新高考数学二轮复习 专题突破 专题2 微重点6　几何特征在解三角形中的应用（含解析）

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考点一 三角形的中线及应用
例1 (2022·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \r(3)asin B＝2bcs2eq \f(B＋C,2).
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线AD＝2，求△ABC面积的最大值．
解 (1)依题意有
eq \r(3)asin B＝2bcs2eq \f(B＋C,2)＝(1－cs A)b，
所以eq \r(3)sin Asin B＝(1－cs A)sin B，
因为在△ABC中sin B≠0，
所以eq \r(3)sin A＝1－cs A，
又sin2A＋cs2A＝1，
解得sin A＝eq \f(\r(3),2)，cs A＝－eq \f(1,2)，所以A＝eq \f(2π,3).
(2)由|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→)),2)))＝2，
得|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝4，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs eq \f(2π,3)
＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|
＝16≥|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|，
所以(|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|)max＝16，
当且仅当|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝4时，等号成立．
所以△ABC面积的最大值为S＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·sin∠BAC＝4eq \r(3).
规律方法 解三角形问题涉及到中点问题时，可采用向量法使问题简化．在△ABC中，若D为边BC 上的中点，则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，两边平方即可得到三角形边长之间的关系．
跟踪演练1 (2022·德州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c2＝ab，点D是边AB的中点，CDsin∠ACB＝asin B.
(1)证明：CD＝c；
(2)求cs∠ACB的值．
(1)证明 由题意得，CD＝eq \f(asin B,sin∠ACB)，
由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin∠ACB)，
即eq \f(sin B,sin∠ACB)＝eq \f(b,c)，
所以CD＝eq \f(ab,c)，
由于c2＝ab，所以CD＝c.
(2)解 由题意知CD＝c，AD＝eq \f(c,2)，DB＝eq \f(c,2)，
所以cs∠ADC＝eq \f(c2＋\f(c2,4)－b2,2·c·\f(c,2))＝eq \f(\f(5,4)c2－b2,c2)，
同理cs∠BDC＝eq \f(c2＋\f(c2,4)－a2,2·c·\f(c,2))＝eq \f(\f(5,4)c2－a2,c2)，
由于∠ADC＝π－∠BDC，
所以eq \f(\f(5,4)c2－b2,c2)＋eq \f(\f(5,4)c2－a2,c2)＝0，
整理得a2＋b2＝eq \f(5,2)c2，
由余弦定理得cs∠ACB＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(3c2,4ab)＝eq \f(3,4).
考点二 三角形的角平分线及应用
例2 (2022·保定模拟)已知在△ABC中，∠BAC＝120°，∠BAC的角平分线与BC相交于点D.
(1)若AC＝2AB＝2，求CD的长；
(2)若AD＝1，求AB＋AC的最小值．
解 (1)因为AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，
在△ABC中，由余弦定理可得
BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cs∠BAC＝7，
故BC＝eq \r(7)，
由角平分线定理知eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,CD)，
又eq \f(AB,AC)＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(BD,CD)＝eq \f(1,2)，又BD＋CD＝eq \r(7)，
所以CD＝eq \f(2\r(7),3).
(2)由题意得，△ABC的面积等于△ABD的面积与△ACD的面积之和，
又AB＝c，AC＝b，所以
eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×bc＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×b×1＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×c×1，
整理得bc＝b＋c.
则b＋c＝bc≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋c,2)))2，
即eq \f(b＋c2,4)≥b＋c，解得b＋c≥4，
当且仅当b＝c＝2时等号成立，
即AB＋AC的最小值为4.
规律方法 角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利用角平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解．
跟踪演练2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝ccs∠BAC，∠BAC的角平分线交BC于点D，AD＝1，cs∠BAC＝eq \f(1,8)，则以下结论正确的是________．(填序号)
①AC＝eq \f(3,4)；②AB＝8；③eq \f(CD,BD)＝eq \f(1,8)；④△ABD的面积为eq \f(3\r(7),4).
答案 ①③④
解析 因为b＝ccs∠BAC，
由正弦定理可得sin B＝sin Ccs∠BAC
＝sin(∠BAC＋C)，
所以sin∠BACcs C＝0，因为sin∠BAC≠0，
所以cs C＝0，即C＝eq \f(π,2).
因为cs∠BAC＝eq \f(1,8)＝eq \f(AC,AB)，
由角平分线定理可得eq \f(AC,AB)＝eq \f(CD,BD)＝eq \f(1,8)，故③正确；
设AC＝x，则AB＝8x，
则BC＝3eq \r(7)x，CD＝eq \f(\r(7),3)x.
在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),3)x))2＝1，
解得x＝eq \f(3,4)(负值舍去)，即AC＝eq \f(3,4)，AB＝6，故①正确，②错误；
由cs∠BAC＝eq \f(1,8)，得sin∠BAC＝eq \f(3\r(7),8)，
因为S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6×eq \f(3\r(7),8)＝eq \f(27\r(7),32)，
所以S△ABD＝eq \f(8,9)S△ABC＝eq \f(3\r(7),4)，故④正确．
考点三 四边形问题
例3 (2022·日照模拟)在①S△ABC＝2，②∠ADC＝eq \f(π,6)这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝eq \f(3π,4)，∠BAC＝∠DAC，________，CD＝2AB＝4，求AC的长．
(注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分)
解 选择①：
由S△ABC＝eq \f(1,2)·AB·BC·sin∠ABC
＝eq \f(1,2)×2·BC·sin eq \f(3π,4)＝2，
得BC＝2eq \r(2).
由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC
＝4＋8－2×2×2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝20，
所以AC＝eq \r(20)＝2eq \r(5).
选择②：
设∠BAC＝∠CAD＝θ，
则0