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新高考数学二轮复习 专题突破 专题6 微重点14 椭圆、双曲线的二级结论的应用(含解析)
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这是一份新高考数学二轮复习 专题突破 专题6 微重点14 椭圆、双曲线的二级结论的应用(含解析),共12页。
考点一 焦点三角形
核心提炼
焦点三角形的面积公式:P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点,F1,F2且∠F1PF2=θ,
则椭圆中 SKIPIF 1 < 0 =b2·tan eq \f(θ,2),
双曲线中 SKIPIF 1 < 0 =eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
例1 (2022·临川模拟)已知椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为e=eq \f(1,2),点P为该椭圆上一点,且满足∠F1PF2=eq \f(π,3),已知△F1PF2的内切圆的面积为3π,则该椭圆的长轴长为( )
A.2 B.4 C.6 D.12
答案 D
解析 由e=eq \f(1,2),得eq \f(c,a)=eq \f(1,2),即a=2c.①
设△F1PF2的内切圆的半径为r,
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π,
所以πr2=3π,解得r=eq \r(3)(舍负),
在△F1PF2中,根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式,
知 SKIPIF 1 < 0 =b2taneq \f(∠F1PF2,2)=eq \f(1,2)r(2a+2c),
即eq \f(\r(3),3)b2=eq \r(3)(a+c),②
又a2=b2+c2,③
联立①②③得c=3,a=6,b=3eq \r(3),
所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.
易错提醒 (1)要注意公式中θ的含义.
(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样,易混淆.
跟踪演练1 如图,F1,F2是椭圆C1:eq \f(x2,4)+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(6),2)
答案 D
解析 设双曲线C2的方程为eq \f(x2,a\\al(2,2))-eq \f(y2,b\\al(2,2))=1,
则有aeq \\al(2,2)+beq \\al(2,2)=ceq \\al(2,2)=ceq \\al(2,1)=4-1=3.
又四边形AF1BF2为矩形,
所以△AF1F2的面积为beq \\al(2,1)tan 45°=eq \f(b\\al(2,2),tan 45°),
即beq \\al(2,2)=beq \\al(2,1)=1.
所以aeq \\al(2,2)=ceq \\al(2,2)-beq \\al(2,2)=3-1=2.
故双曲线的离心率e=eq \f(c2,a2)=eq \r(\f(3,2))=eq \f(\r(6),2).
考点二 焦半径的数量关系
核心提炼
焦半径的数量关系式:直线l过焦点F与椭圆相交于A,B两点,则eq \f(1,|AF|)+eq \f(1,|BF|)=eq \f(2a,b2),同理,双曲线中,eq \f(1,|AF|)+eq \f(1,|BF|)=eq \f(2a,b2).
例2 已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(-eq \r(7),0),F2(eq \r(7),0),过F2的直线与C的右支交于A,B两点.若eq \(AF2,\s\up6(—→))=2eq \(F2B,\s\up6(—→)),|AB|=|F1B|,则双曲线C的方程为________.
答案 eq \f(x2,3)-eq \f(y2,4)=1
解析 如图,令|F2B|=t,
则|AF2|=2t,
∴|AB|=3t,|F1B|=3t,
又eq \f(1,|AF2|)+eq \f(1,|BF2|)=eq \f(2a,b2),
∴eq \f(1,2t)+eq \f(1,t)=eq \f(2a,b2),
即eq \f(3,2t)=eq \f(2a,b2),
又|F1B|-|F2B|=2a,
∴3t-t=2a,∴2t=2a,
∴t=a,
∴eq \f(3,2a)=eq \f(2a,b2),即3b2=4a2,
又c=eq \r(7),∴a2+b2=7,
解得b2=4,a2=3,
故双曲线C的方程为eq \f(x2,3)-eq \f(y2,4)=1.
易错提醒 公式的前提是直线AB过焦点F,焦点F不在直线AB上时,公式不成立.
跟踪演练2 已知椭圆C:eq \f(x2,16)+eq \f(y2,4)=1,过右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点.且|AF2|=2,则|AB|=________,cs∠F1AB=________.
答案 eq \f(8,3) -eq \f(1,3)
解析 由题意知a=4,b=2,|AF2|=2,
由eq \f(1,|AF2|)+eq \f(1,|BF2|)=eq \f(2a,b2),
得eq \f(1,2)+eq \f(1,|BF2|)=eq \f(8,4),
解得|BF2|=eq \f(2,3).
∴|AB|=|AF2|+|BF2|=eq \f(8,3),
由椭圆定义知|AF1|=8-2=6,
|BF1|=8-eq \f(2,3)=eq \f(22,3),
在△AF1B中,cs∠F1AB=eq \f(62+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(22,3)))2,2×6×\f(8,3))=-eq \f(1,3).
考点三 周角定理
核心提炼
周角定理:已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点,A,B为长轴(或实轴)端点,则椭圆中kPA·kPB=-eq \f(b2,a2),双曲线中kPA·kPB=eq \f(b2,a2).
例3 已知椭圆C:eq \f(x2,2)+y2=1的左、右两个顶点为A,B,点M1,M2,…,M5是AB的六等分点,分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线,交椭圆C于P1,P2,…,P10,则直线AP1,AP2,…,AP10,这10条直线的斜率乘积为( )
A.-eq \f(1,16) B.-eq \f(1,32) C.eq \f(1,64) D.eq \f(1,1 024)
答案 B
解析 由椭圆的性质可得
SKIPIF 1 < 0 =-eq \f(b2,a2)=-eq \f(1,2).
由椭圆的对称性可得
SKIPIF 1 < 0
同理可得 SKIPIF 1 < 0
∴直线AP1,AP2,…,AP10这10条直线的斜率乘积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))5=-eq \f(1,32).
规律方法 周角定理的推广:A,B两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点,P为椭圆(双曲线)上异于A,B的任一点,则椭圆中kPA·kPB=-eq \f(b2,a2),双曲线中kPA·kPB=eq \f(b2,a2).
跟踪演练3 设椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为A,B,直线AF2与该椭圆交于A,M两点,若∠F1AF2=90°,则直线BM的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.-1 D.-eq \f(1,2)
答案 B
解析 ∵∠F1AF2=90°,
∴△F1AF2为等腰直角三角形,
∴b=c,
∴a2=2b2=2c2,
∴eq \f(b2,a2)=eq \f(1,2),
且∠AF2O=45°,∴kMA=-1,
又kMA·kMB=-eq \f(b2,a2)=-eq \f(1,2),
∴kMB=eq \f(1,2).
考点四 过圆锥曲线上点的切线方程
核心提炼
已知点P(x0,y0)为椭圆(或双曲线)上任一点,则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为eq \f(x0x,a2)+eq \f(y0y,b2)=1(椭圆中)或eq \f(x0x,a2)-eq \f(y0y,b2)=1(双曲线中).
例4 已知椭圆C:eq \f(x2,4)+y2=1.如图,设直线l与圆O:x2+y2=R2(10)上一点P作双曲线C的切线l,若直线OP与直线l的斜率均存在,且斜率之积为eq \f(2,5),则双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(\r(29),5) B.eq \f(\r(30),3) C.eq \f(\r(35),5) D.eq \f(\r(30),5)
答案 C
解析 设P(x0,y0),
由于双曲线C在点P(x0,y0)处的切线方程为
eq \f(xx0,a2)-eq \f(yy0,b2)=1,
故切线l的斜率k=eq \f(b2x0,a2y0),
因为k·kOP=eq \f(2,5),
则eq \f(b2x0,a2y0)·eq \f(y0,x0)=eq \f(2,5),则eq \f(b2,a2)=eq \f(2,5),
即双曲线C的离心率e=eq \r(1+\f(2,5))=eq \f(\r(35),5).
2.椭圆C:eq \f(x2,9)+eq \f(y2,4)=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线交椭圆于A,B两点,且eq \(AF2,\s\up6(—→))=2eq \(F2B,\s\up6(—→)),则△AF1B的外接圆面积为( )
A.eq \f(5π,2) B.4π
C.9π D.eq \f(25π,4)
答案 D
解析 如图,a=3,b=2,c=eq \r(5),
令|F2B|=t,则|AF2|=2t,
∵eq \f(1,|AF2|)+eq \f(1,|BF2|)=eq \f(2a,b2),
∴eq \f(1,t)+eq \f(1,2t)=eq \f(3,2)⇒t=1,
∴|BF2|=1,|AF2|=2,
由椭圆定义知|BF1|=5,|AF1|=4,
∴△ABF1中,|AB|=3,|AF1|=4,|BF1|=5,
∴AF1⊥AB,
∴△ABF1外接圆半径R=eq \f(|BF1|,2)=eq \f(5,2),其面积为eq \f(25π,4).
3.(2022·保定模拟)已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx(k≠0)与C交于M,N两点,且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′,且|M′N|=|MN|,则C的离心率是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C.3 D.5
答案 B
解析 如图,由对称性知MN与F1F2互相平分,
∴四边形MF2NF1为平行四边形,
∵F2为MM′的中点,且|MN|=|M′N|,
∴NF2⊥MF2
∴四边形MF2NF1为矩形,
∴ SKIPIF 1 < 0 =4a2,
又 SKIPIF 1 < 0 =eq \f(b2,tan \f(π,4))=4a2,即b2=4a2,
∴c2-a2=4a2,即c2=5a2,即e=eq \f(c,a)=eq \r(5).
4.(2022·广州模拟)已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,P为双曲线的左支上一点,且直线PA1与PA2的斜率之积等于3,则下列说法正确的是( )
A.双曲线的渐近线方程为y=±eq \f(\r(3),3)x
B.双曲线C的离心率为eq \r(2)
C.若PF1⊥PF2,且 SKIPIF 1 < 0 =3,则a=2
D.以线段PF1,A1A2为直径的两个圆外切
答案 D
解析 设P(x,y),则y2=b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)-1)),
因为A1(-a,0),A2(a,0),
所以 SKIPIF 1 < 0 =eq \f(b2,a2)=3,
所以eq \f(b,a)=±eq \r(3),所以渐近线方程为y=±eq \r(3)x,故A错误;
又e=eq \r(1+\f(b2,a2))=2,故B错误;
因为eq \f(c,a)=2,
所以c=2a,根据双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,
又因为PF1⊥PF2,
所以△PF1F2的面积为eq \f(b2,tan \f(π,4))=b2=3,
又eq \f(b2,a2)=3,所以a=1,故C错误;
设PF1的中点为O1,O为原点.
因为OO1为△PF1F2的中位线,
所以|OO1|=eq \f(1,2)|PF2|=eq \f(1,2)(|PF1|+2a)
=eq \f(1,2)|PF1|+a,
则可知以线段PF1,A1A2为直径的两个圆外切,故D正确.
5.(2022·石家庄模拟)已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),过原点O的直线交C于A,B两点(点B在右支上),双曲线右支上一点P(异于点B)满足eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))=0,直线PA交x轴于点D,若∠ADO=∠AOD,则双曲线C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.2 C.eq \r(3) D.3
答案 A
解析 如图,
∵eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))=0,
∴BA⊥BP,令kAB=k,
∵∠ADO=∠AOD,
∴kAP=-kAB=-k,
又BA⊥BP,∴kPB=-eq \f(1,k),
依题意知kPB·kPA=eq \f(b2,a2),
∴-eq \f(1,k)·(-k)=eq \f(b2,a2),
∴eq \f(b2,a2)=1,即e=eq \r(2).
6.(2022·济宁模拟)设椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,点P是C上异于A1,A2的一点,则下列结论错误的是( )
A.若C的离心率为eq \f(1,2),则直线PA1与PA2的斜率之积为-eq \f(3,4)
B.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为b2
C.若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2,则C的离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2),1))
D.若|PF1|≤2b恒成立,则C的离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5),1))
答案 D
解析 设P(x0,y0),∴eq \f(x\\al(2,0),a2)+eq \f(y\\al(2,0),b2)=1,
∵e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2),
∴a=2c,∴a2=eq \f(4,3)b2,
∴ SKIPIF 1 < 0 =-eq \f(b2,a2)=-eq \f(3,4),
∴选项A正确;
若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为b2tan eq \f(π,4)=b2,
∴选项B正确;
若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2,即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2,
∴eq \f(1,2)·2c·b>b2,
∴c>b,∴c2>a2-c2,
∴e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2),1)),∴选项C正确;
若|PF1|≤2b恒成立,∴a+c≤2b,
∴a2+c2+2ac≤4b2=4(a2-c2),∴5e2+2e-3≤0,
∴0b>0)上存在两点M,N关于直线l:x-y+1=0对称,且线段MN中点的纵坐标为-eq \f(1,3),则椭圆的离心率e=________.
答案 eq \f(\r(3),2)
解析 如图,设MN的中点为Q,
∴yQ=-eq \f(1,3),
∴xQ=yQ-1=-eq \f(4,3),∴Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,3),-\f(1,3))),∴kOQ=eq \f(1,4),
M,N关于直线l对称,
∴MN⊥l,∴kMN=-1,
由点差法可得kMN=-eq \f(b2,a2)·eq \f(xQ,yQ),
又kOQ=eq \f(yQ,xQ),∴kOQ·kMN=-eq \f(b2,a2),
∴eq \f(1,4)×(-1)=-eq \f(b2,a2),∴eq \f(b2,a2)=eq \f(1,4),
即a2=4b2=4(a2-c2),即3a2=4c2,∴e=eq \f(\r(3),2).
8.(2022·成都模拟)经过椭圆eq \f(x2,2)+y2=1中心的直线与椭圆相交于M,N两点(点M在第一象限),过点M作x轴的垂线,垂足为点E,设直线NE与椭圆的另一个交点为P,则cs∠NMP的值是________.
答案 0
解析 设M(x1,y1)(x1>0,y1>0),P(x0,y0),
则N(-x1,-y1),E(x1,0),
所以kMN=eq \f(y1,x1),kPN=kEN=eq \f(y1+y0,x1+x0)=eq \f(y1,2x1),
kPM=eq \f(y1-y0,x1-x0),
kPN×kPM=eq \f(y1-y0,x1-x0)·eq \f(y1+y0,x1+x0)=eq \f(y\\al(2,1)-y\\al(2,0),x\\al(2,1)-x\\al(2,0))=-eq \f(1,2),
所以kPN=-eq \f(1,2kPM)=eq \f(y1,2x1),所以kPM=-eq \f(x1,y1).
所以kMN×kPM=eq \f(y1,x1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(x1,y1)))=-1,
所以MN⊥MP,所以cs∠NMP=cs eq \f(π,2)=0.
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