2021-2022学年北京师大附属实验中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京师大附属实验中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）秋天到了，学校组织同学们郊游，某同学收集了漂亮的落叶，下面的落叶中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）
3．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（3分）已知x2+2mx+9是完全平方式，则m的值为（ ）
A．6B．±6C．3D．±3
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（a2b）3＝a2b3
C．（a2）3＝a8D．（﹣a2）3＝﹣a6
6．（3分）如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB＝7，DE＝4，则S△ABD＝（ ）
A．28B．21C．14D．7
7．（3分）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．3a2b﹣15ab2＝3ab（a﹣5b）
C．x3+x2+x＝x（x2+x）D．a2+a﹣5＝（a﹣2）（a+3）
8．（3分）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ）
A．x2+2xy+y2＝49B．x2﹣2xy+y2＝4
C．x2+y2＝25D．x2﹣y2＝14
9．（3分）某地地震后，某同学用下面的方式检测教室的房梁是否水平．在等腰直角三角尺斜边AB的中点O处栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点C，即判断房梁是水平的．这样做的理由是（ ）
A．等腰直角三角形的底角为45°
B．等腰三角形中线和高线重合
C．等腰三角形顶角平分线和底边上的中线重合
D．等腰三角形底边上的中线和底边上的高线重合
10．（3分）如图，在5×6的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ABC是一个格点三角形，在格纸范围内，与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为（ ）个．
A．8B．9C．10D．11
二、填空题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）（6a3b﹣3ab）÷3ab＝ ．
12．（2分）如图，AC＝AD，BC＝BD，请写出一个正确的结论 ．
13．（2分）若（a+1）0有意义，则实数a的取值范围是 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，将△ABC沿DE和MN折叠，使点B和点C落在点A，则∠EAN＝ °．
15．（2分）若2x＝8，4y＝16，则2x﹣y的值为 ．
16．（2分）等腰三角形的两边的长分别为5cm和7cm，则此三角形的周长是 ．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BF⊥AC于E，交CD于点F，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，BF＝4，△ABE的周长为 ．
18．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°．下列结论正确的是 ．（填所有正确结论的序号）
①△BED≌△AFD；②AC＝BE+FC；③S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则；④EF＝AD；⑤∠AGF＝∠AED
三.解答题（本大题共54分）
19．（4分）计算：a2•（﹣a4）3÷（a3）2．
20．（4分）计算：（2x+y）（x﹣y）﹣2（y2﹣xy）．
21．（8分）因式分解：
（1）5m3﹣20m；
（2）m2x3﹣4m2x2y+4m2xy2．
22．（5分）化简求值：2a2﹣（a+b）（﹣a+b）﹣3（a+b）2，其中．
23．（6分）已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：射线CG，使得CG∥AB．
下面是小东设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点G；
④作射线CG．所以射线CG就是所求作的射线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FG、DE．
∵△ADE≌△ ，
∴∠DAE＝∠ ．
∴CG∥AB（ ）（填推理的依据）．
24．（5分）如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，求证：CD＝BE．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，3），B（2，4），连接AB．
（1）画线段A1B1，使得线段A1B1与线段AB关于y轴对称，写出A1、B1的坐标：A1 ，B1 ；
（2）写出一个点C的坐标，使△ABC成为等腰三角形，C（ ， ）；
（3）已知点C在坐标轴上，且满足△ABC是等腰三角形，则所有符合条件的C点有 个．
26．（5分）对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形；
例如：如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D、E两点，连接AD，则AD将△ABC分割成两个等腰三角形△ADC，△ADB．
证明：∵DE垂直平分AC
∴AD＝DB
∴∠1＝∠2
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°
∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°
∴∠3＝∠4
∴CD＝DA
∴△ADC，△ADB是等腰三角形
（1）根据上述方法，将下列锐角三角形和钝角三角形，分别分割成4个等腰三角形；
（2）将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形．
27．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点且∠ADC＝60°，CE⊥AD于点E，点A关于点E的对称点为点F，CF交AB于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AGC的度数；
（3）写出AD、BD、CD之间的等量关系，并证明．
28．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，4），C，B两点分别是x，y轴正半轴上的动点，且满足∠BAC＝90°．
（1）写出∠BOA的度数；
（2）求BO+OC的值；
（3）若BP平分∠OBC，交OA于点P，PN⊥y轴于点N，AQ平分∠BAC，交BC于点Q，随着C，B位置的变化，NP+AQ的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
2021-2022学年北京师大附属实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。每小题3分，共30分）
1．（3分）秋天到了，学校组织同学们郊游，某同学收集了漂亮的落叶，下面的落叶中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：选项A、B、C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对应点坐标．
【解答】解：点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
4．（3分）已知x2+2mx+9是完全平方式，则m的值为（ ）
A．6B．±6C．3D．±3
【分析】根据完全平方公式的形式，可得答案．
【解答】解：已知x2+2mx+9是完全平方式，
∴m＝3或m＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（a2b）3＝a2b3
C．（a2）3＝a8D．（﹣a2）3＝﹣a6
【分析】利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（a2b）3＝a6b3，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（3分）如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB＝7，DE＝4，则S△ABD＝（ ）
A．28B．21C．14D．7
【分析】利用角平分线的性质定理即可解决问题；
【解答】解：作DH⊥BA于H．
∵BD平分∠ABC，BC⊥DE，DH⊥AB，
∴DH＝DE＝4，
∴S△ABD＝×7×4＝14，
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（3分）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．3a2b﹣15ab2＝3ab（a﹣5b）
C．x3+x2+x＝x（x2+x）D．a2+a﹣5＝（a﹣2）（a+3）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；
C．x3+x2+x＝x（x2+x+1），故本选项不符合题意；
D．a2+a﹣5≠（a﹣2）（a+3），故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
8．（3分）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ）
A．x2+2xy+y2＝49B．x2﹣2xy+y2＝4
C．x2+y2＝25D．x2﹣y2＝14
【分析】本题中正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，其面积从整体看是49，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），阴影部分面积是4，边长是2，同时还可用（x﹣y）来表示，接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断．
【解答】解：A、因为正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，故（x+y）2＝x2+2xy+y2＝72＝49，正确；
B、由图象可知（x﹣y）2＝4，即x2﹣2xy+y2＝4，正确；
C、由（x+y）2＝x2+2xy+y2＝72＝49和（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，可得2xy＝，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝49﹣＝26.5≠25，错误；
D、由x+y＝7，x﹣y＝2，可得x＝4.5，y＝2.5，所以x2﹣y2＝4.52﹣2.52＝20.25﹣6.25＝14，正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，全等图形，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．
9．（3分）某地地震后，某同学用下面的方式检测教室的房梁是否水平．在等腰直角三角尺斜边AB的中点O处栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点C，即判断房梁是水平的．这样做的理由是（ ）
A．等腰直角三角形的底角为45°
B．等腰三角形中线和高线重合
C．等腰三角形顶角平分线和底边上的中线重合
D．等腰三角形底边上的中线和底边上的高线重合
【分析】根据△ABC是个等腰三角形可得AC＝BC，再根据点O是AB的中点，即可得出OC⊥AB，然后即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是个等腰三角形，
∴AC＝BC，
∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
∴OC⊥AB．
故选：D．
【点评】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．
10．（3分）如图，在5×6的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ABC是一个格点三角形，在格纸范围内，与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为（ ）个．
A．8B．9C．10D．11
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【解答】解：如图，当对称轴在竖直方向时，满足条件的三角形有1个，
当对称轴在水平方向时，满足条件的三角形有5个，
当对称轴与水平方向成45°方向时，满足条件的三角形有4个，
共1+5+4＝10（个），
故选：C．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）（6a3b﹣3ab）÷3ab＝ 2a2﹣1 ．
【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可．
【解答】解：原式＝6a3b÷3ab﹣3ab÷3ab
＝2a2﹣1，
故答案为：2a2﹣1．
【点评】本题考查了多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键．
12．（2分）如图，AC＝AD，BC＝BD，请写出一个正确的结论 △ACB≌△ADB（答案不唯一） ．
【分析】根据SSS证明△ACB和△ADB全等解答即可．
【解答】解：△ACB≌△ADB，
在△ACB和△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB（SSS），
∴∠CAB＝∠DAB，∠ACB＝∠ADB，∠ABD＝∠ABC，
故答案为：△ACB≌△ADB（答案不唯一）．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ACB和△ADB全等解答．
13．（2分）若（a+1）0有意义，则实数a的取值范围是 a≠﹣1 ．
【分析】利用零指数幂的意义解答即可．
【解答】解：∵零的零次幂没有意义，
∴a+1≠0，
∴a≠﹣1．
故答案为：a≠﹣1．
【点评】本题主要考查了零指数幂，利用零指数幂的底数不为零解答是解题的关键．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，将△ABC沿DE和MN折叠，使点B和点C落在点A，则∠EAN＝ 60 °．
【分析】根据折叠可知∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，再利用等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】解：由折叠知：AE＝BE，AN＝CN，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠B＝∠BAE＝∠C＝∠CAN＝30°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
15．（2分）若2x＝8，4y＝16，则2x﹣y的值为 2 ．
【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及利用幂的乘方运算法则解答即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【解答】解：∵4y＝16＝（22y）＝24，
∴2y＝4，
解得y＝2，
∴2y＝22＝4，
∴2x﹣y＝2x÷2y＝8÷4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
16．（2分）等腰三角形的两边的长分别为5cm和7cm，则此三角形的周长是 17cm或19cm ．
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为5cm时，②当腰长为7cm时，解答出即可．
【解答】解：根据题意，
①当腰长为5cm时，周长＝5+5+7＝17（cm）；
②当腰长为7cm时，周长＝5+7+7＝19（cm）；
故答案为：17cm或19cm．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质定理，本题重点是要分两种情况解答．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BF⊥AC于E，交CD于点F，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，BF＝4，△ABE的周长为 11 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCD，根据角平分线的性质得到BE＝BD＝3，根据全等三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠BCD，
∵BE⊥CE，BD⊥CD，
∴BE＝BD＝3，
在Rt△BCE与Rt△BCD中，
∴Rt△BCE≌Rt△BCD（HL），
∴CE＝CD＝8，
∴AB+AE＝AC+AE＝8，
∴△ABE的周长＝AE+AB+BE＝8+3＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证得Rt△BCE≌Rt△BCD是解题的关键．
18．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°．下列结论正确的是 ①②③⑤ ．（填所有正确结论的序号）
①△BED≌△AFD；②AC＝BE+FC；③S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则；④EF＝AD；⑤∠AGF＝∠AED
【分析】由等腰直角三角形的性质可证△BED≌△AFD（ASA），从而得出△DEF是等腰直角三角形，即可对结论进行逐一判断．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠C＝45°，AD＝BD，∠ADC＝90°，
∵∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BED和△AFD中，
，
∴△BED≌△AFD（ASA），故①正确；
∴BE＝AF，
∴AC＝AF+FC＝BE+FC，故②正确；
∵△BED≌△AFD，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE⊥AB时，S2最小为××AB＝S1，
当点E与A或B重合时，S2最大为S1，
∴，故③正确；
∵EF是变化的，而AD为定值，故④错误；
∵∠AGF＝∠BAD+∠AEG＝45°+∠AEG，
∠AED＝∠AEG+∠DEF＝∠AEG+45°，
∴∠AGF＝∠AED，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与中，三角形的外角的性质等知识，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
三.解答题（本大题共54分）
19．（4分）计算：a2•（﹣a4）3÷（a3）2．
【分析】先算幂的乘方，再算乘法，最后算除法即可．
【解答】解：a2•（﹣a4）3÷（a3）2
＝a2•（﹣a12）÷a6
＝﹣a14÷a6
＝﹣a8．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（4分）计算：（2x+y）（x﹣y）﹣2（y2﹣xy）．
【分析】根据多项式乘多项式的法则和去括号的法则进行解答，即可得出答案．
【解答】解：（2x+y）（x﹣y）﹣2（y2﹣xy）
＝2x2﹣2xy+xy﹣y2﹣2y2+2xy
＝2x2+xy﹣3y2．
【点评】此题考查了多项式乘多项式以及去括号，熟记多项式乘多项式的法则和去括号的法则是解题的关键．
21．（8分）因式分解：
（1）5m3﹣20m；
（2）m2x3﹣4m2x2y+4m2xy2．
【分析】（1）先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．
（2）先提公因式，再逆用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：（1）5m3﹣20m
＝5m（m2﹣4）
＝5m（m+2）（m﹣2）．
（2）m2x3﹣4m2x2y+4m2xy2
＝m2x（x2﹣4xy+4y2）
＝m2x（x﹣2y）2．
【点评】本题主要考查综合运用公式法、提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．
22．（5分）化简求值：2a2﹣（a+b）（﹣a+b）﹣3（a+b）2，其中．
【分析】直接利用乘法公式化简，进而合并同类项，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝2a2﹣（b2﹣a2）﹣3（a2+2ab+b2）
＝2a2﹣b2+a2﹣3a2﹣6ab﹣3b2
＝﹣4b2﹣6ab，
当a＝﹣，b＝3时，
原式＝﹣4×32﹣6×（﹣）×3
＝﹣36+6
＝﹣30．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
23．（6分）已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：射线CG，使得CG∥AB．
下面是小东设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点G；
④作射线CG．所以射线CG就是所求作的射线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FG、DE．
∵△ADE≌△ CFG ，
∴∠DAE＝∠ FCG ．
∴CG∥AB（ 同位角相等，两直线平行 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到AD＝AE＝CF＝CG，FG＝CE，则△ADE≌△CFG，根据全等三角形的性质得∠DAE＝∠FCG．然后根据 同位角相等，两直线平行判断CG∥AB．
【解答】解：（1）如图，射线CG为所作；
（2）完成下面的证明．
证明：连接FG、DE．
∵△ADE≌△CFG，
∴∠DAE＝∠FCG．
∴CG∥AB（ 同位角相等，两直线平行）．
故答案为CFG，FCG，同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的性质．
24．（5分）如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，求证：CD＝BE．
【分析】根据AAS证明△ACE和△ABD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴AD＝AE，
∴AC﹣AD＝AB﹣AE，
即CD＝BE．
【点评】本题考查了垂直的定义、全等三角形的判定及其性质等知识．利用相等的线段进行等效转是解答本题的关键．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，3），B（2，4），连接AB．
（1）画线段A1B1，使得线段A1B1与线段AB关于y轴对称，写出A1、B1的坐标：A1 （1，3） ，B1 （﹣2，4） ；
（2）写出一个点C的坐标，使△ABC成为等腰三角形，C（ 3 ， 1 ）；
（3）已知点C在坐标轴上，且满足△ABC是等腰三角形，则所有符合条件的C点有 3 个．
【分析】（1）依据线段A1B1与线段AB关于y轴对称，即可得到线段A1B1，并得到A1、B1的坐标；
（2）利用等腰三角形的定义，并结合轴对称的性质，找到一点C即可；
（3）依据点C在坐标轴上，且△ABC是等腰△ABC，即可得出所有符合条件的C点．
【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求，A1（1，3）、B1（﹣2，4）；
故答案为：（1，3）；（﹣2，4）；
（2）如图所示，使△ABC成为等腰三角形，点C（3，1）；
故答案为：（3，1）；
（3）如图所示，点C在坐标轴上，且满足△ABC是等腰三角形的C点有3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
26．（5分）对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形；
例如：如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D、E两点，连接AD，则AD将△ABC分割成两个等腰三角形△ADC，△ADB．
证明：∵DE垂直平分AC
∴AD＝DB
∴∠1＝∠2
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°
∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°
∴∠3＝∠4
∴CD＝DA
∴△ADC，△ADB是等腰三角形
（1）根据上述方法，将下列锐角三角形和钝角三角形，分别分割成4个等腰三角形；
（2）将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形．
【分析】（1）模仿例题，利用直角三角形斜边的中线的性质解决问题即可．
（2）利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，分割线如图所示．
（2）如图，分割线即为所求．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点且∠ADC＝60°，CE⊥AD于点E，点A关于点E的对称点为点F，CF交AB于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AGC的度数；
（3）写出AD、BD、CD之间的等量关系，并证明．
【分析】（1）根据轴对称的特征补全图形；
（2）由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得出答案；
（3）在CD是取点P，使FP＝FD，连接FP，证明△CPF≌△ADB（AAS），得出AD＝PC，BD＝PF，则可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画出图形如图1，
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵点A关于点E的对称点为点F，CE⊥AD，
∴AC＝CF，∠ACE＝∠ECF，
∴∠AGC＝∠B+∠BCG＝∠B+∠ACB﹣∠ACF＝2∠B﹣2∠ECF，
∵∠ECF＝90°﹣∠EFC，∠EFC＝60°+∠BCG，
∴∠AGC＝2∠B﹣180°+120°+2∠BCG，
∴∠AGC＝60°；
（3）CD＝AD+BD．
证明：如图2，在CD是取点P，使FP＝FD，连接FP，
∵∠ADC＝60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴∠DPF＝60°，
∴∠FPC＝120°，
∴∠ADB＝∠FPC，
又∵AC＝CF，AB＝AC，
∴AB＝CF，
∵∠BAD＝∠BCG，
∴△CPF≌△ADB（AAS），
∴AD＝PC，BD＝PF，
∴CD＝DP+PC＝AD+BD．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的综合运用；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
28．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，4），C，B两点分别是x，y轴正半轴上的动点，且满足∠BAC＝90°．
（1）写出∠BOA的度数；
（2）求BO+OC的值；
（3）若BP平分∠OBC，交OA于点P，PN⊥y轴于点N，AQ平分∠BAC，交BC于点Q，随着C，B位置的变化，NP+AQ的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，则AE＝AF＝4，得OA是∠BOC的角平分线，即可求解；
（2）证四边形AEOF为正方形，得AE＝AF＝OE＝OF＝4，∠EAF＝90°，再证△BAF≌△CAE（ASA），得BF＝CE，进而求解即可；
（3）过点A作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，延长NP交AE于K，由全等三角形的性质得AB＝AC，则△BAC是等腰直角三角形，得∠ABC＝∠ACB＝45°，再证△AQB≌△AKP（ASA），得AQ＝AK，则△AKP是等腰直角三角形，得AK＝PK，然后证AQ＝PK，即可求解．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，如图1所示：
∵点A（4，4），
∴AE＝AF＝4，
∴OA是∠BOC的角平分线，
∵∠BOC＝90°，
∴∠BOA＝45°；
（2）由（1）得：四边形AEOF为矩形，
∵AE＝AF＝4，
∴四边形AEOF为正方形，
∴AE＝AF＝OE＝OF＝4，∠EAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAF＝∠CAE，
∵AE⊥x轴，AF⊥y轴，
∴∠BFA＝∠CEA＝90°，
在△BAF和△CAE中，
，
∴△BAF≌△CAE（ASA），
∴BF＝CE，
∴BO+OC＝OF+BF+OC＝OF+CE+OC＝OF+OE＝4+4＝8；
（3）随着C，B位置的变化，NP+AQ的值为4，不变，理由如下：
过点A作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，延长NP交AE于K，如图2所示：
则四边形OEKN为矩形，
∴∠AKP＝90°，NK＝OE＝4，
由（2）得：△BAF≌△CAE，
∴AB＝AC，
∵∠BAC＝90°，
∴△BAC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BP平分∠OBC，
∴∠OBP＝∠CBP，
∵∠BOA＝∠ABC＝45°，
∴∠OBP+∠BOA＝∠CBP+∠ABC＝∠ABP，
∵∠BPA＝∠OBP+∠BOA，
∴∠BPA＝∠ABP，
∴AB＝AP，
∵PN⊥y轴，∠BOA＝45°，
∴△ONP是等腰直角三角形，
∴∠NPO＝45°，
∴∠APK＝∠NPO＝45°，
∵AQ平分∠BAC，△BAC是等腰直角三角形，
∴AQ⊥BC，
∴∠AQB＝∠AKP＝90°，
在△AQB和△AKP中，
，
∴△AQB≌△AKP（ASA），
∴AQ＝AK，
∵∠AKP＝90°，∠APK＝45°，
∴△AKP是等腰直角三角形，
∴AK＝PK，
∴AQ＝PK，
∴NP+AQ＝NP+PK＝NK＝4．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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