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a，从而可求出结果．
（3）阴影部分的面积为三个三角形，这三个三角形面积相等，从（2）可知都为2a．可求出阴影部分的面积．
（4）连接：AO，BO，CO，DO，根据等底同高的三角形面积相等，可求出结果．
【解答】解：（1）a；
（2）2a；
连接AD，∵S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a，∴S△DCE＝2a
（3）6a
拓展与应用：
连接：AO，BO，CO，DO，∵S△AOE＝S△BOE＝S△AOB，
同理：，，
∴．
【点评】本题考查三角形的面积，关键知道等底同高的面积相等，从而可求出解．
27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α．
（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB的大小；
（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在BC的延长线上运动，且α≠50°，直接写出∠AED的大小（用含α的式子表示）．
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得结论；
（2）根据三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余可得结论；
（3）分情况讨论：α＞50°或α＜50°根据三角形内角和可得结论．
【解答】解：（1）如图1，当α＝60°时，∠APC＝60°，
△APB中，∠PAB＝∠APC﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，
（2）如图2，同（1）得：∠PAB＝α﹣40°，
∵CE⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠PAB+∠AED＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠PAB＝90°﹣（α﹣40°）＝130°﹣α，
（3）如图3，当α＞50°时，
△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，
∴∠CAP＝90°﹣α，
∵CD⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（50°+90°﹣α）＝α﹣50°，
②如图4，当α＜50°时，
∴∠AED＝90°﹣∠PAE＝90°﹣（α+40°）＝50°﹣α，
综上，∠AED为α﹣50°或50°﹣α．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、直角三角形的两锐角互余、垂线的性质，熟练掌握这些性质是关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），定义k|x1﹣x2|+（1﹣k）|y1﹣y2|为点M和点N的“k阶距离”，其中0≤k≤1．例如：点M（1，3），N（﹣2，4）的阶距离”为．已知点A（﹣1，2）．
（1）若点B（0，4），求点A和点B的“阶距离”；
（2）若点B在x轴上，且点A和点B的“阶距离”为4，求点B的坐标；
（3）若点B（a，b），且点A和点B的“阶距离”为1，直接写出a+b的取值范围．
【分析】（1）根据“k阶距离”的定义计算点A与点B之间的“阶距离”．
（2）设出点B的坐标，再根据“阶距离”的定义列出方程，求出字母的值，从而确定点B的坐标，注意x轴上的点的纵坐标为0．
（3）根据“阶距离”的定义列出关于字母a和b的式子，当a和b在不同的取值范围内将含有a和b的式子中的绝对值去掉，从而求得a+b的取值范围．
【解答】解：（1）由题知，点A（﹣1，2）和点B（0，4）的“阶距离”为+（1﹣）|2﹣4|＝+＝．
（2）∵点B在x轴上，
∴设点B的横坐标为m，则点B的坐标为（m，0），
∵点A（﹣1，2）和点B（m，0）的“阶距离”为4，
∴＝4，
＝，
|﹣1﹣m|＝8，
∴﹣1﹣m＝8或﹣1﹣m＝﹣8，
∴m＝﹣9或7，
∴点B的坐标为（﹣9，0）或（7，0）．
（3）∵点A（﹣1，2）和点B（a，b）的“阶距离”为1，
∴.＝1，
|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝2，
①当a≤﹣1，且b≤2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝﹣1﹣a+2﹣b，由此得出a+b＝﹣1，
②当a≤﹣1，且b＞2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝﹣1﹣a+b﹣2，由此得出b＝5+a，则a+b＝2a+5，
∵b＞2，
即5+a＞2，
∴a＞﹣3
∵a≤﹣1，
∴﹣3＜a≤﹣1
∴﹣1＜2a+5≤3，即﹣1＜a+b≤3，
③当a＞﹣1，且b＜2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+2﹣b，由此得出a＝b﹣1，则a+b＝2b﹣1，
∵a＞﹣1，
即b﹣1＞﹣1，
∴b＞0，
∵b＜2，
∴0＜b＜2，
∴﹣1＜2b﹣1＜3，即﹣1＜a+b＜3，
④当a＞﹣1，且b≥2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+b﹣2，由此得出a+b＝3，
综上所得，﹣1≤a+b≤3．
【点评】本题考查的是点的坐标，根据题中“k阶距离”的定义求出点两点之间的“k阶距离”并能由给出的两点间的“k阶距离”求出点的坐标，理解“k阶距离”的含义是解答本题的关键．
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频数
频率
50≤x＜60
4
0.04
60≤x＜70
a
0.20
70≤x＜80
30
0.30
80≤x＜90
26
b
90≤x＜100
15
0.15
100≤x＜110
5
0.05
分数段（x分）
频数
频率
50≤x＜60
4
0.04
60≤x＜70
a
0.20
70≤x＜80
30
0.30
80≤x＜90
26
b
90≤x＜100
15
0.15
100≤x＜110
5
0.05