2021-2022学年北京市大兴区金融街润泽学校国际班九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市大兴区金融街润泽学校国际班九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共20页。
A．∠A＝∠D，∠B＝∠FB．且∠B＝∠D
C．D．且∠A＝∠D
2．（2分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）
A．3.5mB．4mC．4.5mD．5m
3．（2分）如图，若△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（2，0）D．（0，﹣1）
4．（2分）如图，l1∥l2∥l3，直线AB，CD与l1、l2、l3分别相交于点A、O、B和点C、O、D．若，CD＝6，则CO的长是（ ）
A．2.4B．3C．3.6D．4
5．（2分）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为（ ）
A．sinA＝3sinA′B．sinA＝sinA′
C．3sinA＝sinA′D．不能确定
6．（2分）已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为（ ）
A．B．C．D．1
7．（2分）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29°B．3.5cs29°C．3.5tan29°D．
8．（2分）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
9．（2分）四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．2：3：4：5B．2：4：3：5C．2：5：3：4D．2：3：5：4
10．（2分）如图，点P为⊙O外一点，点A、B在圆上，PA、PB交优弧AB于点C、D，若∠AOB＝60°，则判断∠APB大小正确的是（ ）
A．∠APB＝30°B．∠APB＞30°C．∠APB＜30°D．不能确定
二、填空题（本大题共7小题，每小题2分，共14分.请把答案填写在相应题号后的横线上）
11．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，DB＝4，AE＝2．那么EC＝ ．
12．（2分）如图，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则河宽AB为 米．
13．（2分）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动、已知细绳的长度为20厘米，当小球摆动到最高位置时，细绳偏转的角度为28°，那么小球在最高位置与最低位置时的高度差为 厘米（用所给数据表示即可）．
14．（2分）青岛位于北纬36°4′，在冬至日的正午时分，太阳的入射角为30°30′，因此在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的最小间距为 米，才能保证不挡光．
15．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝30°，则∠A的度数等于 ．
16．（2分）如图，AC与BD交于P，AD、BC延长交于点E，∠AEC＝37°，∠CAE＝31°，则∠APB的度数为 ．
17．（2分）在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 时，使得△BOC∽△AOB．
三、解答题（本大题共7题，第18-21每题4分；第22-24每题5分；合计31分）
18．（4分）求值：sin60°•sin45°﹣cs30°•cs45°．
19．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．
20．（4分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
21．（4分）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5，∠DCF＝30°，请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？（＝1.73，结果保留两位小数）
22．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．
23．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，过点C作AB的平行线交∠ABC的平分线于点D，BD交边AC于点E，求DE的长．
24．（5分）如图是某一过街天桥的示意图，天桥高CO为6米，坡道倾斜角∠CBO为45°，在距B点5米处有一建筑物DE．为方便行人上下天桥，市政部门决定减少坡道的倾斜角，但要求建筑物与新坡角A处之间地面要留出不少于3米宽的人行道．
（1）若将倾斜角改建为30°（即∠CAO＝30°），则建筑物DE是否要拆除？（≈1.732）
（2）若不拆除建筑物DE，则倾斜角最小能改到多少度（已知tan37°≈，精确到1°）？
2021-2022学年北京市大兴区金融街润泽学校国际班九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案的选项填入对应答题卡中）.
1．（2分）下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠FB．且∠B＝∠D
C．D．且∠A＝∠D
【分析】直接根据三角形相似的判定方法对每一选项进行判断即可得出答案．
【解答】解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
2．（2分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）
A．3.5mB．4mC．4.5mD．5m
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，BC＝7m，
∴AC＝AB+BC＝10m，
∴＝，
解得，DC＝5，
即建筑物CD的高是5m，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2分）如图，若△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（2，0）D．（0，﹣1）
【分析】根据位似的两个图形对应点的连线都经过同一点解答．
【解答】解：延长A′A、B′B交于点P，
则点P（1，﹣1）为位似中心，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似的两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点是解题的关键．
4．（2分）如图，l1∥l2∥l3，直线AB，CD与l1、l2、l3分别相交于点A、O、B和点C、O、D．若，CD＝6，则CO的长是（ ）
A．2.4B．3C．3.6D．4
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可解答．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
即，
∴CO＝3.6，
故选：C．
【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
5．（2分）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为（ ）
A．sinA＝3sinA′B．sinA＝sinA′
C．3sinA＝sinA′D．不能确定
【分析】根据相似三角形的性质，可得A，A′，根据锐角三角函数的定义，可得答案．
【解答】解：由Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，得
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
∠A＝∠A′，sinA＝sinA′
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用相似三角形的性质得出∠A＝∠A′是解题关键．
6．（2分）已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据平行线的性质及特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠AOC＝∠OCD＝30°，∠α＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴csα＝cs60°＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主，难度适中．
7．（2分）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29°B．3.5cs29°C．3.5tan29°D．
【分析】解直角三角形求出AB即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC•sin∠ACB＝3.5•sin29°，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2分）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：A．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
9．（2分）四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．2：3：4：5B．2：4：3：5C．2：5：3：4D．2：3：5：4
【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据内接四边形的对角互补的性质解答．
10．（2分）如图，点P为⊙O外一点，点A、B在圆上，PA、PB交优弧AB于点C、D，若∠AOB＝60°，则判断∠APB大小正确的是（ ）
A．∠APB＝30°B．∠APB＞30°C．∠APB＜30°D．不能确定
【分析】连接BC，已知∠AOB＝60°，∠AOB与∠ACB为优弧AB所对的圆心角和圆周角，利用圆周角定理求得∠ACB，再利用三角形外角的性质得出答案即可．
【解答】解：如图，
∵∠AOB与∠ACB为优弧AB所对的圆心角和圆周角，
∴∠ACB＝∠AOB＝×60°＝30°，
∵∠ACB是△PBC的外角，
∴∠APB＜∠ACB＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理的运用，三角形外角的性质，掌握同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系是解决问题关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题2分，共14分.请把答案填写在相应题号后的横线上）
11．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，DB＝4，AE＝2．那么EC＝ ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到EC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴CE：AE＝BD：AD，
∵AD＝3，DB＝4，AE＝2，
∴EC＝，
故答案为：．
【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
12．（2分）如图，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则河宽AB为 100 米．
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
【解答】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，则AB＝，
∴AB＝＝100（米）．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
13．（2分）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动、已知细绳的长度为20厘米，当小球摆动到最高位置时，细绳偏转的角度为28°，那么小球在最高位置与最低位置时的高度差为 20（1﹣cs28°） 厘米（用所给数据表示即可）．
【分析】当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．
【解答】解：如图：过A作AB⊥OC于B．
Rt△OAB中，OA＝20厘米，∠AOB＝28°，
∴OB＝OA•cs28°＝20×cs28°．
∴BC＝OC﹣OB＝20﹣20×cs28°＝20（1﹣cs28°）．
【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
14．（2分）青岛位于北纬36°4′，在冬至日的正午时分，太阳的入射角为30°30′，因此在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的最小间距为 20ct30°30′ 米，才能保证不挡光．
【分析】本题就是已知直角三角形的一个锐角，和一边求另一边的问题．
【解答】解：设楼间距最小为x米，
∴ct30°30′＝，
∴x＝20ct30°30′．
【点评】正确记忆三角函数的定义，以及解直角三角形的条件是解决本题的关键．
15．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝30°，则∠A的度数等于 60° ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB＝30°，根据三角形内角和定理求出∠BOC，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°×2＝120°，
由圆周角定理得，∠A＝∠BOC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
16．（2分）如图，AC与BD交于P，AD、BC延长交于点E，∠AEC＝37°，∠CAE＝31°，则∠APB的度数为 99° ．
【分析】由∠ACB为△ACE的外角，求得∠ACE＝∠A+∠AEC，由圆周角定理，得∠ADB＝∠ACB，根据三角形外角定理即可求得答案．
【解答】解：∵∠ACB为△ACE的外角，
∴∠ACE＝∠A+∠AEC
∵，∠AEC＝37°，∠CAE＝31°，
∴∠ACE＝68°．
由圆周角定理，得∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝68°，
∴∠APB＝∠A+∠ADB＝31°+68°＝99°，
故答案为99°．
【点评】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握定理是解决问题的关键．
17．（2分）在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 （﹣1，0）或者（1，0） 时，使得△BOC∽△AOB．
【分析】根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：∵点A为（4，0），
∴AO＝4；
∵点B为（0，2），
∴OB＝2．
若△BOC∽△AOB．
则：＝．
即：＝，
∴OC＝1．
故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．
故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定、坐标与图形性质．解答此类题目时，首先判断由B、O、C三点组成的三角形形状，再利用两个三角形直角边与直角边对应关系的两种可能，分别求解．
三、解答题（本大题共7题，第18-21每题4分；第22-24每题5分；合计31分）
18．（4分）求值：sin60°•sin45°﹣cs30°•cs45°．
【分析】把sin60°、sin45°、cs30°、cs45°的函数值代入计算即可．
【解答】解：原式＝×﹣×
＝﹣
＝0．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．另解决本题亦可利用互余的两个角间的函数关系求解．
19．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．
【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD＝∠B，推出BD＝CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
【解答】解：
过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，
∴BD＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+，
答：AB的长是3+．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
20．（4分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质可求出CK的长．
【解答】解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，
∵AH∥DK，
∴∠CDK＝∠A，
而∠CKD＝∠AHD，
∴△CDK∽△DAH，
∴＝，即＝，
∴CK＝．
答：出南门步恰好看到位于A处的树木．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
21．（4分）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5，∠DCF＝30°，请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？（＝1.73，结果保留两位小数）
【分析】根据题意得出各角度数，再利用锐角三角函数关系求出即可．
【解答】解：由题意可得：∠BCE＝60°，
故EC＝BCcs60°＝1（m），FC＝DCcs30°＝5×＝，
则EF＝EC+FC＝1+≈5.33（m）．
答：车位所占的宽度EF约为5.33米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
22．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．
【分析】连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，根据BD是直径，易证△ABD为直角三角形；∠D＝∠C＝30°．则BD＝2AB＝8．
【解答】解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，
∴∠C＝30°，
∴∠BOA＝60°．
又∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形．
∴OB＝AB＝4，
∴BD＝8．
∴⊙O的直径为8．
【点评】本题运用了圆周角定理的推论，直径所对的圆心角是直角．正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，过点C作AB的平行线交∠ABC的平分线于点D，BD交边AC于点E，求DE的长．
【分析】先利用勾股定理计算出AC＝8，再证明∠D＝∠DBC得到CD＝CB＝6，接着证明△CDE∽△ABE，则＝＝＝，利用比例的性质可计算出CE，则利用勾股定理可计算出BE，然后利用比例性质求出DE的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DCB＝∠DBA，
∵CD∥AB，
∴∠D＝∠DBA，
∴∠D＝∠DBC，
∴CD＝CB＝6，
∵CD∥AB，
∴△CDE∽△ABE，
∴＝＝＝＝，
∴CE＝AC＝×8＝3，
在Rt△BCE中，BE＝＝＝3，
∵＝，
∴DE＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
24．（5分）如图是某一过街天桥的示意图，天桥高CO为6米，坡道倾斜角∠CBO为45°，在距B点5米处有一建筑物DE．为方便行人上下天桥，市政部门决定减少坡道的倾斜角，但要求建筑物与新坡角A处之间地面要留出不少于3米宽的人行道．
（1）若将倾斜角改建为30°（即∠CAO＝30°），则建筑物DE是否要拆除？（≈1.732）
（2）若不拆除建筑物DE，则倾斜角最小能改到多少度（已知tan37°≈，精确到1°）？
【分析】（1）分别在△CAO和△CBO中，求出AO、BO的长度，最后比较AO+3与OE的长度，进行判断；
（2）若不拆除建筑物DE，则OA最长可以是11﹣3＝8m，在Rt△CAO中，求出∠CAO的度数．
【解答】解：（1）当∠CAO＝30°时，
在Rt△CAO中，
∵CO＝6m，tan∠CAO＝，
∴AO＝＝＝6（m），
在Rt△CBO中，
∵∠CBO＝45°，
∴BO＝CO＝6m，
∵AO+3＝6+3＞11＝OE，因此建筑物DE要拆除；
（2）若不拆除建筑物DE，则OA最长可以是11﹣3＝8m，
在Rt△CAO中，
∵CO＝6m，tan∠CAO＝＝，
∴∠CAO≈37°，
因此倾斜角最小能改到37°．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
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