2021-2022学年北京四十三中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京四十三中七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 年月日中国北京世界园艺博览会开幕，会徽取名“长城之花”，如图所示．在下面选项的四个图形中，能由如图经过平移得到的图形是

A.
B.
C.
D.
 

2. 在平面直角坐标系中，点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知下列不等式变形不正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 在下列各数中是无理数的有
   ，，，，，，相邻两个之间有个，小数部分由相继的正整数组成

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 已知是方程的解，则的值是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，，则下列结论一定成立的是

A.
B.
C.
D.

7. 不等式的正整数解的个数是

A.  B.  C.  D.

8. 在参观北京世园会的过程中，小欣发现可以利用平面直角坐标系表示景点的地理位置，在正方形网格中，她以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，表示丝路驿站的点坐标为如果表示丝路花雨的点坐标为，那么表示清扬洲的点坐标大约为；如果表示丝路花雨的点坐标为，那么这时表示清扬洲的点坐标大约为

A.  B.  C.  D.

9. 点为平面直角坐标系内一点，，且点到轴，轴的距离分别为，，则点的坐标为

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

10. 我们规定：在平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为例如图中，点与点之间的折线距离为如图，已知点，若点的坐标为，且，则的值为

A.  B.  C. 或 D. 或

二．填空题（本题共9小题，共20分）

11. 的算术平方根是______ ．
12. 写出一个比大且比小的无理数______．
13. 已知点在轴上，则点的坐标为______．
14. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果，那么”的形式为：如果______，那么______．
15. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则______．
16. 如图，连接直线外一点与直线上各点，，，，其中，这些线段，，，，中，最短的线段是______，理由______．

17. 把一张长方形纸片沿折叠后与相交，点、分别在、的位置上，若，则______．
     

18. 关于的不等式的解集是写出一组满足条件的，的值：______，______．
19. 如图，，，，则______．
    
    
     

三．解答题（本题共10小题，共60分）

20. 计算：．
21. 解方程组．
22. 解不等式组，并把解集表示在数轴上．

23. 已知，如图，，求证：．
    证明：______
    __________________
    ____________
    ______
    __________________
    ____________
    ____________
    即______
24. 已知：，，
    在坐标系中描出各点，画出．
    求的面积；
    设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标．

25. 如图，，，求证：．
    
    
     

26. 在新年联欢会上，同学们组织了精彩的猜谜活动，为了奖励猜对的同学，老师决定购买笔袋或彩色铅笔作为奖品，已知个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元；个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元．
    求每个笔袋、每筒彩色铅笔的原价各多少元？
    时逢新年期间，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过筒不优惠，超出筒的部分“八折”优惠．如果买个笔袋需要元，买筒彩色铅笔需要元．请用含，的代数式分别表示和；
    如果在的条件下一共购买同一种奖品件，请分析买哪种奖品省钱．
27. 已知，直线．
    如图，当，时，直线平分，直线平分交直线于补全图形并求的大小．
    如图，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
    如图，点落在外，与的角平分线相交于点，与的数量关系是否发生变化，并说明理由．

28. 对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：
    将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”例如，将点平移到称为将点进行“型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”．
    已知点和点．
    将点进行“型平移”后的对应点的坐标为______．
    将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，
    在线段上的点是______．
    若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是______．
    已知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，当的取值范围是______时，的最小值保持不变．

29. 对于任意一点和线段若过点向线段所在直线作垂线，若垂足落在线段上，则称点为线段的内垂点．在平面直角坐标系中，已知点，，．
    在点，，中，是线段的内垂点的是______；
    已知点，在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的内垂点；
    已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线沿轴平移个单位长度得到直线若存在点，使线段的内垂点形成的区域恰好是直线和之间的区域包括边界，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：观察各选项图形可知，选项的图案可以通过平移得到．
故选：．
根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
 

2.【答案】

【解析】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，
该点在第四象限．
故选：．
根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．
考查平面直角坐标系的知识；用到的知识点为：横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，
选项A不符合题意；

，
，
选项B不符合题意；

，
，
，
选项C不符合题意；

，
，
选项D符合题意．
故选：．
根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
 

4.【答案】

【解析】解：在下列各数中：，，，，，，相邻两个之间有个，小数部分由相继的正整数组成，
无理数是：，，，，小数部分由相继的正整数组成共个．
故选C．
由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等，开方开不尽的数，以及像，等有这样规律的数．利用前面的知识即可判定求解．
此题主要考查了无理数的定义，解题要注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．是有理数中的整数．
 

5.【答案】

【解析】解：是方程的解，则，
解得：．
故选：．
直接利用二元一次方程的解法得出答案．
此题主要考查了二元一次方程的解，正确解方程是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平行线的判定和性质，正确识别同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．因为 与 是 、 被 所截构成的内错角，所以结合已知，由内错角相等，两直线平行求解．
【解答】
解： ，
内错角相等，两直线平行 ．
不能得出 ， ．
故选 B ．   

7.【答案】

【解析】解：不等式的解集为，
故其正整数解为、、共个．
故选：．
先求出不等的解集，再求出符合条件的的正整数解即可．
解答此题要先求出不等式的解集，再确定整数解．解不等式要用到不等式的性质：
不等式的两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

8.【答案】

【解析】解：如图

由图知，每个小方格表示单位长度，
则表示清扬洲的点坐标大约为，
故选：．
建立平面直角坐标系，确定坐标原点的位置和每个小方格表示的单位长度，进而可确定表示留春园的点的坐标．
此题考查坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和，轴的位置．
 

9.【答案】

【解析】解：，
、同号，
点到轴、轴的距离分别为和，
，或，，
点的坐标为或．
故选：．
根据同号得正判断出、同号，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可．
本题考查了点的坐标，有理数的乘法，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，，且，
，
解得：或．
故选：．
根据两点之间的折线距离公式结合，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了坐标与图形性质，读懂题意并熟练运用两点之间的折线距离公式是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，
的算术平方根是，
即．
故答案为．
直接根据算术平方根的定义求解即可．
本题考查了算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为．
 

12.【答案】答案不唯一，如、等

【解析】解：一个比大且比小的无理数有，等，
故答案为：答案不唯一，如、等．
根据无理数的大小比较和无理数的定义写出范围内的一个数即可．
本题考查了对估算无理数和无理数的定义的应用，注意：答案不唯一．
 

13.【答案】

【解析】解：点在轴上，
点的横坐标是，
，解得，
，点的纵坐标为，
点的坐标是．
故答案为：．
在轴上，那么横坐标为，就能求得的值，求得的值后即可求得点的坐标．
本题考查了坐标轴上的点的坐标的特征，解决本题的关键是记住轴上点的特点为横坐标为．
 

14.【答案】两个角相等  这两个角的补角也相等

【解析】解：题设为：两个角是等角，结论为：它们的补角相等，
故写成“如果那么”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等．
故答案为：两个角相等，这两个角的补角也相等．
命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
 

15.【答案】

【解析】解：由，
得：，
将代入，
，

故答案为：
先根据二元一次方程组的解法求出与的值，让将与代入即可求出的值．
本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组与一元一次方程的解法，本题属于基础题型．
 

16.【答案】  垂线段最短

【解析】解：，
线段，，，，中，最短的线段是线段，理由是垂线段最短．
故答案为：，垂线段最短．
根据垂线段的性质得出即可．垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
本题考查了垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两个中去选择．
 

17.【答案】

【解析】解：四边形是长方形，
，
，
由折叠的性质得，
．
故答案为：．
先利用平行线的性质得，再根据折叠的性质得，可求，利用平行线的性质计算出即可．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
 

18.【答案】，

【解析】解：由不等式的解集是知，
满足条件的、的值可以是，，
故答案为：，
根据不等式的基本性质即可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，掌握不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变是解题的关键．
19.【答案】

【解析】解：反向延长交于，
，
，
；
又，
．
故答案为：．
反向延长交于，根据平行线的性质求出的度数，由补角的定义求出的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
 

20.【答案】解：原式
．

【解析】直接利用二次根式的性质、立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

21.【答案】解：，
得：，
解得，
将代入得：，
解得：．
原方程组的解为．

【解析】得到方程，求出的值，把的值代入得出一个关于的方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组的应用，关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．
 

22.【答案】解：，
由得：，
由得：，
所以，此不等式组的解集是．
．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

23.【答案】已知      同旁内角互补，两直线平行    两直线平行，内错角相等  已知      内错角相等，两直线平行    两直线平行，内错角相等      等式的性质

【解析】证明：已知
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，内错角相等
已知
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等

即等式的性质．
分别根据平行线的性质和判定填空得出即可．
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理．
 

24.【答案】解：如图所示：

过点向、轴作垂线，垂足为、．
四边形的面积，的面积，的面积，的面积．
的面积四边形的面积的面积的面积的面积．
当点在轴上时，的面积，即：，解得：，
所点的坐标为或；
当点在轴上时，的面积，即，解得：．
所以点的坐标为或．
所以点的坐标为或或或．

【解析】确定出点、、的位置，连接、、即可；
过点向、轴作垂线，垂足为、，的面积四边形的面积的面积的面积的面积；
当点在轴上时，由的面积，求得：，故此点的坐标为或；当点在轴上时，的面积，解得：所以点的坐标为或．
本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确的面积四边形的面积的面积的面积的面积是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
，
．

【解析】本题考查了平行线的判定和性质．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
根据平行线的判定定理可得，根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，即可证得．
 

26.【答案】解：设每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元．
依题意，得：；
当时，；当时，．
．
当时，；
当时，．
，
购买彩色铅笔省钱．

【解析】设每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元，根据“个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元；个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用总价单价数量，即可用含，的代数式分别表示和；
代入，求出，的值，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，列出代数式；代入，求出，的值．
 

27.【答案】解：补全图形如图，

过点做直线，
，
，
，，
，
直线平分，直线平分，
，，
；
，理由如下：
如图，过点作，过点作，
，
，
，
，，
，
同理，，
与的角平分线相交于点，
，
；
与的数量关系不发生变化，理由如下：

如图，过点作，过点作，
，
，
，，
，
同理，，
与的角平分线相交于点，
，
．

【解析】补全图形如图，过点做直线，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可；
过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理并作出合理地辅助线是解题的关键．
 

28.【答案】解：；
  ；
或；
  ．

【解析】解：将点 进行“型平移”后的对应点的坐标为，
故答案为．

如图中，观察图象可知，将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，
在线段上的点是．

故答案为．

若线段进行“型平移”后，，
与坐标轴有公共点，
有两种情况：即或，
解得或．
故答案为或．

如图中，观察图象可知，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为，此时．

故答案为．
根据“型平移”的定义解决问题即可．
画出线段即可判断．
根据定义求出最大值，最小值即可判断．
如图中，观察图象可知，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为．
本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型．
 

29.【答案】、

【解析】解：如图所示：，垂足为，过作的垂线，垂足为，都在线段上，

所以线段的内垂点的是：，；
故答案为：，；
如图所示，

分两种情况：
当在的下方时，如图，

，．
设的解析式为：，则，
解得：，
：，
：，
，
取的中点，过作的垂线交于，
，
当时，，
；
当直线在直线的上方时，如图，则：，

同理得；
综上，点的坐标为或．
画图后根据定义可以判定；
如图所示；
分两种情况：在的下方，在的上方，先确认和的解析式，与轴的交点为，作的垂直平分线，与的交点即是．
本题考查三角形综合题、一次函数平行的性质、垂线的性质、点的坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，搞清楚内垂点的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考创新题目．