2021-2022学年北京四十三中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京四十三中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了解答题共10小题，共68分等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）计算a2•a4，结果正确的是（ ）
A．a5B．a6C．a8D．a9
2．（2分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2+4x+4＝x（x+4）
C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2D．m（x﹣y）＝mx﹣my
3．（2分）若x2+2ax+16是完全平方式，则a的值是（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
4．（2分）如图，△ABC中，∠A＝30°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（ ）
A．140°B．60°C．70°D．80°
5．（2分）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105°B．115°C．120°D．125°
6．（2分）如图，AC，BD交于点E，AE＝CE，BE＝DE，则判定△ABE与△CDE全等的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
7．（2分）如图所示的2×2正方形网格中，∠1+∠2等于（ ）
A．105°B．90°C．85°D．95°
8．（2分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
二、填空题共8小题，每小题2分，共16分。
9．（2分）因式分解：3mx﹣9my＝ ．
10．（2分）若（a﹣4）0＝1，则a ．
11．（2分）计算：（﹣0.25）2021×42022＝ ．
12．（2分）如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝60°，则∠AEF＝ ．
13．（2分）如图，已知∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE（ASA），还需添加的条件是： ．
14．（2分）为迎接全国第十四届运动会，我校举行“缓堵保畅，安全出行，小手拉大手活动”每天值班老师和部分学生在校门两边站岗执勤（线段CD所在区域）．如图，AB∥OH∥CD，AC与BD相交于O，OD⊥CD于点D，OD＝OB，已知AB＝300米，请根据上述信息求出执勤区域CD的长度是 ．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝ ．
16．（2分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝12cm，AC＝6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为ts（t＞0），则当t＝ 秒时，△DEB与△BCA全等．
三、解答题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（10分）把下列各式因式分解：
（1）4x2﹣64；
（2）x3﹣2x2y+xy2．
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣x（x﹣2）﹣（x+3）（x﹣3），其中x＝﹣1．
19．（8分）（1）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n．你能利用上面的结论解决这个问题吗：如果2×8x×16x＝222，求x的值；
（2）已知x+y＝1，，求x3y+2x2y2+xy3的值．
20．（8分）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．
（1）求证：AE∥DF．
（2）若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．
21．（8分）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题．
构图一，小函同学从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（1）），然后拼成一个平行四边形（如图（2）），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）．
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
构图二、小云同学在数学课上画了一个腰长为a的等腰直角三角形，如图3，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长为b（a＞b）的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于a、b的等式．
22．（8分）已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）如图①所示，直接写出线段BE和CD之间的数量关系和位置关系．数量关系： ，位置关系： ．
（2）将△ADE绕点A旋转到如图②所示的位置，请判断（1）中所得线段BE和CD之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由．
（3）猜想：若将题目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改为“∠BAC＝∠DAB＝60°”，其余条件不变，请直接写出直线BE和CD所夹锐角的度数为 ．
23．（12分）尺规作图之旅
下面是一幅纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画×．
（1）过一点作一条直线．
（2）过两点作一条直线．
（3）画一条长为3cm的线段．
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作一个角的角平分线，作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：
（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心， ；
（4）过点D，画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
说理：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'
求证：∠A'O'B'＝∠AOB
证明：∵∴△OCD≌ΔO'C'D'（ ）
所以∠A'O'B'＝∠AOB（ ）
【小试牛刀】依上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l与直线外一点A．
求作：过点A的直线l'，使得l∥l'．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．
24．（8分）阅读下列材料：
若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．
（1）判断：9 “明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P；
（3）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
25．（4分）附加题：
阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道，（x﹣2）（x﹣5）＝x2﹣7x+10．反过来，就得到x2﹣7x+10的因式分解形式，即x2﹣7x+10＝（x﹣2）（x﹣5）．把这个多项式的二次项系数1分解为1×1，常数项10分解为（﹣2）×（﹣5），先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把﹣2，﹣5分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数﹣7（如图1）．
像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助”十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
例如，将二次三项式4x2+x﹣3分解因式，它的”十字”如图2：
所以，4x2+x﹣3＝（x+1）（4x﹣3）．
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：
（1）x2+5x+6＝ ；
（2）2x2﹣7x+3＝ ；
（3）x2+（2﹣m）x﹣2m＝ ．
26．（6分）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等．
【初步思考】他们先用符号语言表示了这个问题：在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整．
（1）第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
如图1，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E＝90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
如图2，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
（3）第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）在（3）中，∠B与∠C的大小关系还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请根据以上作图过程直接写出结论．
2021-2022学年北京四十三中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（2分）计算a2•a4，结果正确的是（ ）
A．a5B．a6C．a8D．a9
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断即可．
【解答】解：a2•a4＝a2+4＝a6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（2分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2+4x+4＝x（x+4）
C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2D．m（x﹣y）＝mx﹣my
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A，D选项的等号右边都不是积的形式，不符合题意；
B选项，x2+4x+4＝（x+2）2，所以该选项不符合题意；
C选项，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
3．（2分）若x2+2ax+16是完全平方式，则a的值是（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
【分析】根据完全平方式的结构特征解决此题．
【解答】解：∵x2+2ax+16是完全平方式，
∴2ax＝±2•4x．
∴2ax＝±8x．
∴a＝±4．
故选：C．
【点评】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键．
4．（2分）如图，△ABC中，∠A＝30°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（ ）
A．140°B．60°C．70°D．80°
【分析】由折叠得到∠A与∠F的关系，再利用平角、四边形的内角和得到∠FDB+∠FEC的度数．
【解答】解：∵△DEF是由△DEA折叠而成的，
∴∠A＝∠F＝30°．
∵∠A+∠ADF+∠AEF+∠F＝360°，
∴∠ADF+∠AEF＝360°﹣∠A﹣∠F＝300°．
∵∠BDF＝180°﹣∠ADF，
∠FEC＝180°﹣∠AEF，
∴∠FDB+∠FEC＝180°﹣∠ADF+180°﹣∠AEF
＝360°﹣（∠ADF+∠AEF）
＝360°﹣300°
＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和，掌握折叠的性质及三角形的内角和定理是解决本题的关键．
5．（2分）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105°B．115°C．120°D．125°
【分析】由α是△BDC的外角，利用三角形外角的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵∠α是△BDC的外角，∠D＝60°，∠BCD＝45°，
∴∠α＝∠D+∠BCD＝60°+45°＝105°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
6．（2分）如图，AC，BD交于点E，AE＝CE，BE＝DE，则判定△ABE与△CDE全等的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：在△ABE与△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
7．（2分）如图所示的2×2正方形网格中，∠1+∠2等于（ ）
A．105°B．90°C．85°D．95°
【分析】标注字母，然后利用“边角边”求出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，再根据直角三角形两锐角互余求解．
【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠2＝∠3，
在Rt△ABC中，∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
8．（2分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
【分析】根据角平分线的性质结合点到直线垂线段最短，即可得出PQ≥PA，此题得解．
【解答】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝3，
∴PQ≥PA＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及垂线段最短，根据角平分线的性质结合垂线段最短，求出PQ的最小值是解题的关键．
二、填空题共8小题，每小题2分，共16分。
9．（2分）因式分解：3mx﹣9my＝ 3m（x﹣3y） ．
【分析】直接提取公因式3m，进而分解因式得出答案．
【解答】解：3mx﹣9my＝3m（x﹣3y）．
故答案为：3m（x﹣3y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10．（2分）若（a﹣4）0＝1，则a a≠4 ．
【分析】根据零指数幂的意义即可得到结论．
【解答】解：∵（a﹣4）0＝1，
∴a﹣4≠0，
∴a≠4，
故答案为：a≠4．
【点评】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的意义是解题的关键．
11．（2分）计算：（﹣0.25）2021×42022＝ ﹣4 ．
【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
【解答】解：（﹣0.25）2021×42022
＝（﹣）2021×42021×4
＝﹣（×4）2021×4
＝﹣1×4
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
12．（2分）如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝60°，则∠AEF＝ 120° ．
【分析】由邻补角可求得∠BFG＝120°，再由折叠的性质可得∠BFE＝60°，利用平行线的性质即可求∠AEF的度数．
【解答】解：如图，
∵∠1＝60°，
∴∠BFG＝180°﹣∠1＝120°，
由折叠性质得：∠BFE＝∠GFE，
∴∠BFE＝60°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
13．（2分）如图，已知∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE（ASA），还需添加的条件是： ∠BAE＝∠CAE ．
【分析】根据题意可得∠AEB＝∠AEC，又AE公共边，所以根据全等三角形的ASA判定方法即可找到添加的条件．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠AEC，
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（ASA），
∴∠BAE＝∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．
故答案为：∠BAE＝∠CAE．
【点评】此题考查三角形全等的判定方法，熟记“两角与夹边对应相等的两三角形全等”是解决问题的关键．
14．（2分）为迎接全国第十四届运动会，我校举行“缓堵保畅，安全出行，小手拉大手活动”每天值班老师和部分学生在校门两边站岗执勤（线段CD所在区域）．如图，AB∥OH∥CD，AC与BD相交于O，OD⊥CD于点D，OD＝OB，已知AB＝300米，请根据上述信息求出执勤区域CD的长度是 300m ．
【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO＝∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO＝90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD＝OB，利用ASA定理可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得标语CD的长度．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵OD⊥CD，
∴∠CDO＝90°，
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD＝OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD＝AB＝300m．
即执勤区域CD的长度是300m，
故答案为：300m．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质定理，平行线的性质，证得△ABO≌△CDO是解答此题的关键．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝ 125° ．
【分析】根据角平分线的作法可得AD平分∠CAB，再根据三角形内角和定理可得∠ADB的度数．
【解答】解：由题意可得：AD平分∠CAB，
∵∠C＝90°，∠B＝20°，
∴∠CAB＝70°，
∴∠CAD＝∠BAD＝35°，
∴∠ADB＝180°﹣20°﹣35°＝125°．
故答案为：125°．
【点评】此题主要考查了角平分线的作法以及角平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADB度数是解题关键．
16．（2分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝12cm，AC＝6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为ts（t＞0），则当t＝ 2或6或8 秒时，△DEB与△BCA全等．
【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AC＝BE进行计算即可．
【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6，
∴BE＝6，
∴AE＝12﹣6＝6，
∴点E的运动时间为6÷3＝2（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
AC＝12+6＝18，
点E的运动时间为18÷3＝6（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒（舍去此情况）；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝12+12＝24，
点E的运动时间为24÷3＝8（秒），
故答案为：2或6或8．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（10分）把下列各式因式分解：
（1）4x2﹣64；
（2）x3﹣2x2y+xy2．
【分析】（1）先提公因式4，再利用平方差公式即可；
（2）先提公因式x，再利用完全平方公式即可．
【解答】解：（1）原式＝4（x2﹣16）
＝4（x+4）（x﹣4）；
（2）原式＝x（x2﹣2xy+y2）
＝x（x﹣y）2．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣x（x﹣2）﹣（x+3）（x﹣3），其中x＝﹣1．
【分析】根据整式的混合运算先化简后再把x的值代入即可求解．
【解答】解：（x﹣1）2﹣x（x﹣2）﹣（x+3）（x﹣3）
＝（x2﹣2x+1）﹣（x2﹣2x）﹣（x2﹣9）
＝x2﹣2x+1﹣x2+2x﹣x2+9
＝﹣x2+10．
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+10＝9．
【点评】本题考查了整式的化简，属于基础题，关键是先化简再求值．
19．（8分）（1）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n．你能利用上面的结论解决这个问题吗：如果2×8x×16x＝222，求x的值；
（2）已知x+y＝1，，求x3y+2x2y2+xy3的值．
【分析】（1）化同底数幂计算．
（2）先因式分解，再整体代换求值．
【解答】解：∵2×8x×16x＝21+3x+4x＝222．
∴1+3x+4x＝22，
解得，x＝3．
（2）原式＝xy（x²+2xy+y²）
＝xy（x+y）²
把x+y＝1，xy＝代入
原式＝×1²＝．
【点评】（1）本题考查幂的运算法则及因式分解的应用，化同底及正确的因式分解是求解本题的关键．
20．（8分）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．
（1）求证：AE∥DF．
（2）若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．
【分析】（1）证△ABE≌△DCF（SAS），得∠AEB＝∠DFC，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得∠A＝∠D，∠B＝∠C＝30°，再求出∠A＝72°，然后由三角形的外角性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵BF＝CE，
∴BF+EF＝CE+EF，
即BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠AEB＝∠DFC，
∴AE∥DF；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C＝30°，
∵∠A+∠D＝144°，
∴∠A＝72°，
∴∠AEC＝∠A+∠B＝72°+30°＝102°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
21．（8分）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题．
构图一，小函同学从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（1）），然后拼成一个平行四边形（如图（2）），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ D ）．
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
构图二、小云同学在数学课上画了一个腰长为a的等腰直角三角形，如图3，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长为b（a＞b）的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于a、b的等式．
【分析】（1）根据图（1）中阴影部分面积和图（2）图形面积的不同表示方法，可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）通过表示图（3）中梯形面积，可推导出等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：构图一，∵图（1）中阴影部分面积为：a2﹣b2，
图（2）的面积为：（a+b）•2[（a﹣b）]＝（a+b）（a﹣b），
∴可得等式为；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选D；
构图二、用两种方式表示梯形的面积，
可得到（a2﹣b2），
也可表示为：（a+b）（a﹣b），
∴可得等式（a2﹣b2）＝（a+b）（a﹣b），
即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【点评】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列出算式并计算．
22．（8分）已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）如图①所示，直接写出线段BE和CD之间的数量关系和位置关系．数量关系： BE＝CD ，位置关系： BE⊥CD ．
（2）将△ADE绕点A旋转到如图②所示的位置，请判断（1）中所得线段BE和CD之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由．
（3）猜想：若将题目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改为“∠BAC＝∠DAB＝60°”，其余条件不变，请直接写出直线BE和CD所夹锐角的度数为 60° ．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，由余角的性质可得∠BND＝90°，可得结论；
（2）由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，由三角形的内角和定理可得BE⊥CD；
（3）由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，由三角形的内角和定理可求∠BFC＝60°．
【解答】解：（1）如图延长BE交CD于N，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，
∵∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ABE+∠ADC＝90°，
∴∠BND＝90°，
∴BE⊥CD，
故答案为：BE＝CD，BE⊥CD；
（2）结论仍然成立，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
又∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠ACB+∠ACD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BE⊥CD；
（3）如图3，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝120°，
∵∠BAC＝∠DAB＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
又∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝120°，
∴∠EBC+∠ACB+∠ACD＝120°，
∴∠BFC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23．（12分）尺规作图之旅
下面是一幅纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画×．
（1）过一点作一条直线． √
（2）过两点作一条直线． √
（3）画一条长为3cm的线段． ×
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆． √
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作一个角的角平分线，作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：
（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心， 以点C'为圆心，以CD为半径画弧，与第二个＝步中所画的弧相交于点D′； ；
（4）过点D，画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
说理：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'
求证：∠A'O'B'＝∠AOB
证明：∵∴△OCD≌ΔO'C'D'（ SSS ）
所以∠A'O'B'＝∠AOB（ 全等三角形的对应角线段 ）
【小试牛刀】依上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l与直线外一点A．
求作：过点A的直线l'，使得l∥l'．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．
【分析】【作图原理】根据尺规作图的定义，一一判断即可；
【回顾思考】利用尺规作图作一个角等于已知角以及全等三角形的判定和性质解决问题即可．
【小试牛刀】利用同位角相等两直线平行解决问题即可；
【创新应用】根据题意作出图形（答案不唯一）．
【解答】解：【作图原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；
故答案为：√，√，×，√；
【回顾思考】
作法：（3）以点C'为圆心，以CD为半径画弧，与第二个＝步中所画的弧相交于点D′；
（4）证明：∴△OCD≌△O''C'D'（SSS）；
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故答案为：以点C'为圆心，以CD为半径画弧，与第二个＝步中所画的弧相交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等；
【小试牛刀】如图，直线l′即为所求．
【创新应用】：（图和说明共2分）
如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，
．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
24．（8分）阅读下列材料：
若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．
（1）判断：9 是 “明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P；
（3）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【分析】（1）根据9＝52﹣42和“明礼崇德数”的定义进行判断；
（2）根据“明礼崇德数”的定义进行计算即可；
（3）通过因式分解得N＝（x+2）2﹣（y﹣3）2+k+5，根据“明礼崇德数”的定义，列出k的方程求得k即可．
【解答】解：（1）∵9＝52﹣42，
∴9是“明礼崇德数”，
故答案为：是；
（2）∵（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，
∴P＝（x2+y）2﹣（x2）2
＝x4+2x2y+y2﹣x4
＝2x2y+y2；
（3）当k+5＝0时，N为“明礼崇德数”，理由如下：
∵N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k＝（x2+4x+4）﹣（y2+6y+9）+k+5＝（x+2）2﹣（y+3）2+k+5，
∴当k+5＝0时，N＝（x+2）2﹣（y+3）2为“明礼崇德数”，
此时k＝﹣5，
故当k＝﹣5时，N为“明礼崇德数”．
【点评】本题主要考查了平方差公式的运用．解题的关键是理解新定义的意思．
25．（4分）附加题：
阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道，（x﹣2）（x﹣5）＝x2﹣7x+10．反过来，就得到x2﹣7x+10的因式分解形式，即x2﹣7x+10＝（x﹣2）（x﹣5）．把这个多项式的二次项系数1分解为1×1，常数项10分解为（﹣2）×（﹣5），先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把﹣2，﹣5分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数﹣7（如图1）．
像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助”十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
例如，将二次三项式4x2+x﹣3分解因式，它的”十字”如图2：
所以，4x2+x﹣3＝（x+1）（4x﹣3）．
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：
（1）x2+5x+6＝ （x+2）（x+3） ；
（2）2x2﹣7x+3＝ （2x﹣1）（x﹣3） ；
（3）x2+（2﹣m）x﹣2m＝ （x+2）（x﹣m） ．
【分析】根据阅读材料中的十字相乘法即可得出答案．
【解答】解：（1）
由上图可知：x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
故答案为：（x+2）（x+3），
（2）
由上图可知：2x2﹣7x+3＝（2x﹣1）（x﹣3），
故答案为：（2x﹣1）（x﹣3），
（3）
由上图可知：x2+（2﹣m）x﹣2m＝（x+2）（x﹣m），
故答案为：（x+2）（x﹣m）．
【点评】本题考查了十字相乘法因式分解，关键是读懂材料掌握十字相乘的基本步骤．
26．（6分）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等．
【初步思考】他们先用符号语言表示了这个问题：在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整．
（1）第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
如图1，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E＝90°，根据 HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
如图2，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
（3）第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）在（3）中，∠B与∠C的大小关系还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请根据以上作图过程直接写出结论．
【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF即可；
（2）先证△AGB≌△DHE（AAS），则AG＝DH，再证Rt△ACG≌Rt△DFH，的∠C＝∠F，然后由AAS证明△ABC≌△DEF即可；
（3）以A为圆心、AC长为半径画弧，交BC于F，得钝角三角形DEF，则△DEF和△ABC不全等；
（4）利用（3）中方法可得出当∠B≥∠C，且∠C＝90°时，则△ABC≌△DEF．
【解答】（1）解：∵∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC和△DEF是直角三角形，
∵AC＝DF，AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：HL；
（2）证明：如图2，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，过点D作DH⊥FE交FE的延长线于点H．
则∠AGB＝∠DHE＝90°，
∵∠ABC＝∠DEF，
∴∠ABG＝∠DEH，
∵AB＝DE，
∴△AGB≌△DHE（AAS），
∴AG＝DH，
∵AC＝DF，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠C＝∠F，
又∵∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
（3）解：如图3，△DEF即为所求；
（4）解：∠B≥∠C，且∠C＝90°，理由如下：
由图3可知，∠C＝∠AFC＝∠B+∠BAF，
∴∠C＞∠B，
∴当∠B≥∠C，且∠C＝90°时，△ABC就唯一确定了，
则△ABC≌△DEF．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、尺规作图以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的评定方法是解题的关键．
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