新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题8-1 立体几何中外接球内切球问题（2份打包，原卷版+解析版）

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\l "_Tc30948" PAGEREF _Tc30948 \h 1
\l "_Tc22599" 题型一：外接球公式法 PAGEREF _Tc22599 \h 1
\l "_Tc2701" 题型二：外接球补型法 PAGEREF _Tc2701 \h 4
\l "_Tc14302" 题型三：外接球单面定球心法 PAGEREF _Tc14302 \h 10
\l "_Tc815" 题型四：外接球双面定球心法 PAGEREF _Tc815 \h 18
\l "_Tc2144" 题型五：内切球问题 PAGEREF _Tc2144 \h 25
\l "_Tc24717" PAGEREF _Tc24717 \h 34
\l "_Tc2360" 一、单选题 PAGEREF _Tc2360 \h 34
\l "_Tc593" 二、多选题 PAGEREF _Tc593 \h 41
\l "_Tc27048" 三、填空题 PAGEREF _Tc27048 \h 45
题型一：外接球公式法
【典例分析】
例题1．（2023·陕西西安·高三期末（理））长方体的三个相邻面的面积分别是8，8，16，则该长方体外接球的体积为（ ）
A．24πB．32πC．36πD．48π
【答案】C
【详解】设长方体的长、宽、高分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以长方体外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，所以外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
例题2．（2022·广东珠海·高一期末）一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：因为正方体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以其体对角线为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的直径即为 SKIPIF 1 < 0 ，即外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的体积 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：D
例题3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））若体积为12的长方体的每个顶点都在球 SKIPIF 1 < 0 的球面上，且此长方体的高为2，则球 SKIPIF 1 < 0 的表面积的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设长方体长和宽分别为 SKIPIF 1 < 0 ，球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
所以表面积 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
即球 SKIPIF 1 < 0 的表面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【提分秘籍】
①长方体外接球：在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，设一个顶点出发的三条边长分别为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则长方体外接球半径 SKIPIF 1 < 0
②正方体外接球：在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，设边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则正方体外接球半径 SKIPIF 1 < 0
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】长方体外接球直径 SKIPIF 1 < 0 ，所以该长方体外接球的表面积 SKIPIF 1 < 0
故选：C.
2．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（文））已知长方体 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】设长方体 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 或其补角，
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·贵州·高二学业考试）已知长方体的三条棱长分别为1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该长方体外接球的表面积为___．（结果用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型二：外接球补型法
【典例分析】
例题1．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）在四面体 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该四面体外接球半径为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：根据长方体的面对角线特点，由对棱 SKIPIF 1 < 0 ，且对棱中点E，F分别满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则可构造长方体使得四面体 SKIPIF 1 < 0 的顶点与长方体的顶点重合，由长方体的外接球即为四面体的外接球
如下图所示：
设长方体的长、宽、高分别为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 ，即四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5， SKIPIF 1 < 0 ，则长方体的对角线长等于三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的直径，如图，
设长方体的棱长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的直径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
例题3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥的外接球的半径为___________；若 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长度的最大值为___________.
【答案】 3 SKIPIF 1 < 0
【详解】由已知可证明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两两垂直且长度均为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
设外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设三棱锥外接球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球与平面 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，易知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点均在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
设内切球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由等体积法：
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
将几何体沿截面 SKIPIF 1 < 0 切开，得到如下截面图：
两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点间距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3； SKIPIF 1 < 0
【提分秘籍】
①墙角型：由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可补形为长方体或正方体，再利用公式法求解外接球问题；
②对棱相等型：如果一个多面体的对棱都相等，可以补形为长方体，或正方体，再利用公式法求解外接球问题；
【变式演练】
1．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点，将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使 SKIPIF 1 < 0 三点重合于点 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解：由题意知：三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球即为长方体 SKIPIF 1 < 0 的外接球，如图所示：
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以长方体的体对角线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的半径为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由于三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：
则体对角线 SKIPIF 1 < 0 即为外接球的直径，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
3．（2022·四川省乐山沫若中学高二期中（理））已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， 则三棱锥的外接球的体积为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
由题可知,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，
所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
由图可知长方体的长宽高分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以体对角线长 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的体积等于 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·湖北·高二期中）四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____．
【答案】50π
【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体A﹣BCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以 SKIPIF 1 < 0 为三边的三角形作为底面，且分别以a，b，c为长、侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体，
并且a2+b2＝25，a2+c2＝34，b2+c2＝41，
设球半径为R，则有(2R)2＝a2+b2+c2＝50，
∴4R2＝50，
∴球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
题型三：外接球单面定球心法
【典例分析】
例题1．（2022·福建·高三阶段练习）在正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中心，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设侧棱长为x，且易知 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设球心为M，则MP=MA=R， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以表面积 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
例题2．（2022·四川·泸州市龙马高中高二阶段练习（文））在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球 SKIPIF 1 < 0 的体积为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：如图所示，设底面 SKIPIF 1 < 0 的中心为 SKIPIF 1 < 0 , 连接 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0
因为AC⊥平面PAB， SKIPIF 1 < 0 平面PAB，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 .
所以外接球O的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则该几何体的外接球的体积为_________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图,该四面体的外接球的球心O必经过△ABC外接圆的圆心 SKIPIF 1 < 0 且垂直于平面ABC的直线上,且到A,P的距离相等.
在△ABC中,由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 .
由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ,解得： SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
即该几何体的外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 .
所以外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
①第一步：选定一个底面（如图底面三角形 SKIPIF 1 < 0 ），求出三角形 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心 SKIPIF 1 < 0
如图：若 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，则外接圆圆心 SKIPIF 1 < 0 在斜边的中点上；
若 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，则外接圆圆心 SKIPIF 1 < 0 在重心位置；
若 SKIPIF 1 < 0 为普通三角形，则利用正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ,确定出 SKIPIF 1 < 0 的位置
②第二步：过点 SKIPIF 1 < 0 作出平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，如图为 SKIPIF 1 < 0 ，则球心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上；
③计算：在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理求出外接球半径 SKIPIF 1 < 0
【变式演练】
1．（2022·贵州·高三阶段练习（理））设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，当三棱锥体积最大时，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为弦，所对圆周角为 SKIPIF 1 < 0 的圆上的一段优弧上，如图，易知当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形时， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离最大为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 不变时，假设 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，当平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 点到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大为 SKIPIF 1 < 0 ，也即三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高最大，从而体积最大，
此时 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 外心，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心在此垂线上，设 SKIPIF 1 < 0 是三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心，如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，设外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 和直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
球表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
2．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则它的外接球的表面积为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】解：三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
由球的性质可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为，在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·江苏·常州市第一中学高三阶段练习）已知空间四边形 SKIPIF 1 < 0 的各边长及对角线 SKIPIF 1 < 0 的长度均为6，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点M在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径为______；过点M作四边形 SKIPIF 1 < 0 外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之比为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】空1：
由题意知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，取 SKIPIF 1 < 0 中点E，连 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心为O，半径为R，
分别取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中心 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
空2：
连 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则H，O，M三点共线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设过M作四边形 SKIPIF 1 < 0 外接球的截面圆的半径为r，O到该截面的距离为d，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则有：
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时截面过球心， SKIPIF 1 < 0 取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ，截面的面积最大为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值 SKIPIF 1 < 0 ，截面的面积最小为 SKIPIF 1 < 0 ；
故截面面积最大值和最小值之比为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·山西运城·高三期中）已知正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】已知正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 内切球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，设球体的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，设正四面体的高为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
因为球 SKIPIF 1 < 0 与四棱锥相内切，所以由等体积法得： SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，设正四棱锥外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以正四棱锥外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
题型四：外接球双面定球心法
【典例分析】
例题1．（2022·山西大附中高三阶段练习）已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的各边长为 SKIPIF 1 < 0 ．如图所示，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得点 SKIPIF 1 < 0 到达点 SKIPIF 1 < 0 的位置，连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球上运动，且始终保持 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹的周长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 轨迹所在平面为 SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 的中心分别为 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 四点共面，由题可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解Rt SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球半径 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 截外接球所得截面圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴截面圆的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 轨迹的周长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
例题2．（2022·四川省叙永第一中学校高二期中（理））在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 分别是正三角形 SKIPIF 1 < 0 和正三角形 SKIPIF 1 < 0 的重心，
SKIPIF 1 < 0 是该三棱锥外接球的球心，连接 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，球半径 SKIPIF 1 < 0
∴外接球体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【提分秘籍】
①第一步：选定一个底面（如图底面三角形 SKIPIF 1 < 0 ），求出三角形 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心 SKIPIF 1 < 0
如图：若 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，则外接圆圆心 SKIPIF 1 < 0 在斜边的中点上；
若 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，则外接圆圆心 SKIPIF 1 < 0 在重心位置；
若 SKIPIF 1 < 0 为普通三角形，则利用正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ,确定出 SKIPIF 1 < 0 的位置
②第二步：过点 SKIPIF 1 < 0 作出平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线；
③第三步：重复上述两步，再做一条垂线；
④第四步：两条垂线的交点为球心 SKIPIF 1 < 0
【变式演练】
1．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的各边长为 SKIPIF 1 < 0 .如图所示，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得点 SKIPIF 1 < 0 到达点 SKIPIF 1 < 0 的位置，连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球上运动，且始终保持 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹的周长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高 SKIPIF 1 < 0 ，
三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积为 SKIPIF 1 < 0 ；
作 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 轨迹所在平面为 SKIPIF 1 < 0 ，
则平面 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 的中心分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 四点共面，
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解Rt SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 截外接球所得截面圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴截面圆的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 轨迹的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为3的菱形且一个内角为 SKIPIF 1 < 0 ，把等边 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得点 SKIPIF 1 < 0 到达点 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积最大时，其外接球半径为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图，取 SKIPIF 1 < 0 中点G，连接 SKIPIF 1 < 0
当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积最大时，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
又四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为3且一个内角为 SKIPIF 1 < 0 的菱形， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是边长为3等边三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心，圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，过点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，则两垂线的交点O就是三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心，设球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，且此时 SKIPIF 1 < 0 分别为等边 SKIPIF 1 < 0 与等边 SKIPIF 1 < 0 的中心，
所以 SKIPIF 1 < 0
由此得到四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时，其外接球半径 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·福建·高二期中）已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的各边长为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得点 SKIPIF 1 < 0 到达点 SKIPIF 1 < 0 的位置，连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为___________， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球上运动，且始终保持 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹的周长为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高 SKIPIF 1 < 0 ，
三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积为 SKIPIF 1 < 0 ；
作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 轨迹所在平面为 SKIPIF 1 < 0 ，
则平面 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 的中心分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 四点共面，
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 截外接球所得截面圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴截面圆的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 轨迹的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
题型五：内切球问题
【典例分析】
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，侧面与底面所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 为正三棱锥，底面边长为6，
且侧面与底面所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以可得正三棱锥的高 SKIPIF 1 < 0 ，侧面的高 SKIPIF 1 < 0 ；
设正三棱锥底面中心为 SKIPIF 1 < 0 ，其外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
正三棱锥的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
也即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
例题2．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一期末）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设圆锥的内切球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，设圆锥顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，底面圆周上一点为 SKIPIF 1 < 0 ，底面圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球切母线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，底面半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故该圆锥的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
故选：A.
例题3．（2022·河南·高二阶段练习）已知正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为12，球 SKIPIF 1 < 0 内切于正四面体 SKIPIF 1 < 0 是球 SKIPIF 1 < 0 上关于球心 SKIPIF 1 < 0 对称的两个点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
设点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，如图1.
因为正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为12，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，如图2.圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 是关于点 SKIPIF 1 < 0 对称的两个点，且 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切时，等号成立.
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，
等号成立.
因为以上取等条件可以同时成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
①等体积法：将空间几何体拆分为以内切球球心 SKIPIF 1 < 0 为顶点的多个几何体，再利用等体积法求出内切球半径 SKIPIF 1 < 0 ，主要用于多面体内切球问题；
例如：在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，内切球为球 SKIPIF 1 < 0 ，求球半径 SKIPIF 1 < 0 .方法如下：
SKIPIF 1 < 0
即： SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 .
②独立截面法：主要用于旋转体中，通过独立截面（过球心的截面），在截面中求出内切球的半径.
【变式演练】
1．（2022·浙江台州·模拟预测）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边长为1的等边三角形，底面 SKIPIF 1 < 0 为矩形.若四棱锥 SKIPIF 1 < 0 存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由于平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边长为1的等边三角形，底面 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
所以四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的内切球在等边三角形 SKIPIF 1 < 0 的“正投影”是等边三角形 SKIPIF 1 < 0 的内切圆，
设等边三角形 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以内切球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，其表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图， 已知圆锥顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， 其轴截面 SKIPIF 1 < 0 是边长为 6 的为正三角形， SKIPIF 1 < 0 为底面的圆心， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的一条直径， 球 SKIPIF 1 < 0 内切于圆锥 （与圆锥底面和侧面均相切）， 点 SKIPIF 1 < 0 是球 SKIPIF 1 < 0 与圆锥侧面的交线上一动点，则（ ）
A．圆锥的表面积是 SKIPIF 1 < 0 B．球 SKIPIF 1 < 0 的体积是 SKIPIF 1 < 0
C．四棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
正 SKIPIF 1 < 0 内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心 SKIPIF 1 < 0 都在线段 SKIPIF 1 < 0 上，连 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则球O的半径 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，圆锥的表面积是 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B，球O的体积是 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C，因Q到平面AEBF的距离与截面圆圆心 SKIPIF 1 < 0 到平面的距离相等，均为 SKIPIF 1 < 0 ，
则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，
则四棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D，因 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
由均值不等式得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，D正确.
故选：BCD
3．（2023·江西江西·高三阶段练习（理））如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，则模型中九个球的体积和为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图所示正四面体 SKIPIF 1 < 0 ，设棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正四面体 SKIPIF 1 < 0 内切球的球心，延长 SKIPIF 1 < 0 交底面 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形 SKIPIF 1 < 0 的中心，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为正四面体 SKIPIF 1 < 0 内切球的半径，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以正四面体 SKIPIF 1 < 0 内切球的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知最大球内切于高 SKIPIF 1 < 0 的正四面体中，最大球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
故最大球体积为 SKIPIF 1 < 0 ；
中等球内切于高 SKIPIF 1 < 0 的正四面体中，中等球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
故中等球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ；
最小求内切于高 SKIPIF 1 < 0 的正四面体中，最小球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
故最小求的体积为 SKIPIF 1 < 0 ；
所以九个球的体积和 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切，求两球半径之和.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】作正方体的对角面，得如图所示的截面图:其中AB,CD为正方体的棱，AD,BC为正方体的面对角线，AC为体对角线，
球心 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，过 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交于E，F两点.
设小球半径为r，大球半径为R,则由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即两球半径之和为 SKIPIF 1 < 0 .
一、单选题
1．（2022·重庆市永川北山中学校高三期中）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积是（ ）
A．100πB．50πC．144πD．72π
【答案】A
【详解】如图，将三棱锥放于一个长方体内：
则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴外接球的表面积为： SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体. 若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，正八面体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据正八面体的性质可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是外接球的球心，且半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
3．（2022·江苏扬州·高三期中）古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
设球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆柱的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知球 SKIPIF 1 < 0 是棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 的内切球，则平面 SKIPIF 1 < 0 截球 SKIPIF 1 < 0 的截面面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】平面 SKIPIF 1 < 0 截球 SKIPIF 1 < 0 的截面为 SKIPIF 1 < 0 的内切圆，
SKIPIF 1 < 0 正方体棱长为1， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 内切圆半径 SKIPIF 1 < 0 .
截面面积为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则此圆台的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
如图为圆台及其外接球的轴截面， SKIPIF 1 < 0 为外接球球心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形的下底和上底的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆台下底面半径为4，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即圆台上底面半径为3，所以圆台的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占 SKIPIF 1 < 0 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得 SKIPIF 1 < 0 与小球相切．若 SKIPIF 1 < 0 ，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， ∴长轴长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
7．（2022·广东广州·高三阶段练习）在正四棱台 SKIPIF 1 < 0 中，上､下底面边长分别为 SKIPIF 1 < 0 ，侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】如图：连接 SKIPIF 1 < 0 ，记其交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的圆心，连接 SKIPIF 1 < 0 记其交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正四棱台的性质可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
设该正四棱台的外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，由球的截面性质可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以球心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都为正方形可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以正四棱柱的外接球的半径为5，其外接球的表面积 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
8．（2022·天津和平·二模）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）
.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为 SKIPIF 1 < 0 ，球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆锥的底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， 所以△SAB为等边三角形，故点P是△SA B的中心，
连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故正四面体的外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 .
又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，
从图中可以得到，当正四面体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 时，截得它的正方体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：A
二、多选题
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知圆锥 SKIPIF 1 < 0 的底面半径 SKIPIF 1 < 0 ，侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．外接球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0
B．设内切球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，外接球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．过点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 截圆锥OP的截面面积的最大值为2
D．设母线 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，从 SKIPIF 1 < 0 点沿圆锥表面到 SKIPIF 1 < 0 的最近路线长为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】设母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形.
则圆锥的轴截面 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径即为圆锥内切球的半径，其外接圆的半径为圆锥外接球的半径，如图1
图1
设内切球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，外接球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
由正弦定理可得，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以，外接球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确.
因为， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B项正确.
显然，过点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 截圆锥OP的截面均为腰长为 SKIPIF 1 < 0 等腰三角形，如图2，在底面圆上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即最大面积为 SKIPIF 1 < 0 ，C项错误.
图2
将圆锥侧面沿 SKIPIF 1 < 0 剪开，得到的扇形的半径 SKIPIF 1 < 0 ，弧长 SKIPIF 1 < 0 ，
则扇形的圆心角 SKIPIF 1 < 0 ，如图3所示.
图3
连结 SKIPIF 1 < 0 ，即为最近路线，在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，D项正确.
故选：ABD.
10．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．正四面体的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 B．正四面体的内切球的体积为 SKIPIF 1 < 0
C．正四面体的棱长为12D．线段MN的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】依题作出图形，如下：
设正四面体的棱长为a，
则它的外接球与内切球的球心重合，则它的外接球和内切球的球心重合，
作 SKIPIF 1 < 0 平面BCD，垂足为G，则G为 SKIPIF 1 < 0 的重心，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则正四面体的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
设正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，
由图可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
依题可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
正四面体的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
正四面体的内切球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
线段MN的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
11．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，将 SKIPIF 1 < 0 沿边 SKIPIF 1 < 0 折起，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 中点M，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
由题意知 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，M为 SKIPIF 1 < 0 中点，
故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
过D作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为N，因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
所以N点一定落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即M为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且M为 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心，
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心为O，则点O一定在过点M垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 的直线上，
设外接球半径为R，则 SKIPIF 1 < 0 ,①,
作 SKIPIF 1 < 0 为垂足，则 SKIPIF 1 < 0 为矩形，故 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,②,
②联立解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，二面角 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的大小都为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球与内切球的表面积的比值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图，作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 大小均为 SKIPIF 1 < 0 知，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离相等，即点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心，设半径为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球球心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上且位于平面 SKIPIF 1 < 0 下方，
在直角 SKIPIF 1 < 0 中，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 全等， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设内切球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
13．（2022·全国·高三专题练习）在正三棱锥S－ABC中， SKIPIF 1 < 0 ，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，正三棱锥中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
侧面是正三角形，则正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 为正四面体．
将正四面体补成正方体（正四面体的四个顶点S，A，B，C均为正方体的顶点），
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，可得补成的正方体棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，
则其外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 ，所以该正三棱锥外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（文））连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：不妨设正方体边长为2，则正方体内切球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
正八面体边长为 SKIPIF 1 < 0 ，它的内切球球心为正方体中心 SKIPIF 1 < 0 ，记正八面体内切球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
将正八面体分为8个以 SKIPIF 1 < 0 为顶点的三棱锥，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15．（2022·全国·高三专题练习）在高为2的直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】因为直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的高为2，设内切球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为AB⊥AC，所以设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 △ABC周长的最小值即为面积的最小值，而 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 “ SKIPIF 1 < 0 ”时取等.
当 SKIPIF 1 < 0 时，底面△ABC周长最小，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，所以此时 SKIPIF 1 < 0
△ABC周长的最小值： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16．（2022·广西柳州·三模（文））已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.设等腰四面体的三组对棱长分别为a、b、c，则该四面体的体积计算公式为， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．在等腰四面体A－BCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该四面体的内切球表面积为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
四面体的体积 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵△ABC为锐角三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设四面体内切球半径为r，
∵四面体的四个面全等，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴内切球表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
17．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设圆锥的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，圆锥内切球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
作出圆锥的轴截面如下图所示：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则圆锥表面积 SKIPIF 1 < 0 ，圆锥内切球表面积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 所求比值为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .