2021-2022学年北京市昌平区八年级（上）期中数学试卷（b卷）【含解析】

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1．（2分）下列关于x的方程，是分式方程的是（ ）
A．﹣3＝B．x﹣y＝5C．＝+D．＝1﹣
2．（2分）9的平方根是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．9
3．（2分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＝1C．x≠0D．x＝0
4．（2分）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍B．扩大为原来的2倍
C．不变D．缩小为原来的
5．（2分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．3.14B．C．D．﹣
6．（2分）计算（﹣）3•（﹣a4）的结果是（ ）
A．aB．﹣aC．D．﹣
7．（2分）如图，数轴上C，B两点表示的数分别是2，，且点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．﹣B．2﹣C．4﹣D．﹣2
8．（2分）若分式方程＝a无解，则a的值为（ ）
A．0B．﹣1C．0或﹣1D．1或﹣1
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分
9．（2分）当x＝ 时，分式的值等于零．
10．（2分）化简＝ ．
11．（2分）化简：＝ ．
12．（2分）＝ ．
13．（2分）分式和的最简公分母是 ．
14．（2分）若式子有意义，写出一个满足条件的x值： ．
15．（2分）已知m为正整数，且m＜＜m+1，那么m的值等于 ．
16．（2分）如图，实数a，b在数轴上的位置，化简﹣＝ ．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算：+×﹣6．
18．（5分）计算：．
19．（5分）计算：．
20．（5分）解方程：．
21．（5分）先化简：，然后从﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的a值，代入求值．
22．（5分）已知：实数a、b满足+（b﹣4）2＝0．
（1）可得a+b的立方根是 ；
（2）当一个正实数x的平方根分别为m+a和b﹣2m时，求x的值．
23．（6分）小蕊在作业本上写完一个代数式的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原代数式的一部分（被墨水遮住的部分用△代替），该式为．
（1）求被墨水遮住部分的代数式；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．
24．（6分）若关于x的分式方程﹣2＝的解是正数，当m取最大整数时，求m2+2m+1的平方根．
25．（6分）据媒体报道，在第52届国际速录大赛中我国速录选手获得了7枚金牌、7枚银牌和4枚铜牌，在国际舞台上展示了指尖上的“中国速度”，看到这则新闻后，学生小明和小海很受鼓舞，决定利用业余时间练习打字，经过一段时间的努力，他们的录入速度有了明显的提高，经测试现在小明打140个字所用时间与小海打175个字所用时间相同，小明平均每分钟比小海少打15个字．请求出小明平均每分钟打字的个数．
26．（6分）观察以下等式：
第1个等式：++×＝1，
第2个等式：++×＝1，
第3个等式：++×＝1，
第4个等式：++×＝1，
第5个等式：++×＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
27．（7分）阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其分母有理化：；
还可以用以下方法分母有理化：．
（1）请用不同的方法分母有理化：；
（2）化简：．
28．（7分）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③，其中是“和谐分式”的是 （填写序号即可）；
（2）若a为整数，且为“和谐分式”，写出满足条件的a的值为 ；
（3）在化简时，小明和小娟分别进行了如下三步变形：
小明：原式＝＝，
小娟：原式＝﹣＝＝，
你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由．
2021-2022学年北京市昌平区八年级（上）期中数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）下列关于x的方程，是分式方程的是（ ）
A．﹣3＝B．x﹣y＝5C．＝+D．＝1﹣
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【解答】解：A．方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B．方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
C．方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数，故不是分式方程；
D．方程分母中含未知数x，故是分式方程．
故选：D．
【点评】本题主要考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
2．（2分）9的平方根是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．9
【分析】根据平方根的定义解答．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．（2分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＝1C．x≠0D．x＝0
【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
4．（2分）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍B．扩大为原来的2倍
C．不变D．缩小为原来的
【分析】根据x，y都扩大2倍，即可得出分子扩大4倍，分母扩大2倍，由此即可得出结论．
【解答】解：∵x，y都扩大为原来2倍，
∴分子xy扩大4倍，分母x+y扩大2倍，
∴分式扩大为原来的2倍．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据x、y的变化找出分子分母的变化．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的基本性质找出分式的变化是关键．
5．（2分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．3.14B．C．D．﹣
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、3.14是有限小数，是有理数，选项错误；
B、是分数，是有理数，选项错误；
C、＝6是整数，是有理数，选项错误；
D、﹣是无理数，选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6．（2分）计算（﹣）3•（﹣a4）的结果是（ ）
A．aB．﹣aC．D．﹣
【分析】根据分式的乘法解决此题．
【解答】解：（﹣）3•（﹣a4）
＝
＝a．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解决本题的关键．
7．（2分）如图，数轴上C，B两点表示的数分别是2，，且点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．﹣B．2﹣C．4﹣D．﹣2
【分析】首先根据已知条件可以求出线段AB的长度，然后根据AB＝AC即可解答．
【解答】解：∵数轴上C，B两点表示的数分别是2和，
∴CB＝﹣2，
∵点C是线段AB中点，
∴AC＝BC，
∴点A的坐标为：2﹣（﹣2）＝4﹣．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较大的数，就用较小的数加上两点间的距离．
8．（2分）若分式方程＝a无解，则a的值为（ ）
A．0B．﹣1C．0或﹣1D．1或﹣1
【分析】由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，分式方程去分母转化为整式方程，把x的值代入计算即可求出a的值．
【解答】解：去分母得：x﹣a＝ax+a，即（a﹣1）x＝﹣2a，
显然a＝1时，方程无解；
由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1，
把x＝﹣1代入整式方程得：﹣a+1＝﹣2a，
解得：a＝﹣1，
综上，a的值为1或﹣1，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分
9．（2分）当x＝ ﹣1 时，分式的值等于零．
【分析】根据分式的值为0的条件是解决本题的关键．
【解答】解：若分式的值等于零，则x≠0且1+x＝0．
∴x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是解决本题的关键．
10．（2分）化简＝ 2 ．
【分析】根据二次根式的化简及算术平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：∵＝×，
∴＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是算术平方根的定义，即一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
11．（2分）化简：＝ ．
【分析】把分式的分母因式分解，然后约分即可．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的约分．解题的关键是掌握约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
12．（2分）＝ 0 ．
【分析】首先根据算术平方根以及立方根的定义化简二次根式以及三次根式，然后进行加减运算即可．
【解答】解：原式＝2﹣2＝0．
故答案是：0．
【点评】本题考查了算术平方根以及立方根的定义，正确理解定义是关键．
13．（2分）分式和的最简公分母是 x（x﹣2） ．
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此解答即可．
【解答】解：＝，则分式，的分母分别是（x﹣2）、x（x﹣2），所以它们的最简公分母是x（x﹣2）．
故答案为：x（x﹣2）．
【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
14．（2分）若式子有意义，写出一个满足条件的x值： 1（答案不唯一） ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使式子有意义，
就必须4﹣2x≥0，
解得：x≤2，
即写一个满足条件的x的值，例如：1（答案不唯一，小于等于2的数均可）．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件．能够正确得出x的取值范围是解题的关键．
15．（2分）已知m为正整数，且m＜＜m+1，那么m的值等于 3 ．
【分析】由32＜11＜42可得，进而得出m的值．
【解答】解：∵32＜11＜42，
∴，
∵m为正整数，且m＜＜m+1，
∴m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，属于基础题，注意“夹逼法”的运用是关键．
16．（2分）如图，实数a，b在数轴上的位置，化简﹣＝ ﹣b ．
【分析】直接利用数轴得出：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，则a﹣b＜0，再利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，则a﹣b＜0，
故原式＝﹣a﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣b+a
＝﹣b．
故答案为：﹣b．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各式是解题关键．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算：+×﹣6．
【分析】先根据二次根式的乘法运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝3+﹣2
＝3+4﹣2
＝5．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
18．（5分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质分别化简，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝1+2﹣+2
＝3+．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
19．（5分）计算：．
【分析】对x2﹣4y2进行因式分解，把2y﹣x变形成﹣（x﹣2y），然后通分，化简即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的加减法，经过通分，把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减是解题的关键．
20．（5分）解方程：．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：两边都乘（x﹣1）（x+1），得
x（x+1）﹣（x﹣1）（x+1）＝3（x﹣1），
解得x＝2，
经检验：x＝2是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验方程的根．
21．（5分）先化简：，然后从﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的a值，代入求值．
【分析】首先对括号内的分式通分相减，把除法转化为乘法，然后进行约分即可化简，然后代入求值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝1﹣a，
当a＝2时，原式＝1﹣a＝1﹣2＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，注意取喜爱的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．如果取x＝0，则原式没有意义，因此，尽管0是大家的所喜爱的数，但在本题中却是不允许的．
22．（5分）已知：实数a、b满足+（b﹣4）2＝0．
（1）可得a+b的立方根是 1 ；
（2）当一个正实数x的平方根分别为m+a和b﹣2m时，求x的值．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b的值，再求a+b的立方根即可；
（2）这两个平方根互为相反数，和为0，求出m，再求m+a，最后求x．
【解答】解：（1）∵≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a+3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣3，b＝4，
∴a+b＝1，
∴1的立方根是1，
故答案为：1；
（2）根据题意得：m﹣3+4﹣2m＝0，
∴m＝1，
∴m+a＝1﹣3＝﹣2，
∴x＝（﹣2）2＝4．
【点评】本题考查了算术平方根和偶次方的非负数的性质，立方根，平方根，掌握一个正数有2个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
23．（6分）小蕊在作业本上写完一个代数式的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原代数式的一部分（被墨水遮住的部分用△代替），该式为．
（1）求被墨水遮住部分的代数式；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．
【分析】（1）根据已知分式得出被墨水遮住部分的代数式是•+，再根据分式的运算法则进行计算即可；
（2）解方程＝﹣1，求出x＝0，再根据分式有意义的条件求出x不能为0，1，﹣1，再得出答案即可．
【解答】解：（1）∵，
∴被墨水遮住部分的代数式是•+
＝﹣
＝；
（2）原代数式的值不能等于﹣1，
理由是：＝﹣1，
x+1＝﹣（x﹣1），
解得：x＝0，
要使分式（﹣）÷有意义，必须x﹣1≠0且x+1≠0且x≠0，
即x不能为1，﹣1，0，
所以原代数式的值不能等于﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，分式有意义的条件和解分式方程等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
24．（6分）若关于x的分式方程﹣2＝的解是正数，当m取最大整数时，求m2+2m+1的平方根．
【分析】通过解分式方程解出分式方程的解，再确定符合条件的m可取的最大整数解，再计算出此题最后结果即可．
【解答】解：解分式方程﹣2＝，
得x＝6﹣m，
若它的解是正数，
即6﹣m＞0，且6﹣m≠3时，
得m＜6且m≠3，
可得m取最大整数5，
当m＝5时，
m2+2m+1的平方根为：
±＝±＝±6．
【点评】此题考查了对分式方程及不等式的应用能力，关键是能正确求解分式方程与不等式，并根据题意正确确定问题的答案．
25．（6分）据媒体报道，在第52届国际速录大赛中我国速录选手获得了7枚金牌、7枚银牌和4枚铜牌，在国际舞台上展示了指尖上的“中国速度”，看到这则新闻后，学生小明和小海很受鼓舞，决定利用业余时间练习打字，经过一段时间的努力，他们的录入速度有了明显的提高，经测试现在小明打140个字所用时间与小海打175个字所用时间相同，小明平均每分钟比小海少打15个字．请求出小明平均每分钟打字的个数．
【分析】设小明平每分钟打字的个数是x，则小海平每分钟打字的个数是（x+15），根据“小明打140个字所用时间与小海打175个字所用时间相同”列出方程并解答．
【解答】解：设小明平每分钟打字的个数是x，则小海平每分钟打字的个数是（x+15），
由题意，得＝．
解得x＝60．
经检验：x＝60是所列方程的解，
答：小明平每分钟打字的个数是60．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26．（6分）观察以下等式：
第1个等式：++×＝1，
第2个等式：++×＝1，
第3个等式：++×＝1，
第4个等式：++×＝1，
第5个等式：++×＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次加1，每个分子分别是1和n﹣1
【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5
故应填：
（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1
故应填：
证明：＝
∴等式成立
【点评】本题是规律探究题，同时考查分式计算．解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．
27．（7分）阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其分母有理化：；
还可以用以下方法分母有理化：．
（1）请用不同的方法分母有理化：；
（2）化简：．
【分析】（1）仿照阅读材料分母有理化即可；
（2）先将各数分母有理化，再计算即可得答案．
【解答】解：（1）＝＝；
＝＝＝﹣；
（2）原式＝+++
＝+++
＝1．
【点评】本题考查二次根式化简，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
28．（7分）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③，其中是“和谐分式”的是 ② （填写序号即可）；
（2）若a为整数，且为“和谐分式”，写出满足条件的a的值为 ±4或5 ；
（3）在化简时，小明和小娟分别进行了如下三步变形：
小明：原式＝＝，
小娟：原式＝﹣＝＝，
你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由．
【分析】（1）根据和谐分式的定义判断即可得出答案；
（2）根据完全平方公式和十字相乘法即可得出答案；
（3）小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母，完成化简即可．
【解答】解：（1）①分子或分母都不可以因式分解，不符合题意；
②分母可以因式分解，且这个分式不可约分，符合题意；
③这个分式可以约分，不符合题意；
故答案为：②；
（2）将分母变成完全平方公式得：x2±4x+4，此时a＝±4；
将分母变形成（x+1）（x+4），此时a＝5；
故答案为：±4或5；
（3）我欣赏小娟的做法，
原式＝
＝
＝，
理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母．
【点评】本题考查了分式的混合运算，在分式的混合运算中，能因式分解的多项式要分解因式，便于约分．
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