新高考数学一轮复习教案第1章第2节 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词（含解析）

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1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用，凸显逻辑推理的核心素养．
2．以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
[提醒] 不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
2．全称量词和存在量词
3.全称命题和特称命题
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(充分、必要条件的判断)“x0；④∀x∈R,2x>0.
解析：当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x≤0时，x3≤0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．
答案：①②④
二、易错点练清
1．(混淆否命题与命题的否定)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是______________________．
答案：存在一个奇数，它的立方不是奇数
2．(对充分、必要条件的概念理解不清)已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的__________条件．
答案：充分不必要
考点一 充分条件与必要条件的判断
[典例] (1)(2020·天津高考)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2020·浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)由a2>a得a>1或a1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.
(2)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内．故选B.
[答案] (1)A (2)B
[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法
[针对训练]
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B．“eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)”是“a＜b”的既不充分也不必要条件
C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B
D．“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
解析：选BC c＝0时，由ac＝bc不能得出a＝b，A错误；eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)与a＜b相互不能推导，如a＝2，b＝－1时，满足eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)但不满足a＜b，反之若a＝－1，b＝2，满足a＜b但不满足eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，∴“eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)”是“a＜b”的既不充分也不必要条件，B正确；由充分、必要条件与集合之间的包含关系可知C正确；由a＞b＞0能得出an＞bn，当a＝－4，b＝－2时，a2＞b2，但a＜b，D错误．
2．设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；
若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合．
综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.
考点二 根据充分、必要条件求参数范围
[典例] (1)已知p：x≥k，q：eq \f(3,x＋1)＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
(2)已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－42”是“x>a”的必要不充分条件，知{x|x>a}是{x|x>2}的真子集，将这两个集合表示在数轴上(如图)，由数轴知a>2，故选C.
2．设命题p：eq \f(2x－1,x－1)x2
C．a＋b＝0的充要条件是eq \f(a,b)＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
[解析] 根据指数函数的性质可得ex>0，故A错误；x＝2时，2x>x2不成立，故B错误；当a＝b＝0时，eq \f(a,b)没有意义，故C错误；因为“x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题为“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故D正确．故选A、B、C.
[答案] ABC
[方法技巧] 判断全称命题、特称命题真假的思路
考法(三) 根据全(特)称命题的真假求参数
[例3] (2021·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
[解析] 当原命题为真命题时，a>0且Δ4，故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.
[答案] C
[方法技巧]
根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
[针对训练]
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是( )
A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2
C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2
D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2
解析：选C 根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N *，使得n≤x2”．故选C.
2．下列命题中的假命题是( )
A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝0
C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0
解析：选D ∃x0＝1，lg x0＝0；∃x0＝0，tan x0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.
3．已知命题p：∃x0∈R，lg2(3x0＋1)≤0，则( )
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0
解析：选B ∵3x>0，∴3x＋1>1，则lg2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0.故选B.
4．已知命题“∃x0∈R,4xeq \\al(2,0)＋(a－2)x0＋eq \f(1,4)≤0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：因为命题“∃x0∈R,4xeq \\al(2,0)＋(a－2)x0＋eq \f(1,4)≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋eq \f(1,4)>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×eq \f(1,4)＝a2－4ab”可得“f(a)>f(b)”，由“f(a)>f(b)”可得“a>b”，即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件．
5．(多选)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称命题且为真命题的有( )
A．∃x∈R，x2－x＋eq \f(1,4)－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )
A．－1－1 D．－1