2024年暑假初升高衔接数学讲义学案 第21讲 数学思想方法

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————初中知识回顾————
数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路。因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常见的解题方法与技巧，从而为夺得中考高分搭起灵感和智慧的平台。
初中数学中的主要数学思想有整体思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等。
————高中知识链接————
高中数学中的主要数学思想有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等。
函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．
方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．
数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．
【经典题型】
初中经典题型
一、整体思想的应用
例1：若a﹣b=2，a﹣c=，则(b﹣c)2﹣3(b﹣c)+= ．
二、转化思想的应用
例2：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
三、分类讨论思想的应用
例3：经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 ．
四、数形结合思想的应用
例4：已知一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3；④x＞3时，y1＜y2．正确的个数是( )[来源:Zxxk．Cm]
A．1B．2C．3D．4
高中经典题型
一、函数与方程思想
例1：如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．y＝eq \f(1,2)x3－eq \f(1,2)x2－x B．y＝eq \f(1,2)x3＋eq \f(1,2)x2－3x C．y＝eq \f(1,4)x3－x D．y＝eq \f(1,4)x3＋eq \f(1,2)x2－2x[来源:Zxxk．Cm]
二、数形结合思想
例2：已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是( )
A．5个 B．7个 C．9个 D．10个
三、分类讨论思想
例3：长方形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝8，在BC边上取一点P，使|BP|＝t，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q，R时，用t表示|QR|．
四、转化与化归思想
例4：某厂2015年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入资金建设恰好与1月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，则全年总利润M与全年总投入N的大小关系是( )
A．M>N B．M0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．
3、在等差数列{an}中，a1＝1，满足a2n＝2an，n＝1，2，…
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anpan(p＞0)，求数列{bn}的前n项和Tn．
4、若不等式x2＋px＞4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．