2021-2022学年北京师大附属实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京师大附属实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．1，2，1B．1，2，2C．1，2，3D．1，2，4
3．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．线段AEB．线段BEC．线段BFD．线段CF
4．（3分）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°
5．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
6．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，那么△ACD的面积是（ ）
A．2B．3C．6D．无法确定
7．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
8．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
9．（3分）如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题
11．（3分）写出点M（2，3）关于x轴对称的点N的坐标 ．
12．（3分）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 ．
13．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，能解释这一实际应用的数学知识是 ．
14．（3分）如图，BE与CD交于点A，且∠C＝∠D．添加一个条件： ，使得△ABC≌△AED．
15．（3分）如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D、交AC于F，若AB＝4，AC＝3，则△ADF周长为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若AB＝6，则BD的长为 ．
17．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 °．
18．（3分）如图，D是△ABC内部的一点，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列结论中，①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
19．如图，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．
求证：△ABC≌△EDB．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．
四、解答题
21．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．连接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．求证：AB＝AC．
22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度数．
23．如图，已知△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF．猜想AB与AC的数量关系，并证明你的结论．
24．为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图AB，AC表示两条公路，点M，N表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在∠BAC的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论．
五、解答题
25．已知：在△ABC中，∠ACB＜60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在线段BD上（点E不与点B，D重合），且∠EAB＝2∠ECB．求证：AE+AB＝BC．
26．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．
（1）以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论；
（2）若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连AF、DF，使得AF＝DF，试猜想△ADF的形状，并证明你的结论．
2021-2022学年北京师大附属实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔每小题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。）
1．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、是轴对称图形，故选项正确；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．1，2，1B．1，2，2C．1，2，3D．1，2，4
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【解答】解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故A选项错误；
B、1+2＞2，能组成三角形，故B选项正确；
C、1+2＝3，不能组成三角形，故C选项错误；
D、1+2＜4，不能组成三角形，故D选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
3．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．线段AEB．线段BEC．线段BFD．线段CF
【分析】利用三角形的高的定义可得答案．
【解答】解：在△ABC中，BC边上的高为AE，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4．（3分）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°
【分析】分这个角为底角和顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，
当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
5．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
【分析】根据图形条件和全等三角形的性质得出∠A＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝72°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：
根据图形可知：△ABC≌△FDE，
所以∠A＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝72°，
所以∠1＝180°﹣∠F﹣∠E＝58°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质得出∠A＝∠F＝50°、∠C＝∠E＝72°是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．
6．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，那么△ACD的面积是（ ）
A．2B．3C．6D．无法确定
【分析】过D作DF⊥AC，垂足为F，由角平分线的性质可求得DF的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：过D作DF⊥AC，垂足为F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
∵AC＝3，
∴S△ACD＝AC•DF＝×3×2＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，构造△ACD中AC边上的高是解题的关键．
7．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】根据作图过程可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．
【解答】解：根据作图过程可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，
在△OCD与△O′C′D′中，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：A．
【点评】本题考查基本作图“作一个角等于已知角”的相关知识，其理论依据是三角形全等的判定“边边边”定理和全等三角形对应角相等．从作法中找已知，根据已知条件选择判定方法．
8．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
【分析】根据全等三角形的三边关系理逐个判断即可．
【解答】解：A．如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D．3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
9．（3分）如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】依据轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离即可．
【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．
故选：D．
【点评】本题考查了最短路线问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
10．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二、填空题
11．（3分）写出点M（2，3）关于x轴对称的点N的坐标 （2，﹣3） ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）解得即可．
【解答】解：点M（2，3）关于x轴对称的点N的坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
12．（3分）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 5 ．
【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．
【解答】解：多边形的边数是：360÷72＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．
13．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，能解释这一实际应用的数学知识是 三角形的稳定性 ．
【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断．
【解答】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
14．（3分）如图，BE与CD交于点A，且∠C＝∠D．添加一个条件： 答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC＝AD ，使得△ABC≌△AED．
【分析】根据三角形全等的判定方法填空．
【解答】解：已知∠C＝∠D．∠BAC＝∠EAD（对顶角相等），则添加一组对应边相等即可．
故答案是：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC＝AD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．（3分）如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D、交AC于F，若AB＝4，AC＝3，则△ADF周长为 7 ．
【分析】根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠EBC，∠ECF＝∠ECB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠BED，∠ECB＝∠CEF，然后求出∠EBD＝∠DEB，∠ECF＝∠CEF，再根据等角对等边可得ED＝BD，EF＝CF，即可得出DF＝BD+CF；求出△ADF的周长＝AB+AC，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵E是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴∠EBD＝∠EBC，∠ECF＝∠ECB，
∵DF∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，
∴∠DEB＝∠DBE，∠FEC＝∠FCE，
∴DE＝BD，EF＝CF，
∴DF＝DE+EF＝BD+CF，
即DE＝BD+CF，
∴△ADF的周长＝AD+DF+AF＝（AD+BD）+（CF+AF）＝AB+AC，
∵AB＝4，AC＝3，
∴△ADF的周长＝4+3＝7，
故答案为7．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若AB＝6，则BD的长为 3 ．
【分析】利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，
∴BD＝AB＝，
故答案为：3．
【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
17．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 72 °．
【分析】先设∠ABC＝∠C＝2α，然后用含有α的式子表示∠A，∠ADE，∠BED，进而得到∠AED，最后利用三角形的外角性质列出方程求得α，即可求得∠ABC的大小．
【解答】解：设∠ABC＝∠C＝2α，则∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣4α，
由折叠得，∠BED＝∠C＝2α，∠ADE＝∠A＝180°﹣4α，
∵∠BED是△AED的外角，
∴∠BED＝∠A+∠ADE，
∴2α＝180°﹣4α+180°﹣4α，
解得：α＝36°，
∴∠ABC＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是学会利用折叠的性质将其他角的度数用代数式表示．
18．（3分）如图，D是△ABC内部的一点，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列结论中，①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，故①正确；
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，故②错误；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故③正确；
∴BD平分∠ABC，故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和判断，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题
19．如图，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．
求证：△ABC≌△EDB．
【分析】先根据平行线的性质得到∠ABC＝∠D，然后根据“SAS”判断△ABC≌△EDB．
【解答】证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D，
在△ABC和△EDB中
，
∴△ABC≌△EDB（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：灵活运用全等三角形的5种判定方法．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．
【分析】（1）利用轴对称变换，即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（0，3），
当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（ 0，﹣1），
△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，﹣1）．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及全等三角形的判定的运用，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．
四、解答题
21．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．连接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．求证：AB＝AC．
【分析】由“AAS”可证△BAD≌△CAE，可得AB＝AC．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（AAS），
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△BAD≌△CAE是本题的关键．
22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度数．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
23．如图，已知△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF．猜想AB与AC的数量关系，并证明你的结论．
【分析】由“HL”可证Rt△BED≌Rt△CFD，可得∠B＝∠C，可得结论．
【解答】解：AB＝AC，理由如下：
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图AB，AC表示两条公路，点M，N表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在∠BAC的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论．
【分析】先连接MN，根据线段垂直平分线的性质作出线段MN的垂直平分线DE，再作出∠BAC的平分线AF，DE与AF相交于P点，则点P即为所求．
【解答】解：点P为线段MN的垂直平分线与∠BAC的平分线的交点，则点P到点M、N的距离相等，到AB、AC的距离也相等，作图如下：
【点评】此题考查作图﹣应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的关键．
五、解答题
25．已知：在△ABC中，∠ACB＜60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在线段BD上（点E不与点B，D重合），且∠EAB＝2∠ECB．求证：AE+AB＝BC．
【分析】在BC上截取BF＝AB，连接EF，证明△ABE≌△FBE，推AE＝EF，∠EAB＝∠EFB，再根据三角形的外角等于不相邻的连个内角的和这一定理，写出∠EFB＝∠FEC+∠ECB，通过等量代换推∠ECB＝∠FEC，进一步证明EF＝FC，再通过等量代换，证明AE+AB＝BC．
【解答】证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF，
∵BD平分∠ABC，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AE＝EF，∠EAB＝∠EFB，
∵∠EAB＝2∠ECB，
∠EFB＝∠FEC+∠ECB，
∴2∠ECB＝∠FEC+∠ECB，
∴∠ECB＝∠FEC，
∴EF＝FC，
∵BC＝BF+FC，
∴AE+AB＝BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质的综合应用，在BC上截取BF＝AB，连接EF，证明△ABE≌△FBE是解题的关键．
26．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．
（1）以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论；
（2）若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连AF、DF，使得AF＝DF，试猜想△ADF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）CE∥AB，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝∠BAC＝60°，可得结论；
（2）延长BC至G，构造等边三角形CFG，证明∠DFG＝∠AFC，然后证明∠AFD＝∠CFG＝60°，从而证明△ADF为等边三角形．
【解答】解：（1）CE∥AB，
证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴CE∥AB；
（2）延长BC至点G，使得CG＝CF，作FH⊥CG于点H，
作FN⊥AC于点N，
∵CM//AB，
∴∠FCG＝∠B＝60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴CF＝FG，
又∴∠ACF＝∠BAC＝60°，
∴∠FCN＝∠G＝60°，
∵∠FMC＝∠FHG＝90°，
∴△NFC≌△HFG（AAS），
∴NF＝FH，
又∵AF＝DF，
∴Rt△AFN≌Rt△DFH（HL），
∴∠DFH＝∠AFN，
∴∠DFH+∠GFH＝∠AFN+∠NFC，
即∠AFC＝∠DFG，
∴∠AFD+∠DFC＝∠CFG+∠DFC，
∴∠AFD＝∠CFG＝60°，
∴△ADF是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形额判定和性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定．
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