2021-2022学年北京十四中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京十四中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，4）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，﹣2）C．（﹣4，2）D．（﹣2，﹣4）
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（x2）3＝x5B．b2+b2＝2b2C．xm•x5＝x5mD．（3x）3＝9x3
4．（2分）下列条件中，不能判定三角形全等的是（ ）
A．三条边分别相等
B．两边和其中一角分别相等
C．两边和夹角分别相等
D．两角和它们的夹边分别相等
5．（2分）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
6．（2分）若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开，则剩余部分展开后得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
C．等腰三角形的对称轴是底边上的中线
D．等边三角形有3条对称轴
8．（2分）如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E．如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为（ ）
A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm
9．（2分）如图，∠BAC＝130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A．50°B．75°C．80°D．105°
10．（2分）如图，将Rt△ABC过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为BD，现有以下结论：
①DE⊥AB；
②BC＝BE；
③BD平分∠ABC；
④△BCE是等边三角形；
⑤BD垂直平分EC；
其中正确的有（ ）
A．①②③B．②③C．①②③④D．①②③⑤
二、填空题（第11-18题每题3分，第19题4分，共28分）
11．（3分）计算：2a•3a2b＝ ，（﹣2x）3＝ ，3a（5a﹣2b）＝ ．
12．（3分）等腰三角形的两边长分别为2和6，则三角形周长为 ．
13．（3分）等腰三角形的一个外角是110°，则它的顶角的度数是 ．
14．（3分）在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，∠B＝60°，则△ABC的周长是 ．
15．（3分）若a5•（ay）3＝a17，则y＝ ，若3×9m×27m＝311，则m的值为 ．
16．（3分）如图，△ABC≌△DEF，点F在BC边上，AB与EF相交于点P．若∠DEF＝37°，PB＝PF，则∠APF＝ °．
17．（3分）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为 ．
18．（3分）如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C．若PC＝10，则OC＝ ，PD＝ ．
19．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，3），C（0，2），点D在第二象限，且△AOB≌△OCD．在坐标系中画草图分析可得：
（1）点D的坐标为 ；
（2）点P在y轴上，且△PAC是等腰三角形，则∠CPA的大小为 ．
三、解答题（本大题共8道小题，共52分）
20．（12分）计算：
（1）x2y3•（﹣x）；
（2）（﹣2ab）3•a4b2；
（3）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）；
（4）（﹣3x2）2•（﹣x2+2x﹣1）．
21．（5分）先化简，再求值．x（2x2﹣4x）﹣x2（6x﹣3）+x（2x）2，其中x＝﹣．
22．（5分）已知BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF．
求证：AC∥DF．
23．（4分）如图，在4×4的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案．将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，请在如图的图中至少画出四个方案，并画出对称轴．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（1，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（ ， ）．
（2）△ABC的面积为 ．
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（ ， ）．
25．（6分）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，已知△ABC，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作△A'C'B．
作法：在射线BP上截BA'＝BA，以点B为圆心、BC长为半径作弧，以点A'为圆心，AC长为半径作弧，两弧在射线BP的右侧交于点C'，则△A'C'B即为所求．
上述操作的作图原理是： ．
（2）如图2，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA，OB的距离相等．
结论： ．
26．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，连接AE．若AE＝3，求BC的长．
解：∵AB＝AC．
∴∠C＝∠B（ ）．
∵∠B＝30°，
∴∠C＝30°．
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝ °．
∵点D是AC的中点，且DE⊥AC，
∴EC＝EA＝3（ ）．
∴∠EAC＝∠C＝30°．
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝ °．
∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴BE＝2 ＝ ．
∴BC＝BE+EC＝ ．
27．（7分）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACN＝α，直接写出∠BDC的大小 （用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．（第（2）问中的结论可以直接使用）
四、附加题（本大题共2道小题，共10分）
28．（4分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
根据上述规定，（2，8）＝ ，若（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，且满足p+q＝r，则t＝ ．
29．（6分）（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
2021-2022学年北京十四中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，4）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，﹣2）C．（﹣4，2）D．（﹣2，﹣4）
【分析】利用关于x轴的对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：点P（﹣2，4）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣4），
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（x2）3＝x5B．b2+b2＝2b2C．xm•x5＝x5mD．（3x）3＝9x3
【分析】根据积的乘方与幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法解决此题．
【解答】解：A．根据积的乘方，（x2）3＝x6，故A不正确，那么A不符合题意．
B．根据合并同类项法则，b2+b2＝2b2，故B正确，那么B符合题意．
C．根据同底数幂的乘法，xm•x5＝xm+5，故C不正确，那么C不符合题意．
D．根据积的乘方与幂的乘方，（3x）3＝27x3，故D不正确，那么D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查积的乘方与幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方与幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法是解决本题的关键．
4．（2分）下列条件中，不能判定三角形全等的是（ ）
A．三条边分别相等
B．两边和其中一角分别相等
C．两边和夹角分别相等
D．两角和它们的夹边分别相等
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．三边对应相等，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
B．两边相等，假如是一个三角形是这两边的夹角，二另一个三角形是其中一边的对角相等，那么这时的两个三角形不全等，故本选项符合题意；
C．两边和夹角分别相等，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
D．两角和它们的夹边分别相等，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
5．（2分）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
6．（2分）若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开，则剩余部分展开后得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】拿正方形纸片先沿对角线向上翻折，再向右翻折，右下翻折，剪去上面一个等腰直角三角形，展开即可得到正确答案．
【解答】解：动手操作后可得第一个图案．
故选：A．
【点评】本题主要考查了剪纸问题；主要是让学生学会动手操作能力．
7．（2分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
C．等腰三角形的对称轴是底边上的中线
D．等边三角形有3条对称轴
【分析】根据等边三角形的判定定理、轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、一个三角形的外角是120°，
则内角为60°，
∴这个三角形是等边三角形，本选项说法正确，不符合题意；
B、一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，本选项说法正确，不符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，本选项说法错误，符合题意；
D、等边三角形有3条对称轴，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．（2分）如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E．如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为（ ）
A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm
【分析】利用翻折变换的性质得出AD＝BD，进而利用AD+CD＝BC得出即可．
【解答】解：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，
∴AD＝BD，
∵AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，
∴AD+CD＝BC＝17﹣5＝12（cm）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出AD＝BD是解题关键．
9．（2分）如图，∠BAC＝130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A．50°B．75°C．80°D．105°
【分析】由MP和QN分别垂直平分AB和AC，根据线段垂直平分线的性质，可得PA＝PB，QA＝QC，继而可得∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，则可求得答案．
【解答】解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∵∠BAC＝130°，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝80°．
故选：C．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意转化思想的应用是关键．
10．（2分）如图，将Rt△ABC过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为BD，现有以下结论：
①DE⊥AB；
②BC＝BE；
③BD平分∠ABC；
④△BCE是等边三角形；
⑤BD垂直平分EC；
其中正确的有（ ）
A．①②③B．②③C．①②③④D．①②③⑤
【分析】由折叠的性质可得∠BED＝∠BCD＝90°，BC＝BE，∠CBD＝∠EBD，DE＝DC，可得DE⊥AB，BD平分∠ABC，由线段垂直平分线的判定可得BD垂直平分EC，由∠ABC不一定等于60°，可得△BEC不一定是等边三角形，即可求解．
【解答】解：∵将Rt△ABC过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，
∴△BCD≌△BED，
∴∠BED＝∠BCD＝90°，BC＝BE，∠CBD＝∠EBD，DE＝DC，
∴DE⊥AB，BD平分∠ABC，故①②③正确，
∵DE＝DC，BE＝BC，
∴BD垂直平分EC，故⑤正确，
∵∠ABC不一定等于60°，
∴△BEC不一定是等边三角形，故④错误，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的性质，等边三角形的判定等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
二、填空题（第11-18题每题3分，第19题4分，共28分）
11．（3分）计算：2a•3a2b＝ 6a3b ，（﹣2x）3＝ ﹣8x3 ，3a（5a﹣2b）＝ 15a2﹣6ab ．
【分析】单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘；
积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；
【解答】解：2a•3a2b＝6a3b；
（﹣2x）3＝﹣8x3；
3a（5a﹣2b）＝15a2﹣6ab．
故答案为：6a3b；﹣8x3；15a2﹣6ab．
【点评】本题考查了单项式与单项式相乘、积的乘方、单项式与多项式相乘，掌握这三个法则的熟练应用，正确运用是解题关键．
12．（3分）等腰三角形的两边长分别为2和6，则三角形周长为 14 ．
【分析】根据2和6可分别作等腰三角形的腰，结合三角形三边关系定理，分别讨论求解．
【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，6，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形；
当6为腰时，三边为6，6，2，符合三角形三边关系定理，周长为：6+6+2＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，6分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
13．（3分）等腰三角形的一个外角是110°，则它的顶角的度数是 70°或40° ．
【分析】根据外角与相邻的内角的和为180°求这个内角的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【解答】解：∵一个外角是110°，
∴与这个外角相邻的内角是180°﹣110°＝70°，
①当70°角是顶角时，它的顶角度数是70°，
②当70°角是底角时，它的顶角度数是180°﹣70°×2＝40°，
综上所述，它的顶角度数是70°或40°．
故答案为：70°或40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，要注意分两种情况讨论求解．
14．（3分）在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，∠B＝60°，则△ABC的周长是 15 ．
【分析】根据等边三角形的判定和性质即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC＝5，
∴△ABC的周长为15，
故答案为15．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（3分）若a5•（ay）3＝a17，则y＝ 4 ，若3×9m×27m＝311，则m的值为 2 ．
【分析】先利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则计算a5•（ay）3、3×9m×27m，再根据底数与指数分别相等时幂也相等得方程，求解即可．
【解答】解：∵a5•（ay）3＝a5×a3y＝a5+3y，
∴a5+3y＝a17．
∴5+3y＝17．
∴y＝4．
∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+5m，
∴31+5m＝311．
∴1+5m＝11．
∴m＝2．
故答案为：4；2．
【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法法则，根据底数、指数分别相等时其幂也相等得到关于y和m的方程是解决本题的关键．
16．（3分）如图，△ABC≌△DEF，点F在BC边上，AB与EF相交于点P．若∠DEF＝37°，PB＝PF，则∠APF＝ 74 °．
【分析】根据全等三角形的性质可得∠E＝∠B＝37°，再根据等边对等角可得∠PFB＝∠B＝37°，再由三角形外角的性质可得∠APF的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝37°，
∵PB＝PF，
∴∠PFB＝∠B＝37°，
∴∠APF＝37°+37°＝74°，
故答案为：74．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
17．（3分）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为 134° ．
【分析】连接AD，利用轴对称的性质解答即可．
【解答】解：连接AD，
∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，
∵∠B＝62°，∠C＝51°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣62°﹣51°＝67°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝134°，
故答案为134°．
【点评】此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，关键是利用轴对称的性质解答．
18．（3分）如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C．若PC＝10，则OC＝ 10 ，PD＝ 5 ．
【分析】求出∠COP＝∠CPO＝∠BOP，即可得出PC＝OC，根据角平分线的性质得出PD＝PE，求出PE，即可求出PD．
【解答】解：∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵PC∥OB，
∴∠CPO＝∠BOP，∴∠CPO＝∠AOP，
∴PC＝OC，
∵PC＝10，
∴OC＝PC＝10，
过P作PE⊥OA于点E，
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PD＝PE，
∵PC∥OB，∠AOB＝30°
∴∠ECP＝∠AOB＝30°
在Rt△ECP中，PE＝PC＝5，
∴PD＝PE＝5，
故答案为：10，5．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等．
19．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，3），C（0，2），点D在第二象限，且△AOB≌△OCD．在坐标系中画草图分析可得：
（1）点D的坐标为 （﹣3，2） ；
（2）点P在y轴上，且△PAC是等腰三角形，则∠CPA的大小为 22.5°或45°或67.5°或90° ．
【分析】（1）根据△AOB≌△OCD可得DC＝BO，再根据B（0，3），C（0，2）可得D点坐标；
（2）由点A（2，0），C（0，2），得到OA＝OC＝2，求得∠ACO＝∠CAO＝45°，当AC＝AP时，当CA＝CP时，当点O与点P重合时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）正确画出△COD，
∵△AOB≌△OCD，
∴DC＝BO，
∵B（0，3），C（0，2），
∴D（﹣3，2）；
（2）∵点A（2，0），C（0，2），
∴OA＝OC＝2，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°，
当AC＝AP时，∠CPA＝∠ACP＝45°；
当CA＝CP时，∠CPA＝∠CAP＝（180°﹣45°）＝67.5°，或∠CPA＝∠CAP＝∠ACO＝22.5°；
当点O与点P重合时，PC＝PA，∠CPA＝∠COA＝90°，
综上所述，∠CPA的大小为22.5°或45°或67.5°或90°
故答案为：（1）（﹣3，2）；（2）22.5°或45°或67.5°或90°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
三、解答题（本大题共8道小题，共52分）
20．（12分）计算：
（1）x2y3•（﹣x）；
（2）（﹣2ab）3•a4b2；
（3）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）；
（4）（﹣3x2）2•（﹣x2+2x﹣1）．
【分析】（1）根据单项式乘单项式乘法法则解决此题．
（2）根据单项式乘单项式乘法法则解决此题．
（3）根据单项式乘多项式乘法法则解决此题．
（4）根据单项式乘多项式乘法法则解决此题．
【解答】解：（1）x2y3•（﹣x）＝﹣2x3y3．
（2）（﹣2ab）3•a4b2
＝﹣8a3b3•a4b2
＝﹣8a7b5．
（3）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）
＝﹣2a2•3ab2﹣2a2•（﹣5ab3）
＝﹣6a3b2+10a3b3．
（4）（﹣3x2）2•（﹣x2+2x﹣1）
＝9x4•（﹣x2+2x﹣1）
＝9x4•（﹣x2）+9x4•2x﹣9x4
＝﹣9x6+18x5﹣9x4．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式、单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘单项式乘法法则、单项式乘多项式乘法法则是解决本题的关键．
21．（5分）先化简，再求值．x（2x2﹣4x）﹣x2（6x﹣3）+x（2x）2，其中x＝﹣．
【分析】先利用整式的乘法计算，合并化简，最后代入求得数值即可．
【解答】解：原式＝2x3﹣4x2﹣6x3+3x2+4x3
＝﹣x2，
当x＝﹣时，
原式＝﹣．
【点评】此题考查整式的混合运算与化简求值，掌握计算方法与合并同类项的方法是解决问题的关键．
22．（5分）已知BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF．
求证：AC∥DF．
【分析】根据题意可以证得△ABC≌△DEF，从而可以解答本题．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠F，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质解答．
23．（4分）如图，在4×4的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案．将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，请在如图的图中至少画出四个方案，并画出对称轴．
【分析】根据轴对称图形的性质画出图形即可．
【解答】解：方案如图所示，对称轴如图所示．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（1，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（ ﹣3 ， ﹣2 ）．
（2）△ABC的面积为 ．
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（ ﹣2 ， 0 ）．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积；
（3）连接A1B，与x轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（﹣3，﹣2）；
故答案为：﹣3、﹣2；
（2）△ABC的面积为4×3﹣×2×3﹣×1×3﹣×1×4
＝12﹣3﹣﹣2
＝，
故答案为：．
（3）如图所示，点P即为所求，其坐标为（﹣2，0），
故答案为：﹣2、0．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
25．（6分）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，已知△ABC，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作△A'C'B．
作法：在射线BP上截BA'＝BA，以点B为圆心、BC长为半径作弧，以点A'为圆心，AC长为半径作弧，两弧在射线BP的右侧交于点C'，则△A'C'B即为所求．
上述操作的作图原理是： SSS ．
（2）如图2，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA，OB的距离相等．
结论： 点P为∠AOB的平分线与MN的交点 ．
【分析】（1）根据题中作法画出对应的几何图形，再利用三角形全等的判定方法可判断△A'C'B≌△ACB，于是得到△A′BC′满足条件；
（2）利用角平分线的性质画图．
【解答】解：（1）如图，△A'C'B即为所求．
由作法得BA′＝BA，BC′＝BC，A′C′＝AC，
根据“SSS”可判断△A'C'B≌△ACB，
∴∠A′BC′＝∠ABC，
∴∠A′BA＝∠C′BC，
∴△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'C'B．
故答案为：SSS；
（2）如图，点P为所作，
根据角平分线的性质可判断点P到射线OA，OB的距离相等．
故答案为：点P为∠AOB的平分线与MN的交点．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了角平分线的性质．
26．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，连接AE．若AE＝3，求BC的长．
解：∵AB＝AC．
∴∠C＝∠B（ 等边对等角 ）．
∵∠B＝30°，
∴∠C＝30°．
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝ 120° °．
∵点D是AC的中点，且DE⊥AC，
∴EC＝EA＝3（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ）．
∴∠EAC＝∠C＝30°．
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝ 90 °．
∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴BE＝2 AE ＝ 6 ．
∴BC＝BE+EC＝ 9 ．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°；根据线段垂直平分线的性质得EC＝EA＝3．∠EAC＝∠C＝30°．从而可得∠BAE＝90°，Rt△ABE中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得BE＝2AE＝6；由此可求得BC的长．
【解答】解：∵AB＝AC．
∴∠C＝∠B（等边对等角）．
∵∠B＝30°，
∴∠C＝30°．
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．
∵点D是AC的中点，且DE⊥AC，
∴EC＝EA＝3（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）．
∴∠EAC＝∠C＝30°．
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°．
∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴BE＝2AE＝6．
∴BC＝BE+EC＝9．
故答案为：等边对等角，120°，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，90，AE，6，9．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27．（7分）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACN＝α，直接写出∠BDC的大小 60°﹣α （用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．（第（2）问中的结论可以直接使用）
【分析】（1）按要求画图即可；
（2）由轴对称可得CA＝CD，再由等腰三角形和等边三角形性质可得结论；
（3）在PB上截取PF＝PC，如图所示，连接CF，先证明△PCF为等边三角形，再证明△BFC≌△DPC，则BF＝PA，由此可解决问题．
【解答】解：（1）补全图形如图所示．
（2）∵点A、D关于CN对称，
∴CN为AD中垂线，
∴CA＝CD，∠ACN＝∠DCN＝α．
∴∠ACD＝2α，
又∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴BC＝CD．
∴∠BCD＝60°+2α，∠BDC＝∠DBC．
∴∠BDC＝＝60°﹣α．
故答案为：60°﹣α．
（3）PB＝PC+2PE．
证明：在PB上截取PF＝PC，如图所示，连接CF．
∵CA＝CD，∠ACD＝2α，CN⊥AD，
∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α，
∵∠BDC＝60°﹣α，
∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝（90°﹣α）﹣（60°﹣α）＝30°，
∴PD＝2PE，∠DPE＝60°＝∠CPF，
∵PF＝PC，
∴△PCF为等边三角形，
∠BFC＝∠DPC＝120°，
在△BFC和△DPC中，
，
∴△BFC≌△DPC（AAS）．
∴BF＝PD＝2PE．
∴PB＝PF+BF＝PC+2PE．
即PB＝PC+2PE．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构造等边三角形转移线段解题是关键．
四、附加题（本大题共2道小题，共10分）
28．（4分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
根据上述规定，（2，8）＝ 3 ，若（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，且满足p+q＝r，则t＝ 80 ．
【分析】根据有理数的乘方、同底数幂的乘法解决此题．
【解答】解：∵23＝8，
∴（2，8）＝3．
∵（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，
∴mp＝16，mq＝5，mr＝t．
∴mp•mq＝mp+q＝80．
∵p+q＝r，
∴mp+q＝mr．
∴mr＝80＝t．
∴t＝80．
故答案为：3，80．
【点评】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法是解决本题的关键．
29．（6分）（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
【分析】（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．
（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．
【解答】解：（1）如图（共有2种不同的分割法）．
（2）设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图1，则∠CBD＝∠CDB＝90°﹣x，∠A＝180°﹣x﹣y．
而∠ADB＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°﹣x﹣y＝y﹣（90°﹣x）
即3x+4y＝540°，即∠ABC＝135°﹣∠C；
②若∠C是底角，
第一种情况：如图2，当DB＝DC时，则∠DBC＝x，△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y﹣x．
由AB＝AD，得2x＝y﹣x，此时有y＝3x，即∠ABC＝3∠C．
由AB＝BD，得180°﹣x﹣y＝2x，此时3x+y＝180°，即∠ABC＝180°﹣3∠C．
由AD＝BD，得180°﹣x﹣y＝y﹣x，此时y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于等于45°的任意锐角．
第二种情况，如图3，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°﹣x＞90°，此时只能有AD＝BD，
从而∠A＝∠ABD＝∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．
综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC＝135°﹣∠C或∠ABC＝180°﹣3∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意角
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．
第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/28 17:59:55；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111