新高考数学一轮复习学案第5章第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案第5章第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式（含解析），共16页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2x＋cs2x＝1．
(2)商数关系：tan x＝eq \f(sin x,cs x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2．三角函数的诱导公式
常用结论
1．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
2．同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
(2)sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
(3)sin2α＝eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α,tan2α＋1)；
cs2α＝eq \f(cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1,tan2α＋1).
二、教材衍化
1．若sin α＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(π,2)<α<π，则tan α＝________．
解析：因为eq \f(π,2)<α<π，所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2 \r(5),5)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
2．已知tan α＝2，则eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)的值为________．
解析：原式＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(2＋1,2－1)＝3.
答案：3
3．化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π＋α)))·cs(2π－α)的结果为________．
解析：原式＝eq \f(sin α,cs α)·cs α＝sin α.
答案：sin α
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cs2β＝1.( )
(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
(4)若cs(nπ－θ)＝eq \f(1,3)(n∈Z)，则cs θ＝eq \f(1,3).( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见,误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)不注意角的范围出错；
(2)诱导公式记忆不熟出错．
1．已知cs(π＋α)＝eq \f(2,3)，则tan α＝( )
A．eq \f(\r(5),2) B．eq \f(2\r(5),5)
C．±eq \f(\r(5),2) D．±eq \f(2\r(5),5)
解析：选C．因为cs(π＋α)＝eq \f(2,3)，
所以cs α＝－eq \f(2,3)，
则α为第二或第三象限角，
所以sin α＝±eq \r(1－cs2α)＝±eq \f(\r(5),3).
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(±\f(\r(5),3),－\f(2,3))＝±eq \f(\r(5),2).
2．若sin(π＋α)＝－eq \f(1,2)，则sin(7π－α)＝________，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝________．
解析：由sin(π＋α)＝－sin α＝－eq \f(1,2)，得sin α＝eq \f(1,2)，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝eq \f(1,2)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)－2π))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2) eq \f(1,2)
考点一 同角三角函数的基本关系式(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，eq \f(sin x,cs x)＝tan x.
核心素养：数学运算
角度一 “知一求二”问题
(1)(2020·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cs α＝－eq \f(3,5)，则tan α＝( )
A．eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4)
C．eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－eq \f(1,3)，则sin α＋cs α的值为________．
【解析】 (1)因为cs α＝－eq \f(3,5)且α∈(0，π)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3).故选D．
(2)由tan α＝－eq \f(1,3)，
得sin α＝－eq \f(1,3)cs α，且sin α>0，cs α<0，
将其代入sin2α＋cs2α＝1，得eq \f(10,9)cs2α＝1，
所以cs α＝－eq \f(3\r(10),10)，sin α＝eq \f(\r(10),10)，
故sin α＋cs α＝－eq \f(\r(10),5).
【答案】 (1)D (2)－eq \f(\r(10),5)
eq \a\vs4\al()
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
角度二 sin α，cs α的齐次式问题
已知eq \f(tan α,tan α－1)＝－1，求下列各式的值：
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)；
(2)sin2α＋sin αcs α＋2.
【解】 由已知得tan α＝eq \f(1,2).
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)＝－eq \f(5,3).
(2)sin2α＋sin αcs α＋2＝eq \f(sin2α＋sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋2＝eq \f(tan2α＋tan α,tan2α＋1)＋2＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1)＋2＝eq \f(13,5).
eq \a\vs4\al()
关于sin α与cs α的齐n次分式或齐二次
整式的化简求值的解题策略
已知tan α，求关于sin α与cs α的齐n次分式或齐二次整式的值．

角度三 sin α±cs α，sin αcs α之间的关系
已知α∈(－π，0)，sin α＋cs α＝eq \f(1,5).
(1)求sin α－cs α的值；
(2)求eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)的值．
【解】 (1)由sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，
平方得sin2α＋2sin αcs α＋cs2α＝eq \f(1,25)，
整理得2sin αcs α＝－eq \f(24,25).
所以(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(49,25).
由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cs α>0，
所以cs α>0，则sin α－cs α<0，
故sin α－cs α＝－eq \f(7,5).
(2)eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)＝eq \f(2sin α（cs α＋sin α）,1－\f(sin α,cs α))＝
eq \f(2sin αcs α（cs α＋sin α）,cs α－sin α)＝eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq \f(24,175).
eq \a\vs4\al()
sin α±cs α与sin αcs α关系的应用技巧
(1)通过平方，sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α之间可建立联系，若令sin α＋cs α＝t，则sin αcs α＝eq \f(t2－1,2)，sin α－cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)．
(2)对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，可以知一求二．
1．(2020·长春模拟)已知sin αcs α＝eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)<αA．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(3,4) D．eq \f(3,4)
解析：选B．因为eq \f(5π,4)<α0.又(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，所以cs α－sin α＝eq \f(\r(3),2).故选B．
2．若3sin α＋cs α＝0，则eq \f(1,cs2α＋2sin αcs α)的值为________．
解析：3sin α＋cs α＝0⇒cs α≠0⇒tan α＝－eq \f(1,3)，eq \f(1,cs2α＋2sin αcs α)＝eq \f(cs2α＋sin2α,cs2α＋2sin αcs α)＝eq \f(1＋tan2α,1＋2tan α)＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))\s\up12(2),1－\f(2,3))＝eq \f(10,3).
答案：eq \f(10,3)
3．已知θ为第四象限角，sin θ＋3cs θ＝1，则tan θ＝________．
解析：由(sin θ＋3cs θ)2＝1＝sin2θ＋cs2θ，得6sin θcs θ＝－8cs2θ，又因为θ为第四象限角，所以cs θ≠0，所以6sin θ＝－8cs θ，所以tan θ＝－eq \f(4,3).
答案：－eq \f(4,3)
考点二 诱导公式的应用(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)±α、π±α的正弦、余弦、正切)).
核心素养：数学运算
(1)sin(－1 200°)cs 1 290°＝________．
(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))＋2cs（π－θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sin（π－θ）)等于________．
【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cs 1 290°
＝－sin(3×360°＋120°)cs(3×360°＋210°)
＝－sin 120°cs 210°
＝－sin(180°－60°)cs(180°＋30°)
＝sin 60°cs 30°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,4).
(2)由题可知tan θ＝3，原式＝eq \f(－cs θ－2cs θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(－3,1－tan θ)＝eq \f(3,2).
【答案】 (1)eq \f(3,4) (2)eq \f(3,2)
【迁移探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin（－π－θ）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－θ))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋θ)))＝________．
解析：由题可知tan θ＝3，
原式＝eq \f(－sin θ＋sin（π＋θ）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π－\f(π,2)－θ))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,2)＋θ)))
＝eq \f(－sin θ－sin θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))
＝eq \f(－2sin θ,－sin θ＋cs θ)＝eq \f(2tan θ,tan θ－1)＝eq \f(2×3,3－1)＝3.
答案：3
eq \a\vs4\al()
(1)诱导公式用法的一般思路
①化负为正，化大为小，化到锐角为止；
②角中含有加减eq \f(π,2)的整数倍时，用公式去掉eq \f(π,2)的整数倍．
(2)常见的互余和互补的角
①常见的互余的角：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α；eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α；eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等；
②常见的互补的角：eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ；eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等．
1．(2020·江西临川第一中学等九校3月联考)已知α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝( )
A．－eq \f(15,17) B．eq \f(15,17)
C．－eq \f(8,17) D．eq \f(8,17)
解析：选D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝cs α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，所以sin α＝ eq \r(1－cs2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,17)))\s\up12(2))＝eq \f(8,17)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝eq \f(8,17).故选D．
2．(2020·江西上饶模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))的值等于________．
解析：由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，
得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)－\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
考点三 基本关系式与诱导公式的综合应用(综合型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(1)(2020·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A．eq \f(3\r(5),5) B．eq \f(3\r(7),7)
C．eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(1,3)
(2)已知α是第三象限角，且f(α)
＝eq \f(sin（－α－π）cs（5π－α）tan（2π－α）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan（－α－π）).
①化简f(α)；
②若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值；
③若α＝－420°，求f(α)的值．
【解】 (1)选C．由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝eq \f(3\r(10),10).
(2)①由题可得，
f(α)＝eq \f(sin（－α－π）cs（5π－α）tan（2π－α）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan（－α－π）)
＝eq \f(sin α（－cs α）（－tan α）,sin α（－tan α）)＝－cs α.
②因为tan(π－α)＝－2，所以tan α＝2.
所以sin α＝2cs α.
所以(2cs α)2＋cs2α＝1.所以cs2α＝eq \f(1,5).
因为α是第三象限角，所以cs α＝－eq \f(\r(5),5)，
所以f(α)＝eq \f(\r(5),5).
③因为cs (－420°)＝cs 420°＝cs 60°＝eq \f(1,2)，
所以f(α)＝－cs α＝－eq \f(1,2).
eq \a\vs4\al()
求解诱导公式与同角关系综合问题的
基本思路和化简要求
1．(2020·江西吉安期末)已知tan(－2 019π＋θ)＝－2，则2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝( )
A．－2 B．eq \f(2\r(3)＋1,5)
C．eq \f(2\r(3)＋3,5) D．eq \f(3,5)
解析：选B．因为tan(－2 019π＋θ)＝－2，
所以tan θ＝－2.
则2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))
＝(eq \r(3)sin θ－cs θ)(sin θ＋cs θ)
＝eq \r(3)sin2θ－cs2θ＋(eq \r(3)－1)sin θcs θ
＝eq \f(\r(3)sin2θ－cs2θ＋（\r(3)－1）sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(\r(3)tan2θ－1＋（\r(3)－1）tan θ,tan2 θ＋1)
＝eq \f(4\r(3)－1－2（\r(3)－1）,4＋1)
＝eq \f(2\r(3)＋1,5).故选B．
2．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 019)的值为________．
解析：因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，
所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcs(4π＋β)
＝asin α＋bcs β＝3，
所以f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcs(2 019π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcs(π＋β)
＝－asin α－bcs β＝－3.
答案：－3
[基础题组练]
1．计算：sin eq \f(11π,6)＋cs eq \f(10π,3)＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)
解析：选A．原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝－1.
2．(多选)(2021·预测)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cs(A＋B)＝cs C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cseq \f(A＋C,2)＝sineq \f(B,2) D．sineq \f(B＋C,2)＝cseq \f(A,2)
解析：选CD．因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，eq \f(A＋C,2)＝eq \f(π－B,2)，eq \f(B＋C,2)＝eq \f(π－A,2)，所以cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cseq \f(A＋C,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(B,2)))＝sin eq \f(B,2)，sineq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cseq \f(A,2).
3．已知sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，|θ|＜eq \f(π,2)，则θ等于( )
A．－eq \f(π,6) B．－eq \f(π,3)
C．eq \f(π,6) D．eq \f(π,3)
解析：选D．因为sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，
所以－sin θ＝－eq \r(3)cs θ，
所以tan θ＝eq \r(3)，因为|θ|＜eq \f(π,2)，所以θ＝eq \f(π,3).
4．已知f(α)＝eq \f(sin（2π－α）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋α))tan（π＋α）)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(1,2)
解析：选A．f(α)＝eq \f(sin（2π－α）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋α))tan（π＋α）)＝eq \f(－sin α·（－sin α）,sin α·tan α)＝eq \f(sin2α,sin α·\f(sin α,cs α))＝cs α，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
5．已知sin α＋cs α＝eq \r(2)，则tan α＋eq \f(cs α,sin α)的值为( )
A．－1 B．－2
C．eq \f(1,2) D．2
解析：选D．因为sin α＋cs α＝eq \r(2)，所以(sin α＋cs α)2＝2，所以sin αcs α＝eq \f(1,2).所以tan α＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,sin αcs α)＝2.故选D．
6．设α是第三象限角，tan α＝eq \f(5,12)，则cs(π－α)＝________．
解析：因为α为第三象限角，tan α＝eq \f(5,12)，
所以cs α＝－eq \f(12,13)，
所以cs(π－α)＝－cs α＝eq \f(12,13).
答案：eq \f(12,13)
7．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝eq \f(12,25)，且0＜α＜eq \f(π,4)，则sin α＝________，cs α＝________．
解析：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝－cs α·(－sin α)＝sin αcs α＝eq \f(12,25).
因为0＜α＜eq \f(π,4)，所以0＜sin α＜cs α.
又因为sin2α＋cs2α＝1，所以sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5).
答案：eq \f(3,5) eq \f(4,5)
8．化简eq \f(\r(1－2sin 40°cs 40°),cs 40°－\r(1－sin250°))＝________．
解析：原式＝
eq \f(\r(sin240°＋cs240°－2sin 40°cs 40°),cs 40°－cs 50°)
＝eq \f(|sin 40°－cs 40°|,sin 50°－sin 40°)
＝eq \f(|sin 40°－sin 50°|,sin 50°－sin 40°)
＝eq \f(sin 50°－sin 40°,sin 50°－sin 40°)
＝1.
答案：1
9．已知α为第三象限角，
f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).
(1)化简f(α)；
(2)若cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）)
＝eq \f(（－cs α）·sin α·（－tan α）,（－tan α）·sin α)＝－cs α.
(2)因为cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，
所以－sin α＝eq \f(1,5)，
从而sin α＝－eq \f(1,5).
又α为第三象限角，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，
所以f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
10．是否存在α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β，①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β，②))
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2.
所以sin2α＝eq \f(1,2)，所以sin α＝±eq \f(\r(2),2).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α＝±eq \f(π,4).
当α＝eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又β∈(0，π)，所以β＝eq \f(π,6)，此时①式成立；
当α＝－eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，
所以β＝eq \f(π,6)，此时①式不成立，故舍去．
所以存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件．
[综合题组练]
1．已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cs θ，sin θ)，B(2cs θ＋sin θ，5cs θ－sin θ)，则直线AB的斜率为( )
A．3 B．－4
C．eq \f(1,3) D．－eq \f(1,4)
解析：选D．由题意知tan θ＝3，kAB＝eq \f(5cs θ－sin θ－sin θ,2cs θ＋sin θ－cs θ)＝eq \f(5－2tan θ,1＋tan θ)＝－eq \f(1,4).故选D．
2．A＝{sin α，cs α，1}，B＝{sin2α，sin α＋cs α，0}，且A＝B，则sin2 019α＋cs2 018α＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：选C．当sin α＝0时，sin2α＝0，此时集合B中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cs α＝0时，A＝{sin α，0，1}，B＝{sin2α，sin α，0}，此时sin2α＝1，得sin α＝－1，所以sin2 019α＋cs2 018α＝－1.
3．若|sin θ|＋|cs θ|＝eq \f(2\r(3),3)，则sin4θ＋cs4θ＝________．
解析：|sin θ|＋|cs θ|＝eq \f(2\r(3),3)，两边平方得，1＋|sin 2θ|＝eq \f(4,3)，所以|sin 2θ|＝eq \f(1,3)，所以sin4θ＋cs4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－2sin2θcs2θ＝1－2sin2θcs2θ＝1－eq \f(1,2)sin2 2θ＝1－eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(17,18).
答案：eq \f(17,18)
4．若k∈Z时，eq \f(sin（kπ－α）·cs（kπ＋α）,sin[（k＋1）π＋α]·cs[（k＋1）π＋α])的值为________．
解析：当k为奇数时，
eq \f(sin（kπ－α）·cs（kπ＋α）,sin[（k＋1）π＋α]·cs[（k＋1）π＋α])
＝eq \f(sin α·（－cs α）,sin α·cs α)＝－1；
当k为偶数时，
eq \f(sin（kπ－α）·cs（kπ＋α）,sin[（k＋1）π＋α]·cs[（k＋1）π＋α])
＝eq \f(－sin α·cs α,－sin α·（－cs α）)＝－1.
答案：－1
5．已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cs θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：(1)原式＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))
＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)
＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ.
由条件知sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
故eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)由已知，得sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
sin θcs θ＝eq \f(m,2)，
又1＋2sin θcs θ＝(sin θ＋cs θ)2，可得m＝eq \f(\r(3),2).
(3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sin θcs θ＝\f(\r(3),4)，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))
又θ∈(0，2π)，故θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(π,6).
6．在△ABC中，
(1)求证：cs2eq \f(A＋B,2)＋cs2 eq \f(C,2)＝1；
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
求证：△ABC为钝角三角形．
证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
所以eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)，
所以cseq \f(A＋B,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sin eq \f(C,2)，
所以cs2eq \f(A＋ B,2)＋cs2eq \f(C,2)＝1.
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
所以(－sin A)(－cs B)tan C＜0，
即sin Acs Btan C＜0.
因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs B＜0，,tan C＞0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs B＞0，,tan C＜0，))
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
组数
一
二
三
四
五
六
角
α＋2kπ
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
基本思路
①分析结构特点，选择恰当公式；
②利用公式化成单角三角函数；
③整理得最简形式
化简要求
①化简过程是恒等变换；
②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值