2021-2022学年北京市朝阳区和平街一中九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市朝阳区和平街一中九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共33页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）
2．（2分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3x+2＝0B．x2﹣xy＝2C．x2+＝2D．2（x﹣1）＝x
4．（2分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是（ ）
A．直线x＝aB．直线x＝2aC．直线x＝1D．直线x＝﹣1
5．（2分）二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
6．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
7．（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10mB．15mC．20mD．22.5m
8．（2分）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式 ．
10．（2分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为 ．
11．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，由图可知，当x≥1时，y的取值范围是 ．当y≥0时，x的取值范围是 ．
12．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为 ．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程： ．
14．（2分）在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为 （用“＞”连接）．
15．（2分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2019年底至2021年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2019年底至2021年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac，正确的有 ．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ；
（3）在坐标系中画出此抛物线．
19．（5分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有两个不相等的实数根，如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值及此时方程的根．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3）．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的解析式．
22．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
23．（5分）如图，利用一面墙（墙的长度18m），另三边用30m长的篱笆围成一个矩形场地，求矩形场地的两条边各为多少时，面积最大？最大面积是多少？
24．（6分）四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF＝3，AB＝7，
求（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE的长度；
（3）BE与DF的位置关系如何？请说明理由．
25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）求点C纵坐标（用含有a的代数式表示）；
（3）已知点P（5，﹣4）．将点C向下移动一个单位，得到点D．若二次函数图象与线段PD只有一个交点，求a的取值范围．
26．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0）、O（0，0）、B（2，2）．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1和点B1的坐标；
（3）求点B旋转到点B1所经过的路径长．
27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．
（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α＝ °，AA'＝ ；
（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．
①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；
②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图．
（1）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q；
①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为 ；
②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为 ；
（2）如图2，已知点C的坐标为（1，0），点D在直线y＝x+1上，若点D关于点C的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D的坐标；
（3）如图3，已知图形G是端点为（1，0）和（0，﹣2）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点T（0，t），使得点M关于点T的“垂链点”恰为点N，请直接写出t的取值范围．
2021-2022学年北京市朝阳区和平街一中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）
【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．
【解答】解：因为y＝（x﹣1）2﹣1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，﹣1）．
故选：C．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
2．（2分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（2分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3x+2＝0B．x2﹣xy＝2C．x2+＝2D．2（x﹣1）＝x
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A、它是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意；
D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
4．（2分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是（ ）
A．直线x＝aB．直线x＝2aC．直线x＝1D．直线x＝﹣1
【分析】先把函数解析式化成顶点式，即可得出答案．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是直线x＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
5．（2分）二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣2），也就是当x＝﹣1，函数有最大值﹣2．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣2），即当x＝﹣1函数有最大值﹣2
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
6．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
【分析】利用抛物线的对称性确定（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，
∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），
当﹣3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
7．（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10mB．15mC．20mD．22.5m
【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
【解答】解：
法一：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），
则
解得，
所以x＝﹣＝﹣＝15（m）．
法二：∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越近，位置越高，
从A、C两点来看，对称轴更靠近A，即在20左边，
从A、B两点来看，对称轴更靠近B，即在10右边，
故选：B．
【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．
8．（2分）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据直线y＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c相交于M、N两点，可以得到方程kx＝ax2+bx+c有两个不同的根，从而可以得到函数y＝ax2+（b﹣k）x+c与x轴的交点个数和交点的正负情况，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx交于M，N两点，
∴kx＝ax2+bx+c有两个不同的根，
即ax2+（b﹣k）x+c＝0有两个不同的根且都小于0，
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x+c与x轴两个交点且都在x轴的负半轴，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式 y＝﹣x2 ．
【分析】根据开口向下，可知a＜0，再根据经过原点，可知c＝0，从而可以写出一个符合要求的二次函数解析式，本题得以解决，注意本题答案不唯一．
【解答】解：开口向下，经过原点的二次函数的表达式是y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（2分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为 （﹣3，2） ．
【分析】将点P绕原点旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（3，﹣2），
∴点P′的坐标（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．
11．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，由图可知，当x≥1时，y的取值范围是 y≥0 ．当y≥0时，x的取值范围是 x≥1或x≤﹣2.5 ．
【分析】利用函数图象得出y、x的取值范围．
【解答】解：由图象可得：当x≥1时，y的取值范围是 y≥0．当y≥0时，x的取值范围是 x≥1或x≤﹣2.5．
故答案为：y≥0；x≥1或x≤﹣2.5．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用数形结合得出是解题关键．
12．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为 1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝m2﹣4m＝0，将其代入2m2﹣8m+1中即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝m2﹣4m＝0，
∴2m2﹣8m+1＝2（m2﹣4m）+1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程： 以点C为中心，将△OCD顺时针旋转90°，再将得到的三角形向左平移2个单位长度 ．
【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．
【解答】解：以点C为中心，将△OCD顺时针旋转90°，再将得到的三角形向左平移2个单位长度（答案不唯一）．
故答案为：以点C为中心，将△OCD顺时针旋转90°，再将得到的三角形向左平移2个单位长度．
【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．
14．（2分）在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为 a3＞a2＞a1 （用“＞”连接）．
【分析】抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定的，系数越大，开口越小．
【解答】解：∵二次函数y1＝a1x2的开口最大，二次函数y3＝a3x2的开口最小，
∴a3＞a2＞a1，
故答案为：a3＞a2＞a1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是解题的关键．
15．（2分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2019年底至2021年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2019年底至2021年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 2.44（1+x）2＝6.72 ．
【分析】利用2021年底全国拥有民用无人机驾驶执照的人数＝2019年底全国拥有民用无人机驾驶执照的人数×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：2.44（1+x）2＝6.72．
故答案为：2.44（1+x）2＝6.72．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac，正确的有 ①③④ ．
【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性以及由x＝﹣1时y＞0可判断②，由抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），即可判断③；利用抛物线的顶点的纵坐标为3得到＝3，即可判断④．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，
∴c＞3a，所以②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），
∴抛物线与直线y＝2有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴＝3，
∴b2+12a＝4ac，
∵4a﹣b＝0，
∴b＝4a，
∴b2+3b＝4ac，
∵a＜0，
∴b＝4a＜0，
∴b2+2b＞4ac，所以④正确；
故答案为①③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0，
则x+1＝0或x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或x＝5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
18．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）与x轴的交点坐标是 （﹣1，0），（3，0） ，与y轴的交点坐标是 （0，﹣3） ；
（3）在坐标系中画出此抛物线．
【分析】（1）将函数解析化为顶点式求解；
（2）把y＝0，x＝0代入函数解析式求解；
（3）根据抛物线与x轴及y轴交点作图．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣4．
（2）把y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得0＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
令x＝0，得y＝﹣3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），
故答案为：（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3）；
（3）如图，
【点评】本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象上点的特征．
19．（5分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA＝BD，从而得到∠A＝∠ADB，根据∠A＝∠BDE得到∠ADB＝∠BDE，从而证得结论．
【解答】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE
∴BA＝BD．
∴∠A＝∠ADB．
∵∠A＝∠BDE，
∴∠ADB＝∠BDE．
∴DB平分∠ADE．
【点评】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了邻补角定义．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有两个不相等的实数根，如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值及此时方程的根．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4×2＞0，然后解不等式即可得到m的范围，由m为非负整数确定m的值为0或1，然后把m＝0或m＝1代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程确定方程有整数解的方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2m＞0，
解得m＜2，
∵m为非负整数，
∴m＝0或m＝1．
当m＝0时，方程为x2﹣4x＝0，解得方程的根为x1＝0，x2＝4，符合题意；
当m＝1时，方程为x2﹣4x+2＝0，
∵Δ＝16﹣8＝8，
∴它的根不是整数，不合题意，舍去；
综上所述，m＝0，方程的根为x1＝0，x2＝4．
【点评】此题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决问题的关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3）．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的解析式．
【分析】（1）将点B（m，﹣3）代入直线y＝﹣x﹣1，即可得m的值；
（2）根据待定系数法即可求得．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），
∴将点B（m，﹣3）代入直线y＝﹣x﹣1，得﹣m﹣1＝﹣3，
解得m＝2；
（2）∵点A（﹣1，0），B（2，﹣3）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
22．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．
23．（5分）如图，利用一面墙（墙的长度18m），另三边用30m长的篱笆围成一个矩形场地，求矩形场地的两条边各为多少时，面积最大？最大面积是多少？
【分析】设菜园宽为x m，则长为（30﹣2x）m，由面积公式写出y与x的函数关系式，然后利用二次函数的最值的知识可得出菜园的最大面积，及取得最大面积时矩形的长和宽．
【解答】解：设矩形的宽为x m，面积为S m2，根据题意得：
S＝x（30﹣2x）
＝﹣2x2+30x
＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
所以当x＝7.5时，S最大，最大值为112.5．
30﹣2x＝30﹣15＝15．
故当矩形的长为15m，宽为7.5m时，矩形场地的面积最大，最大面积为112.5m2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，难度一般，关键在于找出等量关系列出方程求解，另外应注意配方法求最大值在实际中的应用．
24．（6分）四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF＝3，AB＝7，
求（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE的长度；
（3）BE与DF的位置关系如何？请说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AD的夹角为旋转角；
（2）根据旋转的性质可得AE＝AF，AD＝AB，然后根据DE＝AD﹣AE计算即可得解；
（3）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DF，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，
即AE＝AF＝3，∠EAF＝90°，∠EBA＝∠FDA；
可得旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；
（2）DE＝AD﹣AE＝7﹣3＝4；
（3）∵∠EAF＝90°，∠EBA＝∠FDA，
∴延长BE与DF相交于点G，则∠GDE+∠DEG＝90°，
∴BE⊥DF，
即BE与DF是垂直关系．
【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）求点C纵坐标（用含有a的代数式表示）；
（3）已知点P（5，﹣4）．将点C向下移动一个单位，得到点D．若二次函数图象与线段PD只有一个交点，求a的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性求得即可；
（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；
（3）分四种情况：当a＞0时，当a＜0时，分别画图结合相关计算可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（3，0），
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），
∴c＝﹣3a，
∴yc＝﹣3a；
（3）当a＞0时，
∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点为（1，﹣4a），
当﹣4a＝﹣4时，a＝1，
①当a＝1时，抛物线与线段PD有一个交点，即抛物线的顶点，如图1所示；
②当0＜a＜1时，抛物线与线段PD没有交点，如图2，
；
③当a＞1时，抛物线与线段PD有两个交点，如图3，
；
当a＜0时，
将点P（5，﹣4）代入抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）得：﹣4＝a（5+1）（5﹣3）
解得，，
①当时，抛物线与线段PD只有一个交点，如图4，
②当﹣＜a＜0时，抛物线与线段PD没有交点，如图5，
；
综上所述，当或a＝1时，抛物线与线段PD只有一个交点．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特点，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．
26．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0）、O（0，0）、B（2，2）．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1和点B1的坐标；
（3）求点B旋转到点B1所经过的路径长．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可；
（2）利用（1）所画图形确定点A1和点B1的坐标；
（3）先计算出OB的长，然后利用弧长公式计算．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1为所作；
（2）A1（0，1），B1（﹣2，2）；
（3）OB＝＝2，
所以点B旋转到点B1所经过的路径长＝＝π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．
（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α＝ 60 °，AA'＝ 2 ；
（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．
①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；
②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．
【分析】（1）证明△ABA′是等边三角形即可解决问题．
（2）①根据要求画出图形．结论：AD＝A'D．如图2，过点A作A'C'的平行线，交CC'于点E，记∠1＝β．证明△ADE≌△A'DC'（AAS），可得结论．
②如图1中，当α＝60°时，BD的值最大，当α＝120°时，BD的值最小，分别求出最大值，最小值即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝，∠ABC＝30°，
∴AC＝BC•tan30°＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∵BA＝BA′，AC′＝A′C′，
∴∠ABC′＝∠A′BC′＝30°，
∴△ABA′是等边三角形，
∴α＝60°，AA′＝AB＝2．
故答案为：60，2．
（2）①补全图形如图所示：结论：AD＝A'D．
理由：如图2，过点A作A'C'的平行线，交CC'于点E，记∠1＝β．
∵将Rt△ABC绕点B顺时针旋转α得到Rt△A'BC'，
∴∠A'C'B＝∠ACB＝90°，A'C'＝AC，BC'＝BC．
∴∠2＝∠1＝β．
∴∠3＝∠ACB﹣∠1＝90°﹣β，∠A'C'D＝∠A'C'B+∠2＝90°+β．
∵AE∥A'C'
∴∠AED＝∠A'C'D＝90°+β．
∴∠4＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+β）＝90°﹣β．
∴∠3＝∠4．
∴AE＝AC．
∴AE＝A'C'．
在△ADE和△A'DC'中，
，
∴△ADE≌△A'DC'（AAS），
∴AD＝A'D．
②如图1中，当α＝60°时，BD的值最大，最大值为．
当α＝120°时，BD的值最小，最小值BD＝AB•sin30°＝2×＝1，
∴1≤BD≤．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图．
（1）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q；
①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为 （0，2） ；
②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为 （1，2） ；
（2）如图2，已知点C的坐标为（1，0），点D在直线y＝x+1上，若点D关于点C的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D的坐标；
（3）如图3，已知图形G是端点为（1，0）和（0，﹣2）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点T（0，t），使得点M关于点T的“垂链点”恰为点N，请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据旋转的性质，即可求解；
（2）①当点D在第一象限时，则点D关于点C的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，即可求解；②当点D在C左侧时，证明△DHC≌△COD′（AAS），即可求解；
（3）分点N落在正方形右边一条边、上边一条边两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）A的坐标为（0，0），即点A是原点，
①若点P的坐标为（2，0），如图：
根据旋转的性质可得：点Q（0，2），
故答案为：（0，2）；
②若点Q的坐标为（﹣2，1），如图：
根据旋转的性质可得：点P（1，2），
故答案为：（1，2）；
（2）①当点D在第一象限时，如图：
∵点D关于点C的“垂链点”在x轴上，
∴点CD⊥x轴，
故点D（1，）；
②当点D在C左侧时，如图：
设点D（m，m+1），点D′（0，n），
点D的“垂链点”D′在y轴上，
过点D作DH⊥x轴于点H，
∵∠DCH+∠HDC＝90°，∠OCD′+∠DCH＝90°，
∴∠HDC＝∠OCD′，
∵∠DHC＝∠COD′＝90°，DC＝D′C，
∴△DHC≌△COD′（AAS），
则DH＝OC，即：m+1＝1，解得：m＝0，
故点D（0，1），
综上，点D（0，1）或（1，）；
（3）图形G所在直线的表达式为：y＝2x﹣2，
设点M（m，2m﹣2），其中0≤m≤1，
（Ⅰ）当N落在正方形的右边的一条边，
①当T在x轴上方时，如图：
分别过点M、N作y轴的垂线交于点H′、G′，
同理可证△NG′T≌△TH′M（AAS）
TH′＝G′N，即t﹣（2m﹣2）＝3，
t＝2m+1，而0≤m≤1，且yN≤3，
则1≤t≤；
②当t在x轴下方时，
当t＝﹣3时，点M关于点T的“垂链点”恰为点N在正方形的边上，
故t＝﹣3；
当点T在t＝﹣3下方时，且xN≥﹣3，如图：
同理可得：m＝﹣3﹣t，解得：t≤﹣3，且t＞0；
（Ⅱ）当N落在正方形的上面的一条边时，
同理可得：t＝3﹣m，而0≤m≤1，xN≤3，
解得：﹣≤t≤3，
综上，t的取值范围为：1≤t≤或﹣≤t≤﹣3．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到正方形的性质、图形的旋转、解不等式等，这种新定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解．其中（2）、（3），都要注意分类求解，避免遗漏．
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