2022-2023学年北京市西城外国语学校七年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市西城外国语学校七年级（上）期中数学试卷【含解析】，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题，选做题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）﹣6的绝对值是（ ）
A．﹣6B．﹣C．D．6
2．（2分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕．此次冬奥会的单板大跳台项目场馆坐落在北京市首钢园区的北京冬季奥林匹克公园，园区总占地面积171.2公顷即1712000平方米．将1712000用科学记数法表示应为（ ）
A．1712×103B．1.712×107C．1.712×106D．0.1712×107
3．（2分）下列各数中，是负整数的是（ ）
A．﹣23B．﹣|﹣0.1|C．D．（﹣2）2
4．（2分）有理数a，b在数轴上的对应点A，B的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．|a|＜2B．a+b＞0C．b﹣a＜0D．﹣a＞b
5．（2分）下面说法正确的是（ ）
A．2ab2的次数是2B．的系数是3
C．﹣2x是单项式D．x2+2xy是四次多项式
6．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．3x2﹣2x＝xB．﹣2y﹣2y＝0
C．ab﹣6ba＝﹣5abD．4a2b+2ab2＝6a2b
7．（2分）已知关于x的方程10﹣2x＝ax的解是x＝2，则a的值为（ ）
A．3B．C．D．﹣3
8．（2分）下列变形正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么x+5＝y﹣5B．如果x＝y，那么﹣2x＝﹣2y
C．如果x＝y，那么 D．如果 ，那么x＝3
9．（2分）古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（ ）
A．10B．20C．﹣25D．﹣5
10．（2分）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，摆成第⑧个图案需要棋子的个数为（ ）
A．73B．89C．91D．100
二、填空题（共16分，每题2分）
11．（2分）比大小： ．
12．（2分）用四舍五入法把2.685精确到0.01，所得到的近似数为 ．
13．（2分）写一个含有字母x，y的三次二项式，其中常数项为﹣1，你写的三次二项式是 ．
14．（2分）如果单项式﹣xmy3与4xyn+4是同类项，那么m＝ ，n＝ ．
15．（2分）若（m﹣1）x|m|﹣2＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 ．
16．（2分）若x2+x＝3，则代数式2x2+2x﹣13的值是 ．
17．（2分）轮船顺水航行3h，又逆水航行2h，已知轮船在静水中的速度为akm/h，水流速度为bkm/h，则轮船共航行了 km．（结果需化简）
18．（2分）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．
例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝ ，n＝ ．
三、解答题（共64分，第19题18分，第20-21题，每题5分，第22题12分，第23-26题，每题6分）
19．（18分）计算：
（1）（﹣20）+（﹣3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）﹣2.5÷﹣（﹣1）2021；
（3）；
（4）﹣22﹣|﹣|÷（﹣）+[1﹣（﹣3）2]．
20．（5分）解方程：2x﹣3＝4x+5．
21．（5分）化简：4x2﹣8xy2﹣2x2+3y2x+1．
22．（12分）化简求值：
（1）已知：a2﹣2a﹣1＝0，求（4a2+a﹣5）﹣3（a+a2）的值．
（2）已知：（a﹣2）2+|b+|＝0，求3a2b﹣[2a2﹣（ab2﹣3a2b）﹣4ab2]．
23．（6分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于3，求+（m+1）2﹣cd的值．
24．（6分）某校七年级组织同学们采摘柿子，共摘得10筐，每筐柿子质量各不相同，为了计算简便，以每筐15kg为标准，超过标准质量的数记作正数，不足的数记作负数，所做记录如下：
（1）在同学们摘得的10筐柿子中，质量最多的一筐是 kg，质量最少的一筐是 kg；
（2）同学们共摘得柿子多少千克？
25．（6分）观察下列式子，定义一种新运算：
1⊗3＝4×1﹣3＝1；
5⊗2＝4×5﹣2＝18；
3⊗（﹣1）＝4×3+1＝13；
（﹣2）⊗（﹣3）＝4×（﹣2）+3＝﹣5．
（1）请你想一想：a⊗b＝ （用含a，b的式子表示）；
（2）如果a⊗（﹣5）＝（﹣3）⊗a，求a的值．
26．（6分）已知点P，点A，点B是数轴上的三个点．若点P到原点的距离等于点A，点B到原点距离的和的2倍，则称点P为点A和点B的“2倍点”．
（1）已知点A表示1，点B表示﹣2，下列各数﹣6，﹣3，0，6在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，其中是点A和点B的“2倍点”的有 ；
（2）已知点A表示，点B表示m，点P为点A和点B的“2倍点”，且点P到原点的距离为10，求m的值；
（3）已知点A表示a（a＜0），将点A沿数轴负方向移动3个单位长度，得到点B．当点P为点A和点B的“2倍点”时，直接写出点P与点A的距离（用含a的式子表示）．
四、选做题（共10分，第27题4分，第28题6分）
27．（4分）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣1，2，3}＝，max{﹣1，2，3}＝3，如果M{3，x+1，2x﹣1}＝max{2，2x﹣6，﹣x+5}，那么x＝ ．
28．（6分）现有若干有理数排成一个圆圈，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都减去同一个有理数，其余各数不变．图1是小云两次操作的示意图，将圆圈上的三个数变为了相同的数：
（1）请画出相应的操作示意图，将图2圆圈上的有理数都变为相同的数（箭头上不需标注具体操作）；
（2）如图3，若要将圆圈上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由；
（3）能否将2，3，4，6这4个有理数以某种方式排列在圆圈上，使得通过若干次操作将这4个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由．
2022-2023学年北京市西城外国语学校七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共20分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）﹣6的绝对值是（ ）
A．﹣6B．﹣C．D．6
【分析】根据绝对值的定义求解．
【解答】解：|﹣6|＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（2分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕．此次冬奥会的单板大跳台项目场馆坐落在北京市首钢园区的北京冬季奥林匹克公园，园区总占地面积171.2公顷即1712000平方米．将1712000用科学记数法表示应为（ ）
A．1712×103B．1.712×107C．1.712×106D．0.1712×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1712000＝1.712×106．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（2分）下列各数中，是负整数的是（ ）
A．﹣23B．﹣|﹣0.1|C．D．（﹣2）2
【分析】先利用乘方的意义、绝对值的意义和相反数的定义对各数进行计算，然后利用有理数的分类进行判断．
【解答】解：﹣23＝﹣8，﹣|﹣0.1|＝﹣0.1，﹣（﹣）﹣，（﹣2）2＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了相反数和绝对值．
4．（2分）有理数a，b在数轴上的对应点A，B的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．|a|＜2B．a+b＞0C．b﹣a＜0D．﹣a＞b
【分析】利用A，B在数轴上的位置可知a＜0＜b，|b|＜|a|，即可判断A，B，C，D四个结论是否正确．
【解答】解：由题意，得：
|a|＞2，
故选项A错误，不符合题意；
∵a＜0＜b，|b|＜|a|，
∴a+b＜0，
故选项B错误，不符合题意；
∵b＞a，
∴b﹣a＞0，
故选项C错误，不符合题意；
∵a＜0＜b，|b|＜|a|，
∴﹣a＞b，
故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查数轴与绝对值的知识，解题的关键是熟练掌握数轴与绝对值的知识．
5．（2分）下面说法正确的是（ ）
A．2ab2的次数是2B．的系数是3
C．﹣2x是单项式D．x2+2xy是四次多项式
【分析】根据单项式与多项式的相关定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、2ab2的次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、﹣2x是单项式，原说法正确，故此选项符合题意；
D、x2+2xy是二次多项式，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了单项式与多项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
6．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．3x2﹣2x＝xB．﹣2y﹣2y＝0
C．ab﹣6ba＝﹣5abD．4a2b+2ab2＝6a2b
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
【解答】解：A．3x2与﹣2x不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．﹣2y﹣2y＝﹣4y，故本选项不合题意；
C．ab﹣6ba＝﹣5ab，故本选项符合题意；
D．4a2b与2ab2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
7．（2分）已知关于x的方程10﹣2x＝ax的解是x＝2，则a的值为（ ）
A．3B．C．D．﹣3
【分析】根据已知方程的解为x＝2，将x＝2代入方程求出a的值即可．
【解答】解：把x＝2代入方程10﹣2x＝ax，得10﹣4＝2a，
解得：a＝3．
故选：A．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
8．（2分）下列变形正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么x+5＝y﹣5B．如果x＝y，那么﹣2x＝﹣2y
C．如果x＝y，那么 D．如果 ，那么x＝3
【分析】根据等式的性质判断即可．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【解答】解：A．如果x＝y，那么x+5＝y+5，故本选项不合题意；
B．如果x＝y，那么﹣2x＝﹣2y，故本选项符合题意；
C．如果x＝y，当c≠0时，那么，故本选项不合题意；
D．如果 ，那么x＝12，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键．
9．（2分）古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（ ）
A．10B．20C．﹣25D．﹣5
【分析】根据正负数以及绝对值表示的含义解题即可．
【解答】解：由题意可知，指针指向负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，
∴选C或D，
又∵指针越接近0就越接近标准音，|﹣25|＝25，|﹣5|＝5，25＞5，
∴﹣5更接近0，
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，理解正负数表示的含义是解题的关键．
10．（2分）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，摆成第⑧个图案需要棋子的个数为（ ）
A．73B．89C．91D．100
【分析】根据图形的变化归纳出第n个图案需要棋子个数为：n2+n+1，即可求解．
【解答】解：由图知，第1个图案中棋子的个数为1+2＝12+1+1，
第2个图案中棋子的个数为4+3＝22+2+1，
第3个图案中棋子的个数为9+4＝32+3+1，
第4个图案中棋子的个数为16+5＝42+4+1，
…，
第n个图案需要棋子个数为n2+n+1，
∴第⑧个这样的图案需要棋子个数为82+8+1＝64+9＝73，
故选：A．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第n个图案需要黑色棋子个数为（n2+n+1）是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
11．（2分）比大小： ＞ ．
【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣|＝，，
∴，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查有理数的大小比较，关键是要牢记有理数的大小规定．
12．（2分）用四舍五入法把2.685精确到0.01，所得到的近似数为 2.69 ．
【分析】对千分位数字5四舍五入即可．
【解答】解：用四舍五入法将2.685精确到0.01，所得到的近似数是2.69，
故答案为：2.69．
【点评】本题主要考查近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
13．（2分）写一个含有字母x，y的三次二项式，其中常数项为﹣1，你写的三次二项式是 x2y﹣1 ．
【分析】根据多项式的项和次数定义即可求解．
【解答】解：由题意可知：
满足含有字母x，y的三次二项式，其中常数项为﹣1的三次二项式有：x2y﹣1，
故答案为：x2y﹣1．
【点评】本题主要考查了多项式，理解题意掌握多项式的项和次数的定义是解题的关键
14．（2分）如果单项式﹣xmy3与4xyn+4是同类项，那么m＝ 1 ，n＝ ﹣1 ．
【分析】根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，即可解答．
【解答】解：由题意得：m＝1，3＝n+4，
解得：n＝﹣1．
故答案为：1，﹣1．
【点评】此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．
15．（2分）若（m﹣1）x|m|﹣2＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 ﹣1 ．
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：
，
∴，
解得m＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．
16．（2分）若x2+x＝3，则代数式2x2+2x﹣13的值是 ﹣7 ．
【分析】根据x2+x＝3，可得2x2+2x＝6，代入2x2+2x﹣13中即可求解．
【解答】解：∵x2+x＝3，
∴2x2+2x﹣13
＝2（x2+x）﹣13
＝2×3﹣13
＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题主要考查了代数式求值，理解题意是解题的关键，运用了整体代入的数学思想．
17．（2分）轮船顺水航行3h，又逆水航行2h，已知轮船在静水中的速度为akm/h，水流速度为bkm/h，则轮船共航行了 （5a+b） km．（结果需化简）
【分析】分别表示出顺水和逆水的速度，然后求出总路程．
【解答】解：顺水的速度为（a+b）km/h，逆水的速度为（a﹣b）km/h，
则总航行路程＝3（a+b）+2（a﹣b）＝（5a+b）（km）．
故答案为：（5a+b）．
【点评】本题考查了列代数式，解答本题的关键是根据题意列出代数式，注意掌握去括号法则和合并同类项法则．
18．（2分）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．
例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝ 1 ，n＝ 2 ．
【分析】由题意可得，m+n+8＝11，ad＝10n+4，bc＝10m+2，再推理出m、n的值即可．
【解答】解：由题意可得，m+n+8＝11，
∴m+n＝3，
∵ad＝10n+4，
∴n＝0或n＝1或n＝2或n＝3，
∵bc＝10m+2，
∴m＝3或m＝1或m＝0，
∵ac＝18＝2×9＝3×6，
∴m＝1，
∴n＝2，
故答案为：1，2．
【点评】本题考查了有理数的乘法，“铺地锦”格子的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（共64分，第19题18分，第20-21题，每题5分，第22题12分，第23-26题，每题6分）
19．（18分）计算：
（1）（﹣20）+（﹣3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）﹣2.5÷﹣（﹣1）2021；
（3）；
（4）﹣22﹣|﹣|÷（﹣）+[1﹣（﹣3）2]．
【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除，后计算减法即可；
（3）根据乘法分配律计算即可；
（4）先计算乘方，再计算除法，后计算加法即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣20﹣3+5﹣7
＝5﹣（20+3+7）
＝5﹣30
＝﹣25；
（2）原式＝
＝﹣1+1
＝0；
（3）原式＝
＝
＝；
（4）原式＝﹣4﹣+（1﹣9）
＝﹣4+﹣8
＝．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（5分）解方程：2x﹣3＝4x+5．
【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可得出答案．
【解答】解：移项，得2x﹣4x＝5+3，
合并同类项，得﹣2x＝8，
系数化成1，得x＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
21．（5分）化简：4x2﹣8xy2﹣2x2+3y2x+1．
【分析】直接合并同类项进而得出答案．
【解答】解：4x2﹣8xy2﹣2x2+3y2x+1
＝（4x2﹣2x2）+（﹣8xy2+3xy2）+1
＝2x2﹣5xy2+1．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
22．（12分）化简求值：
（1）已知：a2﹣2a﹣1＝0，求（4a2+a﹣5）﹣3（a+a2）的值．
（2）已知：（a﹣2）2+|b+|＝0，求3a2b﹣[2a2﹣（ab2﹣3a2b）﹣4ab2]．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项；
（2）|a﹣4|+（b+1）2＝0中，|a﹣4|与（b+1）2都是非负数．
【解答】解：（1）原式＝4a2+a﹣5﹣3a﹣3a2
＝a2﹣2a﹣5．
因为a2﹣2a﹣1＝0，
所以a2﹣2a＝1，
原式＝1﹣5＝﹣4；
（2）由条件，得a＝2，b＝﹣．
3a2b﹣[2a2﹣（ab2﹣3a2b）﹣4ab2]
＝3a2b﹣（2a2﹣ab2+3a2b﹣4ab2）
＝3a2b﹣2a2+ab2﹣3a2b+4ab2
＝5ab2﹣2a2．
将a＝2，b＝﹣代入得：
原式＝5×2×﹣2×4
＝2.5﹣8
＝﹣5.5．
【点评】本题考查整式混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是解题的关键．
23．（6分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于3，求+（m+1）2﹣cd的值．
【分析】利用倒数，相反数的性质，以及绝对值的代数意义求出a+b，cd，m的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于3，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±3，
当m＝3时，+（m+1）2﹣cd＝0+16﹣1＝15；
当m＝﹣3时，+（m+1）2﹣cd＝0+4﹣1＝3．
故+（m+1）2﹣cd的值为3或15．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（6分）某校七年级组织同学们采摘柿子，共摘得10筐，每筐柿子质量各不相同，为了计算简便，以每筐15kg为标准，超过标准质量的数记作正数，不足的数记作负数，所做记录如下：
（1）在同学们摘得的10筐柿子中，质量最多的一筐是 16.1 kg，质量最少的一筐是 13.7 kg；
（2）同学们共摘得柿子多少千克？
【分析】（1）比较有理数的大小找出最大数与最小数即可；
（2）可以先求出这10筐比标准多或少重量，再加上10筐的标准重量即可．
【解答】解：质量最多的一筐是：15+1.1＝16.1（千克），质量最少的一筐是：15﹣1.3＝13.7（千克），
故答案为：16.1；13.7；
（2）+0.8﹣1﹣0.3+1.1+0.7+0.2﹣0.4+1﹣0.7﹣1.3＝0.1（千克），
10×15+（+0.1）＝150.1（千克）．
答：同学们共摘得柿子150.1千克．
【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键．
25．（6分）观察下列式子，定义一种新运算：
1⊗3＝4×1﹣3＝1；
5⊗2＝4×5﹣2＝18；
3⊗（﹣1）＝4×3+1＝13；
（﹣2）⊗（﹣3）＝4×（﹣2）+3＝﹣5．
（1）请你想一想：a⊗b＝ 4a﹣b （用含a，b的式子表示）；
（2）如果a⊗（﹣5）＝（﹣3）⊗a，求a的值．
【分析】（1）根据定义新运算解答；
（2）根据定义新运算得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得a⊗b＝4a﹣b，
故答案为：4a﹣b；
（2）∵a⊗（﹣5）＝（﹣3）⊗a，
∴4a+5＝4×（﹣3）﹣a，
解得a＝﹣3.4．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算、解一元一次方程，正确理解新定义、掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
26．（6分）已知点P，点A，点B是数轴上的三个点．若点P到原点的距离等于点A，点B到原点距离的和的2倍，则称点P为点A和点B的“2倍点”．
（1）已知点A表示1，点B表示﹣2，下列各数﹣6，﹣3，0，6在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，其中是点A和点B的“2倍点”的有 P1，P4 ；
（2）已知点A表示，点B表示m，点P为点A和点B的“2倍点”，且点P到原点的距离为10，求m的值；
（3）已知点A表示a（a＜0），将点A沿数轴负方向移动3个单位长度，得到点B．当点P为点A和点B的“2倍点”时，直接写出点P与点A的距离（用含a的式子表示）．
【分析】（1）根据新定义进行解答便可；
（2）根据新定义列出方程解答便可；
（3）根据定义先求得P点表示的数，再根据两点距离公式求得结果．
【解答】解：（1）∵点A表示1，点B表示﹣2，
∴点A，点B到原点距离的和的2倍为：（1+|﹣2|）×2＝6，
∵﹣6，﹣3，0，6在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，
∴P1，P4到原点的距离为6，
∴点A和点B的“2倍点”的有P1，P4，
故答案为：P1，P4；
（2）根据题意得，
解得m＝±3.5；
（3）设点P表示的数为x，
根据题意得|x|＝2（|a|+|a﹣3|），
∴|x|＝﹣4a+6，
∴x＝﹣4a+6或4a﹣6，
∴PA＝|（﹣4a+6）﹣a|＝|﹣5a+6|＝﹣5a+6或PA＝|a﹣（4a﹣6）|＝|﹣3a+6|＝﹣3a+6，
∴点P与点A的距离为（﹣5a+6）或（﹣3a+6）．
【点评】本题考查了数轴，理解题目已知条件中点P为点A和点B的“2倍点”是解题的关键．
四、选做题（共10分，第27题4分，第28题6分）
27．（4分）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣1，2，3}＝，max{﹣1，2，3}＝3，如果M{3，x+1，2x﹣1}＝max{2，2x﹣6，﹣x+5}，那么x＝ 2或7 ．
【分析】根据新定义得到M{3，x+1，2x﹣1}＝x+1，再讨论：当时，解得3＜x＜4，所以max{2，2x﹣6，﹣x+5}＝2，即x+1＝2；当时，解得x＞4，所以max{2，2x﹣6，﹣x+5}＝2x﹣6，即x+1＝2x﹣6；当时，解得x＜3，所以max{2，2x﹣6，﹣x+5}＝﹣x+5，即x+1＝﹣x+5，然后分别解方程得到满足条件的x的值．
【解答】解：M{3，x+1，2x﹣1}＝＝x+1，
当时，解得3＜x＜4，则max{2，2x﹣6，﹣x+5}＝2，
此时x+1＝2，
解得x＝1（舍去）；
当时，解得x＞4，则max{2，2x﹣6，﹣x+5}＝2x﹣6，
此时x+1＝2x﹣6，
解得x＝7；
当时，解得x＜3，则max{2，2x﹣6，﹣x+5}＝﹣x+5，
此时x+1＝﹣x+5，
解得x＝2；
综上所述，x的值为2或7．
故答案为：2或7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了分类讨论的思想方法．
28．（6分）现有若干有理数排成一个圆圈，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都减去同一个有理数，其余各数不变．图1是小云两次操作的示意图，将圆圈上的三个数变为了相同的数：
（1）请画出相应的操作示意图，将图2圆圈上的有理数都变为相同的数（箭头上不需标注具体操作）；
（2）如图3，若要将圆圈上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由；
（3）能否将2，3，4，6这4个有理数以某种方式排列在圆圈上，使得通过若干次操作将这4个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）由所给例子，即可求解，但答案不唯一；
（2）如果只进行一次操作，只能改变相邻2个数，剩下2个数不相等，因此至少需要操作两次；
（3）所给的4个数的和是奇数，因此无论怎么样操作，最终都不会得到4个数的和是偶数．
【解答】解：（1）答案不唯一：
（2）最少需要操作两次，理由如下：如果只进行一次操作，只能改变相邻2个数，剩下2个数不相等，因此至少需要操作两次，而两次操作具体示意图如下；
（3）不论这4个数如何排列，均不能通过若干次操作将这4个有理数变为相同，理由如下：
∵2+3+4+6＝15，
∴每一次操作相邻的两个数都加上同一个有理数，则得到的四个数的和是奇数，
∵最终得到4个相同的数，
∴最后得到的4个数的和是偶数，
∴不论这4个数如何排列，均不能通过若干次操作将这4个有理数变为相同．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据题中所给数字规律，探索出数字之间的变化规律是解题的关键．
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