2021-2022学年北京市昌平区八年级（上）期中数学试卷（a卷）【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市昌平区八年级（上）期中数学试卷（a卷）【含解析】，共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝3B．x＝0C．x≠3D．x≠0
2．（2分）4的算术平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．16
3．（2分）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍B．缩小为原来的
C．缩小为原来的D．不改变
4．（2分）下列等式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2分）下列各数：﹣，，0.31，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），其中无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．（2分）如图，数轴上A，B，C，D四点中，与﹣对应的点距离最近的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
8．（2分）对于正数x，规定f（x）＝，例如f（4）＝，，则f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的结果是（ ）
A．B．4039C．D．4041
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）如果分式的值为0，那么x的值为 ．
10．（2分）使二次根式有意义的x的取值范围是 ．
11．（2分）化简：＝ ．
12．（2分）在公式V＝abc中，所有字母均不等于零，试用代数式表示a＝ ．
13．（2分）已知m为正整数，且m＜＜m+1，那么m的值等于 ．
14．（2分）实数的平方根是 ．
15．（2分）若|x﹣5|+2＝0，则x﹣y的值是 ．
16．（2分）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%，则甲种粗粮中每袋成本价为 元；若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 ．
三、解答题（本题共12道小题，第1722题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：．
19．（5分）计算：4﹣+．
20．（5分）计算：．
21．（5分）计算：．
22．（5分）计算：．
23．（6分）解方程：＝2
24．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a2﹣a﹣＝0．
25．（6分）为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
26．（6分）阅读下列文字，解答问题：
俗话说的好“处处留心皆学问”，生活中处处有数学，小明为了研究在物价波动时如何买东西最合算，做了一个小调研：某一粮店同一品种粮食在两个不同时段的粮价不同，假设x，y分别表示两个时段粮食的单价（单位：元/千克）
（1）李阿姨分别在两个时段各购买此品种粮食10千克，若用Q1表示李阿姨两次购粮的平均单价，试用含x，y的代数式表示Q1；
（2）王奶奶分别在两个时段各花10元购买此品种粮食，若用Q2表示王奶奶两次购粮的平均单价，试用含x，y的代数式表示Q2；
（3）一般地，“要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零”．由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以判断，问谁两次购粮的平均单价低，并说明理由．
27．（7分）阅读解题过程：
，
，
．
试求：
（1）的值；
（2）（n为正整数）的值；
（3）的值．
28．（7分）阅读下列材料，然后回答问题．
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式是假分式；，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：，
．
解决下列问题：
（1）将分式化为整式与真分式的和的形式；
（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．
2021-2022学年北京市昌平区八年级（上）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝3B．x＝0C．x≠3D．x≠0
【分析】根据分母为零分式无意义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣3≠0，
解得x≠3，
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
2．（2分）4的算术平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．16
【分析】根据乘方运算，可得一个数的算术平方根．
【解答】解：∵22＝4，
∴＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，乘方运算是解题关键．
3．（2分）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍B．缩小为原来的
C．缩小为原来的D．不改变
【分析】根据分式的基本性质解决此题．
【解答】解：分式中的x，y都扩大10倍后得，
∴分式的值不变．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
4．（2分）下列等式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平方根的定义对A、C进行判断；利用算术平方根的定义对B、D进行判断．
【解答】解：A．±＝±，所以A选项不符合题意；
B． ＝，所以B选项符合题意；
C．±＝±，所以C选项不符合题意；
D． ＝，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活运用二次根式的性质是解决问题的关键．
5．（2分）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵，故选项A错误，
∵当x≠0时，，故选项B错误，
∵，故选项C正确，
∵不能化简，故选项D错误，
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是可以对各个选项中的式子进行化简．
6．（2分）下列各数：﹣，，0.31，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），其中无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
0.31是有限小数，属于有理数；
无理数有，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），共3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
7．（2分）如图，数轴上A，B，C，D四点中，与﹣对应的点距离最近的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【分析】根据﹣≈﹣1.732，找到与﹣的差的绝对值最小的点即为所求．
【解答】解：∵|﹣3﹣（﹣）|≈1.268，
|﹣2﹣（﹣）|≈0.268，
|﹣1﹣（﹣）|≈0.732，
|2﹣（﹣）|≈3.732，
其中0.268最小，
∴与表示﹣的点距离最近的点是B．
故选：B．
【点评】此题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
8．（2分）对于正数x，规定f（x）＝，例如f（4）＝，，则f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的结果是（ ）
A．B．4039C．D．4041
【分析】计算出f（2），f（），f（3），f（）的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可．
【解答】解：∵f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，…，
∴f（2）+f（）＝＝1，f（3）+f（）＝＝1，
∴f（x）+f（）＝1，
∴f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…
＝[f（2021）+f（）]+[f（2020）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）
＝1×（2021﹣1）+f（1）
＝2020+
＝．
故选：C．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）如果分式的值为0，那么x的值为 4 ．
【分析】根据分式的值为0的条件解决此题．
【解答】解：由题得：x﹣4＝0且x﹣1≠0．
∴x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是解决本题的关键．
10．（2分）使二次根式有意义的x的取值范围是 x≤ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤．
故答案为：x≤．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
11．（2分）化简：＝ ．
【分析】根据二次根式的性质解决此题．
【解答】解：＝＝5a．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
12．（2分）在公式V＝abc中，所有字母均不等于零，试用代数式表示a＝ ．
【分析】根据分式的除法运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵V＝abc，
∴a＝，
故答案为：a＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的除法运算法则，本题属于基础题型．
13．（2分）已知m为正整数，且m＜＜m+1，那么m的值等于 3 ．
【分析】由32＜11＜42可得，进而得出m的值．
【解答】解：∵32＜11＜42，
∴，
∵m为正整数，且m＜＜m+1，
∴m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，属于基础题，注意“夹逼法”的运用是关键．
14．（2分）实数的平方根是 ±3 ．
【分析】根据算术平方根、平方根解决此题．
【解答】解：∵＝9，
∴实数的平方根是±＝±3．
故答案为：±3．
【点评】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解决本题的关键．
15．（2分）若|x﹣5|+2＝0，则x﹣y的值是 7 ．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数性质可得x与y的值，再代入所求数轴计算即可．
【解答】解：∵|x﹣5|+2＝0，而|x﹣5≥0，≥0，
∴x﹣5＝0，y+2＝0，
解得x＝5，y＝﹣2，
∴x﹣y＝5﹣（﹣2）＝5+2＝7．
故答案为：7．
【点评】主要考查非负数的性质；用到的知识点为：两个非负数的和为0，这两个非负数均为0．
16．（2分）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%，则甲种粗粮中每袋成本价为 45 元；若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 ．
【分析】甲种粗粮每袋成本＝58.5÷（1+30%）＝45（元），设B粗粮每千克成本a元，C粗粮每千克成本b元，根据题意得6×3+a+b＝45，解得：a+b＝27，即可求出乙种粗粮每袋成本为60元，再设该电商销售甲种粗粮x袋，乙种粗粮y袋，根据题意得：45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），整理化简即可求解．
【解答】解：甲种粗粮每袋成本＝58.5÷（1+30%）＝45（元），
设B粗粮每千克成本a元，C粗粮每千克成本b元，
根据甲袋每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮，得
6×3+a+b＝45，
解得：a+b＝27，
∴乙种粗粮每袋成本为：6×1+2a+2b＝6+2×27＝60（元），
设该电商销售甲种粗粮x袋，乙种粗粮y袋，
根据题意得：45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），
整理化简得：9x＝8y，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是设出相关量，分析题意，列出方程组，解出未知量之间的关系．
三、解答题（本题共12道小题，第1722题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算：．
【分析】原式先计算乘方，再计算乘除即可得到结果．
【解答】解：原式＝••
＝．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（5分）计算：．
【分析】先通分，再进行同分母的减法运算法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：﹣
＝﹣
＝．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．（5分）计算：4﹣+．
【分析】直接化简二次根式，进而合并求出即可．
【解答】解：原式＝4×﹣3+2
＝2﹣3+2
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
20．（5分）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝+3﹣3+12
＝+12．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质和二次根式的性质、立方根的性质，正确化简各数是解题关键．
21．（5分）计算：．
【分析】先利用完全平方公式和二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝2+2+1﹣
＝3+2﹣
＝3+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
22．（5分）计算：．
【分析】先把除法转化为乘法，再通分后求差，最后约分．
【解答】解：原式＝÷﹣
＝×﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
23．（6分）解方程：＝2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母，得2x﹣（x﹣1）＝4（x﹣5），
去括号，得2x﹣x+1＝4x﹣20，
移项并合并同类项，得﹣3x＝﹣21，
系数化为 1，得 x＝7，
经检验，x＝7是原方程的解，
所以原方程的解是 x＝7．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
24．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a2﹣a﹣＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a2﹣a的值代入计算即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝a2﹣a，
∵，
∴，
则原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
25．（6分）为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
【分析】设一班的平均车速是x千米/时，则二班的平均车速是1.2x千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合二班比一班少用半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出一班的平均车速．
【解答】解：设一班的平均车速是x千米/时，则二班的平均车速是1.2x千米/时，
依题意得：﹣＝，
解得：x＝44，
经检验，x＝44是原方程的解，且符合题意．
答：一班的平均车速是44千米/时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26．（6分）阅读下列文字，解答问题：
俗话说的好“处处留心皆学问”，生活中处处有数学，小明为了研究在物价波动时如何买东西最合算，做了一个小调研：某一粮店同一品种粮食在两个不同时段的粮价不同，假设x，y分别表示两个时段粮食的单价（单位：元/千克）
（1）李阿姨分别在两个时段各购买此品种粮食10千克，若用Q1表示李阿姨两次购粮的平均单价，试用含x，y的代数式表示Q1；
（2）王奶奶分别在两个时段各花10元购买此品种粮食，若用Q2表示王奶奶两次购粮的平均单价，试用含x，y的代数式表示Q2；
（3）一般地，“要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零”．由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以判断，问谁两次购粮的平均单价低，并说明理由．
【分析】（1）利用平均单价＝共付钱数÷购买粮食的总数进行解答即可；
（2）利用平均单价＝共付钱数÷购买粮食的总数进行解答即可；
（3）计算Q1﹣Q2，利用计算结果进行判定．
【解答】解：（1）Q1＝＝；
∴李阿姨两次购粮的平均单价为元．
（2）Q2＝＝；
∴王奶奶两次购粮的平均单价为元．
（3）王奶奶两次购粮的平均单价低．理由：
∵Q1﹣Q2＝＝＝，
又∵x2+y2＞0，2（x+y）＞0，
∴Q1﹣Q2＞0．
即Q1＞Q2．
∴王奶奶两次购粮的平均单价低．
【点评】本题主要考查了列代数式，利用题干中的方法比较大小是解题的关键．
27．（7分）阅读解题过程：
，
，
．
试求：
（1）的值；
（2）（n为正整数）的值；
（3）的值．
【分析】（1）分子分母都乘以（﹣），然后利用平方差公式计算；
（2）分子分母都乘以（﹣），然后利用平方差公式计算；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝＝﹣；
（2）原式＝＝﹣；
（3）原式＝﹣1+﹣+•••+﹣+﹣
＝﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、分母有理化和平方差公式是解决问题的关键．
28．（7分）阅读下列材料，然后回答问题．
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式是假分式；，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：，
．
解决下列问题：
（1）将分式化为整式与真分式的和的形式；
（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【分析】（1）原式利用阅读材料中的方法变形为整式和真分式之和即可；
（2）原式利用阅读材料中的方法变形为整式和真分式之和，根据原式的值为整数，得到真分式为整数0，即可确定出x的整数值．
【解答】解：（1）原式＝＝1﹣；
（2）原式＝
＝x﹣
＝x﹣
＝x﹣1+，
∵原式的值为整数，且x为整数，
∴为整数，即x+3＝±1或x+3＝±3，
则x＝﹣2或﹣4或0或﹣6．
【点评】此题考查了分式的加减法，整式的加减，分式的定义以及分式的值，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
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