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2021-2022学年北京四十三中八年级（下）期中数学试卷-（含解析）

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这是一份2021-2022学年北京四十三中八年级（下）期中数学试卷-（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年北京四十三中八年级（下）期中数学试卷

题号	一	二	三	总分
得分

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是

A. B. C. D.

下列各组数中，不能构成直角三角形三边长的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

下列二次根式中，最简二次根式是

A. B. C. D.

下列运算中正确的是

A. B. C. D.

如图，是的中位线，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

下列：：：的值中，能判定四边形是平行四边形的是

A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：：

如图，在中，，点是的中点．连接，若，，则的长度是

A.
B.
C.
D.

下列命题中是真命题的选项是

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 三条边都相等的四边形是菱形

如下图，数轴上点所表示的数是

A. B. C. D.

如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，，如此进行下去，得到四边形下列结论正确的有
四边形是矩形；
四边形是菱形；
四边形的周长是；
四边形的面积是．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共21分）

______ ．
在平行四边形中，若，______．
如图，矩形的对角线，，则的长为______．

三国时期，数学家赵爽绘制了“勾股圆方图”，又叫“赵爽弦图”，如图所示，、、和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形，如果，，那么四边形的面积等于______．
中国结，象征着中华民族的历史文化与精致．小明家有一中国结挂饰，他想知道周长，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，则菱形的周长为______．

如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，的长为______．
如果表示、的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是______．
已知，如图，正方形的边长是，在上，且，是边上的一动点，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共10小题，共59分）

计算：
；
．
已知，，求代数式的值．
已知：如图，▱中，，是，上两点，且求证：．

九章算术中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．丈尺
解决下列问题：
示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺；
求芦苇的长度．
如图，在正方形网格中，小正方形的边长为，，，为格点．
判断的形状，并说明理由；
求边上的高．

阅读材料，然后作答：
在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：
例如：．
请仿照上述方法解决下面问题：
分母有理化的结果是______．
分母有理化的结果是______．
分母有理化的结果是______．
已知正方形，点是延长线上一点，位置如图所示，连接，过点作于点，连接．
求证：；
作点关于直线的对称点，连接，．
依据题意补全图形；
用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形．
如图，准矩形中，，若，，则 ______ ；
如图，正方形中，点，分别是边，上的点，且，求证：四边形是准矩形；
如图，准矩形中，，，，，求这个准矩形的面积．

见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．
如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．
由平方得，整理可得：，即．
所以．
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
若，则______，______；
若，求的值．
已知正方形，点，分别在射线，射线上，，与交于点．
如图，当点，分别在线段，上时，则线段与的数量关系是______，位置关系是______．
如图，当点在线段延长线上时，将线段沿进行平移至，连接．
依题意将图补全；
请你通过实验和观察，试猜想在点运动的过程中线段，，的数量关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：依题意得，
解得．
故选：．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

2.【答案】

【解析】解：、，三角形是直角三角形，故本选项错误；
B、，三角形是直角三角形，故本选项错误；
C、，三角形是直角三角形，故本选项错误；
D、，三角形不是直角三角形，故本选项正确．
故选：．
根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等，即可得出答案．
本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边分别是、、最大满足，则三角形是直角三角形．

3.【答案】

【解析】解：、是最简二次根式，符合题意；
B、，不满足题意；
C、，不满足题意；
D、，不满足题意．
故选：．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．

4.【答案】

【解析】解：、，故A符合题意；
B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的相应的运算法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

5.【答案】

【解析】解：是的中位线，，
，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有符合条件．
故选：．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以和是对角，和是对角，对角的份数应相等．只有选项D符合．
本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．

7.【答案】

【解析】解：，，，
，
点是的中点，
．
故选：．
先用勾股定理求得的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度．
本题考查了勾股定理和直角三角形的性质，解题的关键是熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．

8.【答案】

【解析】解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
B、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；
D、四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题；
故选：．
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了实数与数轴上的点的一一对应关系．也考查了勾股定理．
先根据勾股定理计算出，则，然后计算出的长，接着计算出的长，即可得到点所表示的数．
【解答】
解：如图，，，
，
，
，
，
点表示的数为．
故选 D ．

10.【答案】

【解析】解：连接，．
在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，
，，，；
，，
四边形是平行四边形；
，四边形是矩形，
矩形的两条对角线相等；
中位线定理，
四边形是菱形；
故本选项错误；
由知，四边形是菱形；
根据中位线定理知，四边形是菱形；
故本选项正确；
根据中位线的性质易知，，，
四边形的周长是，
故本选项正确；
四边形中，，，且，
；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形的面积是，
故本选项正确．
综上所述，正确．
故选：．
首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
根据矩形的判定与性质作出判断；
根据菱形的判定与性质作出判断；
由四边形的周长公式：周长边长之和，来计算四边形的周长；
根据四边形的面积与四边形的面积间的数量关系来求其面积．
本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系是最关键的．

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用二次根式乘法运算法则求出即可．
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

12.【答案】

【解析】解：在▱中，，，则．
在▱中，，则，
所以．
故答案是：．
根据平行四边形的对角相等求得；然后由平行四边形的对边平行和平行线的性质解答．
本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，平行四边形的对边平行．

13.【答案】

【解析】解：，
，
四边形是矩形，
，，，
，
是等边三角形，
，
故答案为：
根据矩形的性质求出，求出是等边三角形，即可求出．
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据矩形的性质求出是解此题的关键．

14.【答案】

【解析】解：、、和是四个全等的直角三角形，
，
在中，由勾股定理得，
，
四边形的面积为，
故答案为：．
由题意知，在中，由勾股定理得，，从而得出答案．
本题主要考查了“赵爽弦图”，勾股定理等知识，利用勾股定理求出的长是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：，，
两对角线的一半分别为，，
由勾股定理得，边长，
所以，菱形的周长．
故答案为：．
根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长，然后根据菱形的四条边都相等解答．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的对角线互相垂直平分并求出边长是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：，，
，
折叠的性质，
，
设，则在中，，
．
故答案为：．
先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长．
本题考查了折叠的性质、一元二次方程的运用以及利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了实数与数轴以及二次根式的化简，由数轴得到和的取值范围，根据差的绝对值是大数减小数，可化简绝对值，根据二次根式的性质，可化简二次根式，最后合并同类项即可．
【解答】
解：由题意得，
，，

．
故答案为．

18.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题关键点是熟练掌握这些性质．
要求的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解．
【解答】
解：正方形是轴对称图形，点与点是以直线为对称轴的对称点，
连接，，则直线即为的垂直平分线，

，
，
连接交于点，
点为上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点运动到点时，
，
的最小值为的长度，
四边形为正方形，
，，，
，
的最小值是．
故答案为．

19.【答案】解：

；

．

【解析】先算除法，再算加减，即可解答；
先算乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

20.【答案】解：
，
，，
，
解得，
当，时，原式．

【解析】先将题目中所求式子化简，然后再根据，，求出、的值，再代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．

21.【答案】证明：在平行四边形中，
，，
，
，．
四边形是平行四边形．
．

【解析】要证，只需证四边形是平行四边形，而很快证出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出．
本题考查了平行四边形的判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

22.【答案】

【解析】解：由题意可得：尺，尺，
故答案为：，；
设芦苇长尺，
则水深尺，
在中，
，
解得：，
则尺，
答：芦苇长尺．
直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案；
根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长．

23.【答案】解：是直角三角形，
理由：由勾股定理得：
，，，
，
是直角三角形；
设的边上的高为，
在中，，，，
的面积，
，
，
边上的高是．

【解析】根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答；
设的边上的高为，然后利用等面积法进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

24.【答案】

【解析】解：，
故答案为：；
，
故答案为：；
，
故答案为：．
根据平方差公式可以将题目中的式子分母有理化；
根据平方差公式可以将题目中的式子分母有理化；
根据平方差公式可以将题目中的式子分母有理化．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确题意，会用平方差公式将分母有理化．

25.【答案】证明：，
，
四边形是正方形，
，
，
，
又，，，
．
如图：图形即为所求作．

解：结论：．
理由：在上截取点，使得，连接．

四边形是正方形，
．
在和中，

≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
点关于直线的对称点是点，
，
，，
，
，
，
．
，，
，
四边形为平行四边形，
，
．

【解析】根据等角的余角相等证明即可．
根据要求画出图形即可．
结论：在上截取点，使得，连接证明≌，推出，，再证明四边形为平行四边形，可得结论．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

26.【答案】

【解析】解：，，，
，
四边形是准矩形，
．
故答案为：；
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，
四边形是准矩形；
作，垂足为，

准矩形中，，，
，
，
，

，
，
．
利用勾股定理计算，再根据准矩形的特点求出即可；
先利用正方形的性质判断出≌，即可得证；
作，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了新定义，勾股定理，梯形面积公式，三角形面积公式，正确运用准矩形的定义是解本题的关键．

27.【答案】

【解析】解：，
，
；
，
，
，
故答案为：；；
，
，，，
，
，
原式

．
根据完全平方公式求出，把代入计算求出；
把进行恒等变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握代数式的恒等变形方法是解题的关键．

28.【答案】

【解析】解：如图，四边形是正方形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：，．
补全图形如图．
，
证明：连接，
由平移得，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
由四边形是正方形，得，，因为，所以≌，得，，再推导出，即可证明；
过点作，使，连接，即可将图形补全；
连接，先证明四边形是平行四边形，则，，所以，再证明≌，得，，所以，由，证得，则，而，于是可求得线段，，的数量关系为．
此题考查正方形的性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度较大，正确地作出辅助线并证明≌是解题的关键．