新高考数学二轮复习 专题突破 专题2 微重点7　平面向量的最值与范围问题（含解析）

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考点一 求参数的最值(范围)
例1 (1)(2022·沈阳质检)在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CB,\s\up6(→))＋μeq \(CD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
答案 [1,4]
解析 根据题意，不妨设正六边形ABCDEF的边长为2eq \r(3)，以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则F(－2eq \r(3)，0)，D(eq \r(3)，3)，C(2eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)，－3)，
设点G的坐标为(m，n)，则eq \(CG,\s\up6(→))＝(m－2eq \r(3)，n)，
eq \(CB,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，－3)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，3)，
由eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CB,\s\up6(→))＋μeq \(CD,\s\up6(→))可得，
m－2eq \r(3)＝－eq \r(3)λ－eq \r(3)μ，即λ＋μ＝－eq \f(\r(3),3)m＋2，
数形结合可知m∈[－2eq \r(3)，eq \r(3)]，
则－eq \f(\r(3),3)m＋2∈[1,4]，即λ＋μ的取值范围为[1,4]．
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A．[－1,3] B．[－1,5]
C．[－7,3] D．[5,7]
答案 A
解析 ∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|，
a·b＝|a||b|cs θ＝2|b|2cs θ，
不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意θ恒成立，
∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，
∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，
整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cs θ≥0恒成立，
∵cs θ∈[－1,1]，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(13－λ2＋8－4λ≥0，,13－λ2－8＋4λ≥0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－7≤λ≤3，,－1≤λ≤5，))
∴－1≤λ≤3.
规律方法 利用共线向量定理及推论
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)．
(2)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
跟踪演练1 (2022·滨州模拟)在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C．[0,1] D．[1,2]
答案 C
解析 由题意，设eq \(AN,\s\up6(→))＝teq \(AM,\s\up6(→))(0≤t≤1)，如图．
当t＝0时，eq \(AN,\s\up6(→))＝0，
所以λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))＝0，
所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0；
当0所以teq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
即eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(λ,t)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(μ,t)eq \(AC,\s\up6(→))，
因为M，B，C三点共线，
所以eq \f(λ,t)＋eq \f(μ,t)＝1，即λ＋μ＝t∈(0,1]．
综上，λ＋μ的取值范围是[0,1]．
考点二 求向量模、夹角的最值(范围)
例2 (1)已知e为单位向量，向量a满足：(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 可设e＝(1,0)，a＝(x，y)，
则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，
即(x－3)2＋y2＝4，
则1≤x≤5，－2≤y≤2，
|a＋e|＝eq \r(x＋12＋y2)＝eq \r(8x－4)，
当x＝5时，eq \r(8x－4)取得最大值为6，
即|a＋e|的最大值为6.
(2)在平行四边形ABCD中，eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(2\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(λ\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，λ∈[eq \r(2)，2]，则cs∠BAD的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,4)))
解析 因为eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(2\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(λ\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，且eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|∶|eq \(AD,\s\up6(→))|∶|eq \(AC,\s\up6(→))|＝1∶2∶λ，
不妨设|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝λ，
在等式eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(2\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(λ\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)两边同时平方可得5＋4cs∠BAD＝λ2，则cs∠BAD＝eq \f(λ2－5,4)，
因为λ∈[eq \r(2)，2], 所以cs∠BAD＝eq \f(λ2－5,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,4))).
易错提醒 找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]；
若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线，同理若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线．
跟踪演练2 (2022·马鞍山模拟)已知向量a，b满足|a－3b|＝|a＋3b|，|a＋b|＝4，若向量c＝λa＋μb(λ＋μ＝1，λ，μ∈R)，且a·c＝b·c，则|c|的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由|a－3b|＝|a＋3b|得a·b＝0，
所以a⊥b.如图，
设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝m，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝n，由a⊥b可知OA⊥OB，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|b－a|＝|a＋b|＝4，
即m2＋n2＝16，所以2mn≤16，则mn≤8，当且仅当m＝n时取得等号．
设eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
由c＝λa＋μb(λ＋μ＝1)，
可知A，B，C三点共线，
由a·c＝b·c可知(a－b)·c＝0，所以OC⊥AB，
由等面积法可得，
eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))|·|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(OC,\s\up6(→))|，
得|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(OA,\s\up6(→))|·|\(OB,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(mn,4)≤2，
所以|c|的最大值为2.
考点三 求数量积的最值(范围)
例3 (1)(2022·福州质检)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a－b|＝1，则(a－b)·(b－c)的最大值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(3,2)
答案 B
解析 ∵|a－b|2＝a2－2a·b＋b2
＝2－2a·b＝1，
∴a·b＝eq \f(1,2)，
∴(a－b)·(b－c)＝a·b－a·c－b2＋b·c
＝eq \f(1,2)－1－(a－b)·c
＝－eq \f(1,2)－|a－b|·|c|cs〈a－b，c〉
＝－eq \f(1,2)－cs〈a－b，c〉，
∵cs〈a－b，c〉∈[－1,1]，
∴(a－b)·(b－c)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(1,2)))，
即(a－b)·(b－c)的最大值为eq \f(1,2).
(2)(2022·广州模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上(包括端点)，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的取值范围是________．
答案 [－2,2]
解析 如图所示，以C为原点，eq \(BC,\s\up6(→))为x轴正方向，过点C垂直向上的方向为y轴，建立平面直角坐标系．
因为菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，
则B(－2,0)，C(0,0)，D(1，eq \r(3))，A(－1，eq \r(3))．
因为点P在BC边上(包括端点)，
所以设P(t，0)，其中t∈[－2,0]．
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝(2,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(t＋1，－eq \r(3))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝2t＋2∈[－2,2]．
规律方法 向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
跟踪演练3 已知AB是半圆O的直径，AB＝2，等腰△OCD的顶点C，D在半圆弧上运动，且∠COD＝120°，点P是半圆弧上的动点，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
答案 C
解析 以点O为原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
不妨取C(1,0)，则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
设P(cs α，sin α)(α∈[0，π])，
eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝(1－cs α，－sin α)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－cs α，\f(\r(3),2)－sin α))
＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)sin α－eq \f(1,2)cs α＝eq \f(1,2)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))).
因为α∈[0，π]，
所以α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，
所以eq \f(1,2)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，即eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
专题强化练
1．(2022·山东省实验中学诊断)设向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．9
答案 C
解析 由题意得，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)，
∵A，B，C三点共线，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))且λ∈R，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝－λb＋1，,2λ＝1，))可得2a＋b＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(2a＋b)＝4＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)
≥4＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8，
当且仅当b＝2a＝eq \f(1,2)时，等号成立．
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为8.
2．设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，则(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))的最大值为( )
A．1＋eq \r(2) B．1－eq \r(2)
C.eq \r(2)－1 D．1
答案 A
解析 如图，作出eq \(OD,\s\up6(→))，
使eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))，
则(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))
＝eq \(OC,\s\up6(→))2－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))
＝1－(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))
＝1－eq \(OD,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))
＝1－eq \r(2)cs〈eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉，
当cs〈eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝－1时，(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))取得最大值为1＋eq \r(2).
3．(2022·杭州模拟)平面向量a，b满足|a|＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,2)a))＝1，记〈a，b〉＝θ，则sin θ的最大值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 因为|a|＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,2)a))＝1，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,2)a))2＝|b|2－3a·b＋eq \f(9,4)|a|2＝1，
则|b|2－3|a||b|cs θ＋eq \f(9,4)－1＝0，
即|b|2－3|b|cs θ＋eq \f(5,4)＝0，
所以cs θ＝eq \f(|b|2＋\f(5,4),3|b|)＝eq \f(|b|,3)＋eq \f(5,12|b|)≥2eq \r(\f(5,36))＝eq \r(\f(5,9))，
当且仅当|b|＝eq \f(\r(5),2)时等号成立，因为〈a，b〉＝θ，θ∈[0，π]，
所以sin θ＝eq \r(1－cs2θ)≤eq \r(1－\f(5,9))＝eq \f(2,3)，即sin θ的最大值为eq \f(2,3).
4．已知向量a，b及单位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，则|a＋b|的取值不可能为( )
A．3 B．3eq \r(2)
C.eq \r(13) D．6
答案 A
解析 设e＝(1,0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
由a·e＝1得x1＝1，
由b·e＝2得x2＝2，
由a·b＝x1x2＋y1y2＝3，可得y1y2＝1，
则|a＋b|＝eq \r(a＋b2)＝eq \r(x1＋x22＋y1＋y22)
＝eq \r(11＋y\\al(2,1)＋y\\al(2,2))≥eq \r(11＋2y1y2)＝eq \r(13)，
当且仅当y1＝y2＝1时取等号．
5.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则|eq \(PC,\s\up6(→))＋4eq \(PD,\s\up6(→))|的最小值为( )
A．3eq \r(5) B．6
C．2eq \r(5) D．4
答案 B
解析 如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，设AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，
因为AD＝1，BC＝2，
所以P(0，x)，C(2,0)，D(1，a)，
所以eq \(PC,\s\up6(→))＝(2，－x)，eq \(PD,\s\up6(→))＝(1，a－x)，
4eq \(PD,\s\up6(→))＝(4,4a－4x)，
所以eq \(PC,\s\up6(→))＋4eq \(PD,\s\up6(→))＝(6,4a－5x)，
所以|eq \(PC,\s\up6(→))＋4eq \(PD,\s\up6(→))|＝eq \r(36＋4a－5x2)≥6，
所以当4a－5x＝0，即x＝eq \f(4,5)a时，|eq \(PC,\s\up6(→))＋4eq \(PD,\s\up6(→))|的最小值为6.
6．已知不共线的平面向量m，n满足|m|＝2，|n|≥eq \r(3)，|m＋n|－|m－n|＝2，则m与n夹角的余弦值的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))
答案 B
解析 ∵|m|＝2，不妨设m＝(2,0)，由|m＋n|－|m－n|＝2，得|n＋m|－|n－m|＝2，
令n＝eq \(ON,\s\up6(→))，其对应点N的轨迹是以(－2,0)，(2,0)为焦点的双曲线的右支，
方程为x2－eq \f(y2,3)＝1(x>0)，
实半轴长为1，虚半轴长为eq \r(3)，又|n|≥eq \r(3)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝3，,x2－\f(y2,3)＝1，))得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\f(\r(6),2)))，
此时eq \(ON,\s\up6(→))与x轴的夹角为eq \f(π,4)，
则满足|n|≥eq \r(3)的N在图中双曲线N点的上方或在双曲线上与N点关于x轴对称的N1点下方的位置，如图所示，
又双曲线的渐近线为y＝±eq \r(3)x，所以m与n夹角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，所以m与n夹角的余弦值的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).
7．(2022·武汉模拟)正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上的任意一点，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AE,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是________．(填序号)
①λ的最大值为eq \f(1,2)；
②μ的最大值为1；
③eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))的最大值为2；
④eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))的最大值为eq \r(5)＋2.
答案 ②③④
解析 如图，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，D(－1,2)，E(1,1)，连接OP，
设∠BOP＝α(α∈[0，π])，
则P(cs α，sin α)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(cs α＋1，sin α)，
eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,2)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(2,1)，
由eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AE,\s\up6(→))，
得(cs α＋1，sin α)＝λ(0,2)＋μ(2,1)，则2μ＝cs α＋1且2λ＋μ＝sin α，α∈[0，π]，
所以λ＝eq \f(1,4)(2sin α－cs α－1)
＝eq \f(\r(5),4)sin(α－θ)－eq \f(1,4)≤eq \f(\r(5)－1,4)，其中tan θ＝eq \f(1,2)，故①错误；
当α＝0时，μmax＝1，故②正确；
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝2sin α≤2，故③正确；
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝sin α＋2cs α＋2
＝eq \r(5)sin(α＋φ)＋2≤eq \r(5)＋2，其中tan φ＝2，故④正确．
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，则|2a＋b|＋|2a－b|的最小值是________，最大值是________．
答案 6 2eq \r(13)
解析 ∵|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋2a－b|
＝4|a|＝4，
且|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b－2a＋b|
＝2|b|＝6，
∴|2a＋b|＋|2a－b|≥6，当且仅当2a＋b与2a－b反向时取等号．
此时|2a＋b|＋|2a－b|的最小值为6.
∵eq \f(|2a＋b|＋|2a－b|,2)≤eq \r(\f(|2a＋b|2＋|2a－b|2,2))
＝eq \r(|2a|2＋|b|2)＝eq \r(13)，
∴|2a＋b|＋|2a－b|≤2eq \r(13)，当且仅当|2a＋b|＝|2a－b|时取等号，
∴|2a＋b|＋|2a－b|的最大值为2eq \r(13).