2025高考数学一轮复习-等比数列-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-等比数列-专项训练【含解析】，共10页。

等比数列{an}的前n项和Sn＝32n－1＋r，则r＝( )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．eq \f(1,9)D．－eq \f(1,9)
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－eq \r(2)，a5＝eq \r(2)＋1，则a1a5＋2a2a6＋a3a7＝( )
A．1B．9
C．5eq \r(2)＋7D．3eq \r(2)＋9
3．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为( )
A．3B．6
C．96D．192
4．Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝256，a4a6＝1 024，则eq \f(Sn,an)＝( )
A．2n－1B．2－21－n
C．2－2n－1D．21－n－1
5．已知数列{an}为等比数列，函数y＝lga(2x－1)＋2过定点(a1，a2)，bn＝lg2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则S10＝( )
A．44B．45
C．46D．50
6．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则( )
A．数列{an}的公比为2
B．数列{an}的公比为8
C．eq \f(S6,S3) ＝8
D．eq \f(S6,S3) ＝9
7．(多选)设{an}是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是公比为eq \f(1,2)的等比数列
B．{a2n}是公比为4的等比数列
C．{2an}是公比为4的等比数列
D．{anan＋1}是公比为2的等比数列
8．实数10，m，n，t,40成等比数列，则mnt＝________．
9．若数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*)．令bn＝lg3(an＋1)，则b1＋b2＋b3＋…＋b100＝________．
10．Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0．
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
11．若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn)－1))为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝( )
A．eq \f(2,81)B．eq \f(2,27)
C．eq \f(1,8)D．eq \f(1,4)
12．《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0．1．参考数据：lg 2＝0．30，lg 3＝0．48)( )
A．2．9天B．3．9天
C．4．9天D．5．9天
13．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 019a2 020>1，eq \f(a2 019－1,a2 020－1)0．
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)易知q≠1，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q3＝9a1q，,\f(a11－q3,1－q)＝13，,q>0，))解得a1＝1，q＝3，
∴an＝3n－1，Sn＝eq \f(1－3n,1－3)＝eq \f(3n－1,2)．
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，
∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝eq \f(1,2)，
此时Sn＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)×3n，则eq \f(Sn＋1＋\f(1,2),Sn＋\f(1,2))＝eq \f(\f(1,2)×3n＋1,\f(1,2)×3n)＝3，
故存在常数λ＝eq \f(1,2)，使得数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn＋\f(1,2)))是以eq \f(3,2)为首项，3为公比的等比数列．
11．若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn)－1))为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝( )
A．eq \f(2,81)B．eq \f(2,27)
C．eq \f(1,8)D．eq \f(1,4)
解析：B 若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn)－1))为“梦想数列”，则有eq \f(1,bn＋1)－1＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn)－1))＋2，即eq \f(1,bn＋1)－1＝eq \f(3,bn)－1，即eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(1,3)，且b1＝2，所以数列{bn}是以2为首项，以eq \f(1,3)为公比的等比数列．则b4＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(2,27)，故选B．
12．《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0．1．参考数据：lg 2＝0．30，lg 3＝0．48)( )
A．2．9天B．3．9天
C．4．9天D．5．9天
解析：C 设蒲的长度构成等比数列{an}，其首项a1＝3，公比为eq \f(1,2)，其前n项和为An．莞的长度构成等比数列{bn}，其首项b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．则An＝eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))，Bn＝eq \f(2n－1,2－1)，由题意可得5×eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝eq \f(2n－1,2－1)，解得2n＝30或2n＝1(舍去)．∴n＝lg230＝eq \f(lg 30,lg 2)＝eq \f(lg 3＋1,lg 2)＝eq \f(1.48,0.3)≈4．9．故选C．
13．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 019a2 020>1，eq \f(a2 019－1,a2 020－1)