新高考数学一轮复习教案第2章第1节 函数及其表示（含解析）

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核心素养立意下的命题导向
1.以指数函数、对数函数、分式函数及带二次根号的函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．
2．考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．
3．与不等式、方程、指数函数、对数函数相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．函数的概念
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3．函数的表示方法
函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
5．分段函数的相关结论
(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(相等函数的判断)下列f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eq \r(x2－1)与g(x)＝eq \r(x－1)·eq \r(x＋1)
B．f(x)＝x与g(x)＝eq \f(x3＋x,x2＋1)
C．y＝x与y＝(eq \r(x))2
D．f(x)＝eq \r(x2)与g(x)＝eq \r(3,x3)
答案：B
2．(函数的定义域)函数f(x)＝eq \r(2x－1)＋eq \f(1,x－2)的定义域为________________．
解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥0且x≠2.
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
3．(函数的值域)已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为____________．
解析：∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
答案：{－1,1,3,5,7}
4．(求函数的解析式)已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，依题设得3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＝6，,3a＋3b＝4，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－\f(2,3)，))则f(x)＝2x－eq \f(2,3).
答案：2x－eq \f(2,3)
5．(分段函数求值)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x＋1，x≤0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))))的值是________．
解析：由题意可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝lg2eq \f(1,4)＝－2，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))))＝f(－2)＝3－2＋1＝eq \f(10,9).
答案：eq \f(10,9)
二、易错点练清
1．(对函数概念理解不清)已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是( )
A．f：x→y＝eq \f(1,2)x B．f：x→y＝eq \f(1,3)x
C．f：x→y＝eq \f(2,3)x D．f：x→y＝eq \r(x)
解析：选C 对于C，因为当x＝4时，y＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)∉Q，所以C不是函数．
2．(忽视自变量范围)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x