2020年高考数学一轮复习教案：第1章 第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件(含解析)

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真]　1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且pqp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件ABp是q的必要不充分条件BAp是q的充要条件A＝B[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．  (　　)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”． (　　)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　)(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)[解析]　(1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(教材改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)A．若α≠，则tan α≠1B．若α＝，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠D．若tan α≠1，则α＝C　[“若p，则q”的逆否命题是“若q，则 p”，显然q：tan α≠1，p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．]3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件A　[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(　　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件B　[x＜－1＜x＜3，但－1＜x＜3⇒x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.]5．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　)A．1　　　　B．2   C．3　　　　D．4B　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．]四种命题的相互关系及真假判断 1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是(　　)A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0D　[“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.]2．(2019·开封模拟)下列命题中为真命题的是(　　)A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题B　[对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若＞1，则x＞1”是假命题，则其逆否命题为假命题，故选B.]3．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福D　[命题的等价命题就是其逆否命题，故选D.]4．“若m＜n，则ms2＜ns2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．2　[原命题：“若m＜n，则ms2＜ns2”，这是假命题，因为若s＝0时，由m＜n，得到ms2＝ns2＝0，不能推出ms2＜ns2.逆命题：“若ms2＜ns2，则m＜n”，这是真命题，因为由ms2＜ns2得到s2＞0，所以两边同除以s2，得m＜n，因为原命题和逆否命题的真假相同，逆命题和否命题的真假相同，所以真命题的个数是2.][规律方法]　1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假． 充分条件、必要条件的判断【例1】　(1)(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∉M”是“m∉N”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)B　(2)A　[(1)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则＝，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则＝，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件．由NM知，“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件，从而“m∉M”是“m∉N”的充分不必要条件，故选A.][规律方法]　充分条件和必要条件的三种判断方法1定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系.2等价转换法：对于含否定形式的命题，如﹁p是﹁q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件.3集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”. (1)(2018·天津高考)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的(　　)A．充分而不必要条件　　 B．必要而不充分条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＞1或x＜－3，条件q：5x－6＞x2，则p是q的(　　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件(1)A　(2)A　[(1)由x3＞8可得x＞2，从而|x|＞2成立，由|x|＞2可得x＞2或x＜－2，从而x3＞8不一定成立．因此“x3＞8”是“|x|＞2”的充分而不必要条件，故选A.(2)由5x－6＞x2得2＜x＜3，即q：2＜x＜3.所以q⇒p，pq，从而q是p的充分不必要条件．即p是q的充分不必要条件，故选A.] 充分条件、必要条件的应用 【例2】　(1)设命题p：(4x－3)2≤1，命题q：x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)A.   B.C．(－∞，0]∪   D．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是(　　)A．－1≤k＜3   B．－1≤k≤3C．0＜k＜3   D．k＜－1或k＞3(1)A　(2)C　[(1)由(4x－3)2≤1得≤x≤1，即p：≤x≤1，由x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)≤0得m≤x≤m＋1，即q：m≤x≤m＋1.由p是q的必要不充分条件知，p是q的充分不必要条件，从而{x|m≤x≤m＋1}．∴，解得0≤m≤，故选A.(2)“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的充要条件是＜，即－1＜k＜3.故所求应是集合{k|－1＜k＜3}的一个子集，故选C.][规律方法]　利用充要条件求参数的关注点1巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式或不等式组求解.2端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍. (1)若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)A．[－1,1]   B．[－1,0]C．[1,2]   D．[－1,2](2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.(1)A　(2)3或4　[(1)由题意知(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选A.(2)当Δ＝16－4n≥0，即n≤4时，方程x2－4x＋n＝0的两根为x＝＝2±.又n∈N*，且n≤4，则当n＝3,4时，方程有整数根．]