2025年高考数学一轮复习-第五章 数列-第3讲 等比数列-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第五章 数列-第3讲 等比数列-专项训练【含解析】，共10页。
A. 3 B. 9 C. 13 D. 24
2. 设等比数列{an} 的前n 项和为Sn ,若Sn=2n+1+λ ,则λ= ( )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
3. 在等比数列{an} 中，已知a1+a3=8 ，a5+a7=4 ，则a9+a11+a13+a15 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
4. [2023·河南洛阳模拟]已知公比为q 的等比数列{an} 的前n 项和为Sn ，则“q>1 ”是“{Sn} 为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. [2023·山东青岛模拟]（多选）已知fx=x3 ， 数列{an} 满足a1=3 ， 且对任意n∈N∗ ， 有an+1=fan ，则( )
A. {an} 是等比数列B. {lg3an} 是等比数列
C. {lg3an} 的前n 项和为3n−12 D. an=33n−1
6. [2023·河北石家庄模拟]已知在正项等比数列{an} 中，a4a5a6=8 ，则lga1+lga2+…+lga9= .
7. [2023·广东广州模拟]已知数列{an} 的前n 项和为Sn ，且满足2an+Sn=3 ，则a5 的值为 .
8. [2023·江西南昌十中模拟]已知等比数列{an} 的前n 项和为Sn ，若S4=3 ，S8=9 ，则S16 的值为 .
9. [2022·新高考卷Ⅱ]已知{an} 是等差数列，{bn} 是公比为2的等比数列，且a2−b2=a3−b3=b4−a4 .
（1） 证明：a1=b1 ；
（2） 求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500} 中元素的个数.
[B级 综合运用]
10. 若数列{an} 满足an+1=3an+2 ，则称{an} 为“梦想数列”，已知正项数列{1bn−1} 为“梦想数列”，且b1=2 ,则b4= ( )
A. 281 B. 227 C. 18 D. 14
11. 已知等比数列{an} 的前n 项积为Tn ,若a1=−24 ,a4=−89 ,则当Tn 取最大值时，n 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
12. [2023·上海复旦附中模拟]已知正项数列{an} 满足a1=2 ,2an+12−an2=3an+1an ，则a2023= .
13. 2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.
若第1个图形中的三角形的边长为2，则第4个图形的周长为 .
14. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn ,且满足2Sn=−an+nn∈N∗ .
（1） 求证：数列{an−12} 为等比数列；
（2） 求数列{an−1} 的前n 项和Tn .
[C级 素养提升]
15. （多选）已知等比数列{an} 满足a1>0 ，公比q>1 ，且a1a2⋅…⋅a20231 ，则( )
A. a2024>1 B. 当n=2022 时，a1a2⋅…⋅an 最小
C. 当n=1012 时，a1a2⋅…⋅an 最小D. 存在n0 .
因为a1=1 ,a3=2a2+3 ,所以q2=2q+3 ，解得q=3 （负值舍去）.
则其前3项的和S3=1+3+32=13 .故选C.
2. 设等比数列{an} 的前n 项和为Sn ,若Sn=2n+1+λ ,则λ= ( A )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
[解析]选A.依题意，a1=S1=4+λ ，a2=S2−S1=4 ,a3=S3−S2=8 ，因为{an} 是等比数列，所以a1⋅a3=a22 ,即84+λ=42 ,解得λ=−2 .故选A.
3. 在等比数列{an} 中，已知a1+a3=8 ，a5+a7=4 ，则a9+a11+a13+a15 的值为( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
[解析]选C.设等比数列{an} 的公比为q ，则a5+a7a1+a3=a1+a3q4a1+a3=q4=12 ，又a9+a11=q8a1+a3=122×8=2 ，a13+a15=q12a1+a3=123×8=1 ，所以a9+a11+a13+a15=3 .故选C.
4. [2023·河南洛阳模拟]已知公比为q 的等比数列{an} 的前n 项和为Sn ，则“q>1 ”是“{Sn} 为递增数列”的( D )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]选D.①在等比数列{an} 中，若q>1 ,当n≥2 时，Sn−Sn−1=an ，当a10 并不能推得q>1 ，如a1=1 ，q=12 ，故必要性不成立.故“q>1 ”是“{Sn} 为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.
5. [2023·山东青岛模拟]（多选）已知fx=x3 ， 数列{an} 满足a1=3 ， 且对任意n∈N∗ ， 有an+1=fan ，则( BCD )
A. {an} 是等比数列B. {lg3an} 是等比数列
C. {lg3an} 的前n 项和为3n−12 D. an=33n−1
[解析]选BCD.由题意可得an+1=an3 ，因为a1=3 ，所以a2=a13=27 ,a3=a23=273 ,所以a2a1≠a3a2 ，即{an} 不是等比数列，故A错误；由题意得an>0 恒成立，所以lg3an+1=lg3an3=3lg3an ，所以lg3an+1lg3an=3 ，且lg3a1=1 ，所以{lg3an} 是以1为首项，3为公比的等比数列，故B正确；所以{lg3an} 的前n 项和为1×1−3n1−3=3n−12 ，故C正确；所以lg3an=1×3n−1 ，则an=33n−1 ，故D正确.故选BCD.
6. [2023·河北石家庄模拟]已知在正项等比数列{an} 中，a4a5a6=8 ，则lga1+lga2+…+lga9= 9lg2 .
[解析]由等比中项的性质可得a4a5a6=a53=8 ，则a5=2 ，所以lga1+lga2+…+lga9=lga1a2⋅…⋅a9=lga59=lg29=9lg2 .
7. [2023·广东广州模拟]已知数列{an} 的前n 项和为Sn ，且满足2an+Sn=3 ，则a5 的值为1681 .
[解析]当n=1 时，2a1+S1=3 ，所以a1=1 ，当n≥2 时，2an+Sn=3,2an−1+Sn−1=3， 两式相减得2an−2an−1+an=0 ，即anan−1=23 ，所以{an} 是首项为1，公比为23 的等比数列，所以an=23n−1,a5=234=1681 .
8. [2023·江西南昌十中模拟]已知等比数列{an} 的前n 项和为Sn ，若S4=3 ，S8=9 ，则S16 的值为45.
[解析]设等比数列{an} 的公比为q .
若q=−1 ，当n 为偶数时，Sn=a11−qn1−q=0 ，不符合题意，所以q≠−1 ，
所以S4 ，S8−S4 ，S12−S8 ，S16−S12 成等比数列，
且公比为S8−S4S4=2 ，
所以S12−S8=3×22=12 ，S16−S12=3×23=24 ，
所以S16=S4+S8−S4+S12−S8+S16−S12=3+6+12+24=45 .
9. [2022·新高考卷Ⅱ]已知{an} 是等差数列，{bn} 是公比为2的等比数列，且a2−b2=a3−b3=b4−a4 .
（1） 证明：a1=b1 ；
[答案]解：证明：设数列{an} 的公差为d ，所以a1+d−2b1=a1+2d−4b1，a1+d−2b1=8b1−a1+3d， 即可解得b1=a1=d2 ，所以原命题得证.
（2） 求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500} 中元素的个数.
[答案]由（1）知，b1=a1=d2 ，所以bk=am+a1⇔b1×2k−1=a1+m−1d+a1 ，即2k−1=2m ，亦即m=2k−2∈[1,500] ，解得2≤k≤10 ，所以满足等式的解k=2 ,3 ,4 ，… ,10 ,故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500} 中的元素个数为10−2+1=9 .
[B级 综合运用]
10. 若数列{an} 满足an+1=3an+2 ，则称{an} 为“梦想数列”，已知正项数列{1bn−1} 为“梦想数列”，且b1=2 ,则b4= ( B )
A. 281 B. 227 C. 18 D. 14
[解析]选B.若{1bn−1} 为“梦想数列”，则有1bn+1−1=31bn−1+2 ,即1bn+1−1=3bn−1 ,即bn+1bn=13 ,且b1=2 ,所以数列{bn} 是以2为首项，13 为公比的等比数列，则b4=2×133=227 .故选B.
11. 已知等比数列{an} 的前n 项积为Tn ,若a1=−24 ,a4=−89 ,则当Tn 取最大值时，n 的值为( C )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
[解析]选C.由a1=−24 ,a4=−89 ,可得q3=a4a1=127 ,解得q=13 ,所以Tn=a1a2a3⋅…⋅an=−24n⋅q1+2+…+n−1=−24n⋅1312nn−1 ,当Tn 取最大值时，可得n 为偶数，当n=2 时，T2=−242⋅13=192 ;当n=4 时，T4=−244⋅136=849 ;当n=6 时，T6=−246⋅1315=8639 ，则T60 ，公比q>1 ，且a1a2⋅…⋅a20231 ，则( AC )
A. a2024>1 B. 当n=2022 时，a1a2⋅…⋅an 最小
C. 当n=1012 时，a1a2⋅…⋅an 最小D. 存在n0 ，q>1 ，所以an>0 ，又01a1a2⋅…⋅a2023>1 ，故A正确；对B ，C ，由等比数列的性质，a1a2023=a2a2022=…=a1012a1012=a10122 ，故a1a2⋅…⋅a2023=a101220231 ，所以a11 ，所以a1013>1 ，故当n=1012 时，a1a2⋅…⋅an 最小，B 错误，C 正确；对D，当n